Спектральные свойства оператора Лапласа на декорированных графах и на поверхностях с дельта-потенциалами (1104855)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛОМОНОСОВАМЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТНа правах рукописиУДК 517.984.68, 515.168.5Толченников Антон АлександровичСпектральные свойства оператора Лапласана декорированных графахи на поверхностях с дельта-потенциалами01.01.04 — геометрия и топологияДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математическихнаук, профессорА.И. ШафаревичМосква — 2009ОглавлениеВведение4Глава 1. Предварительные сведения121.1 Оператор Лапласа на отрезке. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 ∆0 - оператор Лапласа-Бельтрами, ограниченный на функции,которые зануляются на наборе точек. . . . . . . . . . . . . . . . 16Глава 2. Ядро оператора Лапласа на многообразии с потенциалом нулевого радиуса182.1 Вычисление (xy ◦ y) для стандартной сферы Sa2 .. . . .
. . . . . 23Глава 3. Ядро оператора Лапласа на декорированных графах243.1 Размерность ядра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Расширение с условиями непрерывности . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Ядро расширения с условиями непрерывности . . . . . . . . . . . 293.4 Пример, в котором оценка достигается. . .
. . . . . . . . . . . . . 32Глава 4. След экспоненты оператора Лапласа на декорированном графе.34Глава 5. След квадрата резольвенты для оператора с условияминепрерывности392Глава 6. Cпектр оператора Лапласа с потенциалом, сходящимсяк дельта-функции456.1 Окружность . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2 Сфера.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.3 Диск. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Глава 7. Стягивающийся тор55Список литературы573ВведениеИспользование потенциалов нулевого радиуса в квантовой механике имеет более чем 70-летнюю историю. Изучая движение нерелятивистского электронав жесткой кристаллической решетке, Р.
де Л. Крониг и В.Г. Пенни в 1931году [1] одними из первых стали использовать точечные потенциалы. В 1961году Ф.А. Березин и Л.Д. Фаддеев [2], используя теорию самосопряженныхрасширений, дали строгое математическое обоснование этого метода и предложили использовать резольвентную формулу М.Г. Крейна для получениярезольвент возмущений. Дальнейшее исследование подобных моделей атомной физики проводилось в работах Ю.Н. Демкова и В.Н.
Островского [17],П.Б. Курасова и Б.С. Павлова [18], [19], [20].Та же техника расширений операторов используется в еще одном вопросе,касающемся операторов Лапласа-Бельтрами на декорированных графах, т.е.топологических пространствах, полученных отождествлением концов реберграфа с точками на замкнутых ориентируемых римановых многообразияхразмерности 1, 2 или 3. Актуальность этой темы заключается в том, чтоподобными операторами возможно моделировать гамильтониан заряженнойчастицы в массиве фуллеренов.
Подобные объекты впервые появились в работе Б.С. Павлова [20], где изучалось движение электронов в однородныхкристаллах из точечных атомов.Среди работ на эту тему можно отметить диссертацию И.С. Лобанова[4], в которой изучались спектральные свойства операторов Шредингера на4периодических декорированных графах, работу Й. Брюнинга и В.
Гейлера[7], в которой изучались свойства операторов на замкнутых многообразиях сприкрепленными полупрямыми, а также работы [5], [6].Очевидно, что размерность ядра оператора Лапласа на замкнутом римановом многообразии равна числу компонент связности этогомногообразия. Цель главы 3 диссертации - дать описание ядра оператораЛапласа-Бельтрами на декорированном графе. Ограничение на размерностьмногообразий (не больше чем 3), при помощи которых происходит декорация,связано с тем, что применяемая техника использует краевые условия в точкахсклейки; тем самым, область определения оператора Лапласа D(∆) = H 2 (M )(второе пространство Соболева) должна вкладываться в C(M ). При работе соператорами на таких пространствах применяются методы теории самосопряженных расширений (см.
[4],[7]). Именно, L2 пространство на декорированномграфе - это прямая сумма L2 -пространств на ребрах графа и на многообразиях. Оператор Лапласа-Бельтрами определяется из тех соображений, что нафункциях, носитель которых лежит в M \ {q1 , .., qs } (где M - замкнутое многообразие, либо отрезок, а {q1 , .., qs } - точки cклейки), он должен совпадатьс обыкновенным оператором Лапласа-Бельтрами. Также от этого оператора надо потребовать, чтобы он был самосопряжен.
Таким образом, оператор Лапласа-Бельтрами - это самосопряженное расширение оператора H0 –прямой суммы обычных операторов Лапласа-Бельтрами, ограниченных нафункции, которые зануляются в точках склейки. Далее, пользуясь тем, чтоимеется биекция Λ ↔ H Λ между лагранжевыми плоскостями в C4n ⊕ C4n(где n - число ребер графа) и самосопряженными расширениями оператораH0 , можно получить (п. 3.1), что ker H Λ ' L ∩ Λ, где L - фиксированнаялагранжева плоскость. Таким образом, размерность ядра может меняться впределах от 0 до 4n, причем в случае общего положения плоскости Λ ядротривиально.5Более содержательный результат получается, если фиксировать расширение.
Для этого в п. 3.2 вводится специальная лагранжева плоскость Λ0 , заданная условиями типа непрерывности. Центральный результат главы 3 доказательство неравенства (теорема 5), выполненного для оператора H Λ0на декорированном графе (полученном декорацией графа G):β0 ≤ dim ker H Λ0 ≤ β0 + β1где β0 - количество компонент связности графа G, β1 - количество независимых циклов графа G. Приведен пример, в котором указанная оценка достигается (п. 3.4), и показано, что сколь угодно малым изменением длин реберможно добиться равенства dim ker H Λ0 = β0 . Также показано, что величинаβ1 (G) − dim ker H Λ0 не убывает при добавлении новых ребер и многообразий.Техника, применяемая при описании операторов на декорированных графах, возникает и в более простой ситуации (представляющей самостоятельный интерес) операторов Лапласа-Бельтрами на многообразиях с потенциалом нулевого радиуса.
Это самосопряженное расширение оператора ЛапласаБельтрами, ограниченного на функции, зануляющиеся на наборе точек{qi }ni=1 . В определении таких операторов замечается сходство с определениемоператоров Лапласа-Бельтрами на декорированных графах. Описанию ядратакого оператора посящена глава 2, где доказывается равенство (теорема 4)ker H Λ ' L ∩ Λ, где L - фиксированная лагранжева плоскость в Cn ⊕ Cn ,которая может быть явно задана (утверждение 3).Связь характеристик многообразия со спектром оператора Лапласа, построенного по римановой метрике многообразия, проявляется наиболее явно васимптотических формулах следа для квадрата резольвенты (∆ + z 2 )−2 (z →∞) и экспоненты оператора e−∆t (t → 0). Для компактного риманова многообразия M (см.
[15])Tr e−∆t− n2∼ (4πt)∞Xk=06ak t k ,где ak =RMak (x)dwx , ak (x) - полиномиальные выражения от компонент тен-зора кривизны и их ковариантных производных. В частности, a0 (x) = 1, и6a1 (x) - скалярная кривизна.Отсюда, применяя преобразование Меллина, мы можем найти след квадрата резольвенты. Например, при dim M = 2:2 −2T r(∆ + z )∞Xak k!V ol(M ) χ(M )=++ ....∼4πz 2k+24πz 26z 4k=0Обобщением этих формул на случай декорированных графов посвящена диссертация С.В. Рогановой [8]. Для этих целей использовалась формула Крейна,выражающая разность резольвент двух дизъюнктных расширений (т.е. области определений которых пересекаются по области определения того оператора, от которого берутся расширения) через граничные операторы Γ(i) (см.[7]).
В отличие от классического случая риманова многообразия, формула дляследа квадрата резольвенты оператора Лапласа на декорированных графахсодержит в качестве коэффициентов при степенях z рациональные функцииот ln z. Получается т.н. псевдоасимптотическое разложение, разложение поz −n ln−m z, n, m ∈ N ∪ {0}. Такое разложение, если существует, единственно.С.В. Рогановой было вычислено псевдоасимптотическое разложение для расширений специального вида с условиями локальности (граничные условия вточке склейки содержат только значения функций, производных и коэфффициенты при особенностях в этой точке).
Это означает, что граничные условияимеют вид Γ(2) = ΛΓ(1) , где Λ - блочно-диагональная матрица.В главе 4 мы вычисляем след экспоненты описанных операторов, для чегоприменяем пребразование ЛапласаΛT r(t e−tH ) : T r(H Λ + p)−2к каждому члену псевдоасимптотического разложения T r(H Λ + p)−2 (утверждение 7) и даем оценку остаточного члена (утверждение 8). В теореме 7Λнайдены первые члены разложения T r(t e−tH ).7В главе 5 мы, используя технику С.В. Рогановой, вычисляем T r(H Λ0 +z 2 )−2 для оператора Лапласа с введенными в п.
3.2 условиями непрерывностиH Λ0 . Для этих целей необходимо изменить операторы граничных условий исравнивать резольвенту с резольвентой для H0 - прямой суммы операторовЛапласа на многообразиях и операторов Лапласа на отрезках с условиемДирихле. Доказательство теоремы 8 за исключением прямых вычисленийдословно повторяет доказательство теоремы 6 из [8]. В теореме 8 найденыпервые члены псевдоасимптотического разложения.Оказывается, что в разложении T r(H Λ0 +z 2 )−2 слагаемые, не содержащиелогарифмических членов, дают разложение для следа квадрата резольвентыпрямой суммы операторов Лапласа на многообразиях и на отрезках с условиями Неймана. В то время, как в разложении следов операторов, рассматриваемых С.В.
Рогановой, присутствуют ненулевые добавки к степенным членам(см. теорему 6).В главе 6 изучается следующий вопрос: что происходит со спектром оператора Лапласа при добавлении обычного потенциала, зависящего от малогопараметра и сходящегося к дельта-функции? Будет ли он сходиться к спектруоператора с дельта-потенциалом, введенным в главе 2 ?Вопрос о дельта-потенциалах и их аппроксимациях для евклидовыхпространств предельно подробно разбирался в монографии С.Альбеверио,Ф.Гестези, Р.Хэг-Крона и Х. Хольдена [3].
Для случая оператора на прямой имеет место следующий результат. Рассмотрим семейство операторовHε,y = ∆ + 1ε V ( ·−yε ), где V ∈ L1 (R). Тогда Hε,y сходится в равномерномRрезольвентном смысле к оператору ∆α,y , где α = R V (x)dx (это параметр,определяющий расширение ∆α,y оператора Лапласа, ограниченного на функции, которые зануляются в точке y). При α < 0 отрицательная часть спектраHε,y состоит из одного простого собственного значения, сходящегося к единственному собственному значению оператора ∆α,y . Если α > 0, то при доста8точно малых ε отрицательная часть спектра Hε,y отсутствует и у ∆α,y нетотрицательных собственных значений.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
