Энтропийные эффекты в диффузионном транспорте, обусловленные геометрией среды (1105352), страница 2
Текст из файла (страница 2)
1).Здесь — температура, — постоянная Больцмана, min — площадь минимального сечения трубки. Этот подход, представленный в разделе 2.1, основанна четырех ключевых положениях: (а) в стационарном режиме процесс носит характер свободной одномерной диффузии с эффективным коэффициентом диффузии eff ; (б) одномерный диффузионный процесс эквивалентен одномерному случайному блужданию со случайным временем перехода между соседнимиячейками; (в) обобщенный подход Фика-Джейкобса [1, 2] оправдан на участкахплавного изменения (); (г) при скачкообразном изменении () эффективно использование метода гомогенизации поверхности и специфических условийсшивки на гомогенизированных поверхностях.Согласно методу гомогенизации, переход частицы через неоднородно проницаемое сечение трактуется как ее захват частично поглощающей поверхностьюс конечной скоростью поглощения , одинаковой в каждой точке поверхности.Если проницаемость разных сторон поверхности различна, как, например, в случае структур на рис.
1б и рис. 1г, то величина определяет скорость переходачастиц из широкой части трубки в узкую, = . Переходы в обратном направ7лении определяются скоростью , которая находится из соотношения детального баланса exp(− ) = exp(− ) = , представляющего собой условие отсутствия направленного потока в равновесии. Через и обозначены максимальное и минимальное значения энтропийного потенциала,отвечающие сечениям радиуса и . Приближенная формула, позволяющаянайти с хорошей точностью во всем диапазоне значений = / в цилиндрических трубках (где сечение меняется только скачкообразно) предложена в [3]:[︀]︀ = (40 )/(2 ) (), где 0 — коэффициент диффузии частицы в среде[︀]︀без ограничений, а () = 1 + 1.37 − 0.37 4 /(1 − 2 )2 .
Оправданность этойформулы в присутствие энтропийного потенциала обсуждается в разделе 2.3.В разделе 2.2 в рамках предложенного описания получена общая формуладля эффективного коэффициента диффузии eff ,eff = ∫︀ 02exp(− ())[︁∫︀0exp( ())−1 () + −1]︁ ,(2)где зависящий от положения коэффициент диффузии () определяется как [2]:{︀}︀−1/2() = 0 1 + [ ′ ()]2(() — величина радиуса в точке с координатой ). Формула (2) единообразно воспроизводит известные ранее результаты(формулу Лифсона-Джексона [4] для структур с плавным изменением сечения(рис.
1а), формулу для структур, указанных на рис. 1б [5], и формулу Крика [6]для случая бесконечно тонких перегородок (рис. 1в)).В разделе 2.3 из общей формулы (2) следует ранее неизвестное выражениедля эффективного коэффициента диффузии eff частицы, движущейся в периодически расширяющейся трубке (1г),eff ={1 +2 2 / [3(1+ )]}{︁√01+2[︁+ (1 + )/ 4 ()|=1/(1+)]︁}︁ , (3)где = / , а = ( − )/ характеризует угол раскрытия конуса.
Областьприменимости выражения (3) установлена в результате его сопоставления с данными компьютерного моделирования (рис. 2). Хорошее совпадение формулы (3)с результатами моделирования показывает, что метод гомогенизации поверхности в задачах диффузионного транспорта пригоден не только в отсутствие энтропийного потенциала, но и при его наличии.Основные результаты данной главы опубликованы в работах №2, №5, №7 и№8 из списка публикаций автора на стр. 22.8Рис. 2: Зависимость 0 /eff от скорости изменения радиуса при фиксированных значениях = /. Символы результаты компьютерного моделирования, сплошные кривые отвечаютформуле (3).Третья глава посвящена изучению диффузии в трубке, одинаковые ячейкикоторой состоят из широких (w) и узких (n) участков, радиусы и длины которых равны и и и , соответственно (рис.
1б). Узкие участки трубкииграют роль перегородок конечной толщины между широкими участками. Исследования относятся как к ситуации с отсутствием внешней силы (раздел 3.1),где на более детальном уровне обсуждается приближенное одномерное описание, предложенное в предыдущей главе, так и к ситуации с ее наличием, котораярассматривается впервые (раздел 3.2).Детальную информацию о диффузионном процессе дает статистика времени перехода tr частицы между эквивалентными сечениями соседних элементарных ячеек.
В подразделе 3.1.1 получено выражение для лаплас-образа∫︀ ∞^() = 0 ( )− плотности вероятности времени перехода ( )⎧ √︃⎛ √︃⎞√︃√︃√︃⎨2222 ⎝ ⎠2^() = chch+sh+ sh×⎩00000(4)⎡ √︃⎤⎫−1√︃√︃(︂)︂⎬222 1 2 2 2 ⎦× ⎣ 2ch+ + 2 + −2 sh,00200 ⎭где — параметр преобразования Лапласа, = 0 /( ) =[︀]︀[︀]︀/(4 2 ) [ ()]−1 , () = 1 + 1.37 − 0.37 4 /(1 − 2 )2 . Как показано нарис. 3 результаты аналитического расчета ( ) (полученные численным обращением формулы (4)) находятся в хорошем согласии с данными компьютерногомоделирования, выполненного методом броуновской динамики.9Рис.
3: Плотность вероятности ( ) времени перехода tr между соседними ячейками. Кривые построены в результате численного обращения лаплас-образа ^() (формула(4)). Символами представлены данные компьютерного моделирования. Кривые 1 (и кружки) отвечают / = 0, 1, кривые 2 (и квадратики) – / = 1 , кривые 3 (и ромбики) – / = 9 (во всехслучаях = ( + )/ = 11, основной график - / = 0, 1, вставка - / = 0, 25).Рассчитаны∫︀ ∞0 ( )⟨︀ ⟩︀=моменты времени перехода⃒= (−1) [ ^()]/ ⃒=0 , где угловые скобки ⟨· · ·⟩ обознастатистическиечает усреднение по реализациям случайного процесса, — порядок момента.В таб. 1 представлены 4 момента tr , найденные аналитически и из данныхТаблица 1: Отношения моментов времени перехода , рассчитанные аналитически, и найденные с помощью компьютерного моделирования (в скобках) при различных значениях и /.
Величина / фиксирована, / = 11. /⟨2 ⟩ / ⟨ ⟩2⟨3 ⟩ / ⟨ ⟩3⟨4 ⟩ / ⟨ ⟩40,10,1191,82(1,82)1,95(1,94)1,97(1,96)4,95(4,99)5,68(5,60)5,83(5,78)17,9(18,5)22,1(21,4)23,0(22,7)0,250,1191,71(1,72)1,81(1,80)1,86(1,86)4,28(4,34)4,89(4,79)5,17(5,18)14,3(14,5)17,6(16,8)19,2(19,4)0,50,1191,67(1,67)1,70(1,70)1,72(1,73)4,09(4,05)4,24(4,26)4,37(4,40)13,3(13,1)14,1(14,3)14,8(15,0)10моделирования. Хорошее согласие аналитических и численных результатов, какдля плотности вероятности, так и для моментов величины tr , свидетельствуетчто, используемый подход пригоден для вычисления не только средних, но иболее детальных характеристик диффузионного процесса при условии > .Среднее значение tr приводит к выражению для эффективного коэффициента диффузии eff(1 + )20 ,(5)[1 + 2 + ()−2 ] [1 + 2 ]которое оправдано лишь при > [5].
Для рассмотрения обратного преeff =дельного случая, когда мало, был использован метод «застойных зон» [7], врезультате чего была получена новая формула1 + −10 ,(6)1 + ( − 2)−1где = / и = / — безразмерные параметры. Совместный анализ форeff =мул (5) и (6) показывает, что зависимости eff от длин широкого и узкого участка носят немонотонный характер: с ростом каждой из них eff вначале спадает,достигая минимума, а затем монотонно увеличивается, стремясь в пределе к 0(см. рис. 4). Эти формулы позволяют оценить значения геометрических парамет-Рис. 4: Зависимость эффективного коэффициента диффузии от протяженности широкогоучастка . Кривые, рассчитанные по формулам (5, сплошные) и (6, пунктирные), отвечаютуказанным на рисунке значениям = 0, 2; 0, 4; 0, 6 (величина / = 0, 3 одинакова для всехкривых).
Символами представлены соответствующие результаты моделирования: квадратики, кружки и ромбики отвечают отношению радиусов = 0, 2; 0, 4; 0, 6, соответственно.11ров, которые обеспечивают максимальное замедление диффузии, обусловленноевариацией сечения трубки.В разделе 3.2 впервые рассмотрена задача о дрейфе и диффузии частицыпод действием силы → ∞ в трубке, состоящей из чередующихся широких иузких участков (см.
рис.1б). В этих условиях, если частица находится в трубкерадиуса вокруг оси , то независимо от своего положения по она движется со скоростью 0 , где 0 = 0 — подвижность свободной броуновскойчастицы. Если же частица в широком участке находится вне узкого цилиндрарадиуса , то она прижата к стенке и не движется вдоль . Таким образом, взависимости от своей радиальной координаты частица может находиться либо вподвижном, либо в неподвижном состоянии.
Этот факт лежит в основе предложенного подхода, ключевым элементом которого является замена исходной трехмерной задачи двумерной с введением эффективного радиально-симметричногопотенциала, моделирующего влияние узкого участка на распределение частицв широком. Предсказания этого эвристического подхода находятся в хорошемсогласии с результатами компьютерного моделирования.В режиме → ∞ аналитически найдены зависимости транспортных коэффициентов от и геометрических параметров трубки. В подразделе 3.2.1 дляРис. 5: Отношение подвижностей eff (∞)/0 как функция относительной длины узкогоучастка для = 0.1, 0.3 и 0.7.
Символами представлены результаты компьютерного моделирования при = 105 , сплошные кривые отвечают формуле (7).12эффективной подвижности eff получено выражение (см. рис. 5)eff (∞)1+=,01 + + ( −2 − 1)()(7)где функция () эффективно отражает влияние узкого участка на радиальноераспределение частиц в широком участке. Аналитически показано, что (0) =1, а (∞) = 1/2. Для произвольного на основании данных компьютерного√моделирования получена следующая формула для () = 1/2(exp(−2 ) + 1).Чем больше , тем быстрее зависимость eff () выходит на свое предельноезначение. Как следует из рис.
5 результаты аналитических расчетов по формуле(7) находятся в хорошем согласии с данными компьютерного моделирования.В подразделе 3.2.2 показано, что выражение для эффективного коэффициента диффузии eff имеет вид[︂]︂eff (∞)2eff ( )| →∞ = (, )( ) +0 ,(8)0где функция (, ) расcчитана с помощью метода, предложенного в работе [8]]︂[︂2 2(1−) 2 () 42(() − 1) , (9)(, ) =3 − 1 − 2 ln −22()4 [1 + (() − 1) ]с () = (1 + )/(). Из (8) видно, что эффективный коэффициент диффузиирастет как 2 при → ∞, в то время как эффективная подвижность согласноформуле (7) от не зависит. Из формулы (9) следует (см. также рис. 6б), чтопри утолщении перегородки между широкими участками, eff монотонно спа-Рис.
6: а) Зависимость (, ) от при = 0; б) Зависимость (, ) от при = 0.1, 0.3и 0.7. Символами показаны значения (, ), полученные моделированием при = 105 ,сплошные кривые отвечают формуле (9).13дает до своего предельного значения 0 только, если отверстие в перегородкедостаточно велико, и ведет себя немотонным образом в противном случае.На рис. 6 представлены зависимости (, ) от при = 0 и от при разныхзначениях . Сопоставление данных компьютерного моделирования и предсказаний аналитического расчета (формула (9)) находятся в хорошем согласии, чтосвидетельствует об оправданности используемого подхода.Основные результаты данной главы опубликованы в работах №6, №8 и №10из списка публикаций автора на стр. 22.Изучение механизмов превращения различных форм энергии в направленноедвижение на наноуровне является одним из приоритетных направлений фундаментальных исследований в целом ряде научных дисциплин [9, 10].
Перспективный подход к решению этой проблемы связан со сравнительно недавно обнаруженным явлением: в пространственно-периодических системах с нарушенной зеркальной симметрией дрейф частиц возникает под действием неравновесных флуктуаций или регулярно повторяемых возмущений с нулевым средним (так называемый рэтчет эффект) [11, 12]. Теоретические модели, обеспечивающие этот эффект, получили название броуновских моторов [13, 14].
Вчетвертой главе предложена и детально проанализирована оригинальная модель броуновского мотора (см. рис. 7), представляющая собой частицу в периодически сужающейся трубке, движущуюся под действием периодически меняющейся со временем продольной силы F(). Переменная сила F() принимает дваРис. 7: Схема энтропийного броуновского мотора: частица в периодически сужающейся трубке, движущаяся под действием периодически меняющейся со временем продольной силы F(). Период изменения сечения , наибольший и наименьший радиусы - и ,соответственно. Пунктиром обозначен цилиндр радиуса .14значения, F и −F, мгновенно сменяющих друг друга через время , так что еесреднее значение за период 2 равно нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
