Сингулярно возмущенные задачи в случае пересечения корней вырожденного уравнения (1104817)
Текст из файла
На правах рукописиКОСТИН Александр ВладимировичСИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯКОРНЕЙ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯСпециальность 01.01.03 – математическая физикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2012Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им.М.В. Ломоносова.Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор В.Ф.
БутузовОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор А.В. Нестеров,доктор физико-математических наук,профессор И.В. ДенисовВедущая организация:Ярославский государственныйуниверситет им. П.Г. ДемидоваЗащита диссертации состоится «24» мая 2012 г. в 15 часов 30 минут назаседанииДиссертационногосоветаД501.002.10приМосковскомгосударственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 2, физическийфакультет, ауд.
№ СФА.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультетаМГУ.Автореферат разослан «___» ____________ 2012 г.Ученый секретарьДиссертационного совета Д 501.002.10доктор физико-математических наукЮ.В. ГрацОбщая характеристика работыДиссертация посвящена изучению ряда сингулярно возмущенных системОДУ, систем уравнений эллиптического и параболического типов в случае,когда корни вырожденного уравнения пересекаются.Актуальность темыМатематические модели многих процессов в физике, химии, биологии,социологии содержат дифференциальные уравнения с малыми параметрами.Пренебречь малым параметром и, тем самым, упростить поставленную задачуможноневсегда.Примеромслужатсингулярновозмущенныедифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в виде множителяпри старшей производной. Решение такого уравнения при значениях малогопараметра, близких к нулю, вообще говоря, не является равномерно близким крешению более простого вырожденного уравнения.
Исследование сингулярновозмущенных задач сформировалось в большое направление на основе работА.Н. Тихонова и получило дальнейшее развитие в работах его учеников имногих других ученых.Большинство классических работ, посвященных исследованию сингулярновозмущенных дифференциальных уравнений, рассматривают случай, когдавырожденное уравнение имеет один или несколько изолированных корней.
Впоследнее время активно исследуется более сложный случай - когда корнивырожденного уравнения пересекаются. Необходимость рассмотрения такойситуации появилась в химической кинетике при моделировании быстрыхбимолекулярных реакций.Сложность сингулярно возмущенных задач в случае пересечения корнейвырожденного уравнения связана с негладкостью решения вырожденнойзадачи, к которому стремится решение исходной задачи при стремлении малогопараметра к нулю.
Доказательство предельного перехода в большинстве работ,посвященныхтакимзадачам,проводитсяспомощьюметодадифференциальных неравенств, т. е. путем построения подходящих нижнего и1верхнего решений. Для преодоления трудностей, связанных с негладкостьюрешения вырожденной задачи, проводилась сложная и громоздкая процедурасглаживания с помощью функции специального вида.
Как оказалось, болееэффективнымметодомявляетсяметодрегуляризациивырожденногоуравнения, разработанный В.Ф. Бутузовым [1, 2]. Верхнее и нижнее решение,построенные с использованием данного метода, являются гладкими, простымии симметричными относительно формальной асимптотики (для большинстварассмотренных задач). Кроме того, метод регуляризации вырожденногоуравнения позволяет получить более точную асимптотику решений. Сутьметода заключается в замене негладкого корня вырожденного уравнения нагладкий корень так называемого «регуляризованного» уравнения, зависящегоот малого параметра определенным образом.Цель работыГлавнойцельюрегуляризациидиссертационнойвырожденногоработыуравненияиявляетсяметодаразвитиеметодадифференциальныхнеравенств для сингулярно возмущенных задач в случае, когда корнивырожденного уравнения пересекаются.Научная новизнаНаучная новизна работы состоит в следующем:- метод регуляризации вырожденного уравнения распространен на новыеклассы задач (сингулярно возмущенные системы ОДУ, системы уравненийэллиптического и параболического типов, частично диссипативные системыуравнений с разными степенями малого параметра при производных);- для всех рассмотренных задач доказаны теоремы о предельном переходе иполучены асимптотические оценки решений;- для систем уравнений параболического типа доказаны теоремы обасимптотической устойчивости стационарного решения;2- для ранее исследованных задач с помощью метода регуляризациивырожденного уравнения построены новые, более простые и эффективныеверхние и нижние решения.Практическая ценностьПолученные в диссертации результаты могут быть использованы дляисследованияразрешимостиипостроенияасимптотикрешенийрядамодельных задач химической кинетики, в том числе частично диссипативныхсистем, моделирующих процессы реакции-диффузии в том случае, когдадиффузией одного из реагирующих веществ можно пренебречь.Положения, выносимые на защитуНа защиту выносится ряд теорем о предельном переходе для некоторыхвидовсингулярновозмущенныхсистемОДУ,системуравненийэллиптического и параболического типов, а также теоремы об асимптотическойустойчивости стационарного решения для систем уравнений параболическоготипа.Апробация работыРезультатыдиссертациидокладывалисьнанаучнойконференции«Ломоносовские чтения» (Москва, 2008 г.), на XVIII Международной научнойконференции «Ломоносов – 2011» (Москва, 2011 г.), на V Международнойконференции «Математические идеи П.Л.
Чебышева и их приложение ксовременным проблемам естествознания» (Обнинск, 2011 г.), а такжеобсуждалисьнанаучномсеминарекафедрыматематикифизическогофакультета МГУ (руководители семинара профессора А.Б. Васильева, Н.Н.Нефедов и В.Ф. Бутузов).ПубликацииПо теме диссертации опубликовано 7 печатных работ.3Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав, заключения и спискацитированной литературы (61 наименование). Общий объем диссертациисоставляет 110 страниц.Содержание диссертацииВо Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированацель и отмечена научная новизна работы, а также кратко изложено содержаниеглав.В Главе 1 рассмотрены начальные и краевые задачи, которые изучалисьранее другими авторами.
Исследование данных задач преследовало две цели:построение более простых верхних и нижних решений с помощью методарегуляризации вырожденного уравнения и получение асимптотики решения, неменее точной, чем полученная ранее. Для задачи, рассмотренной в §1,асимптотика решения оказалась даже более точной, что позволило доказать иасимптотическую устойчивость решения.В §1 рассмотрена система уравненийε 2 u ′′ = g (u , v, x, ε ) , v ′′ = f (u , v, x, ε ) , 0 < x < 1(1)с краевыми условиямиu ′(0, ε ) = u ′(1, ε ) = 0 , v(0, ε ) = v 0 , v(1, ε ) = v 1 ,(2)где ε – малый параметр, 0 < ε << 1 , v 0 и v 1 – заданные числа.Существенную роль в задаче (1), (2) играет характер зависимости правойчасти быстрого уравнения (функции g ) от малого параметра ε .
Случай, когдафункция g содержит слагаемое порядка ε , имеющее определенный знак налинии пересечения корней вырожденного уравнения, и когда g не зависит отε , являются существенно разными, причем последний случай более сложен.Так, например, в работе [3], посвященной задаче (1), (2) в случае, когдафункция g не зависит от ε , построение нижнего и верхнего решений4проводилось путем разбиения отрезка 0 ≤ x ≤ 1 на 5 отрезков, построения накаждом из них соответствующей части нижнего и верхнего решений и гладкогосшивания затем этих частей на границах соседних отрезков. Методрегуляризациивырожденногоуравненияпозволяетупроститьданнуюпроцедуру.Итак, рассмотрим задачу (1), (2) в более сложном случае, когда функция gне зависит от ε .
Для упрощения записи будем считать, что функция f , как ифункция g , не зависит от ε , поскольку регулярная зависимость f от ε неимеет принципиального значения (в отличие от функции g ).Условие A1 . g ∈ C 2 (G ) , f ∈ C 2 (G ) , где G = I u × D , D = I v × [0,1] , I u и I v –некоторые интервалы изменения переменных u и v .Условие A2 . Функция g (u , v, x) имеет видg (u, v, x) = h(u, v, x)(u − ϕ 1 (v, x))(u − ϕ 2 (v, x)) ,где h ∈ C 2 (G ) , ϕ 1 ∈ C 2 ( D) , ϕ 2 ∈ C 2 ( D) , h(u , v, x) > 0 в области G , а значенияфункций ϕ1 и ϕ 2 лежат в интервале I u при (v, x) ∈ D .Условие A2 означает, что вырожденное уравнениеg (u , v, x) = 0(3)имеет два корня относительно u : u = ϕ 1 (v, x) и u = ϕ 2 (v, x) .Условие A3 . В области D существует гладкая кривая Γ , описываемаяуравнениемv = v 0 ( x) , 0 ≤ x ≤ 1 ,такая, что для 0 ≤ x ≤ 1 выполнены соотношенияϕ 1 (v, x) > ϕ 2 (v, x) при v < v 0 ( x) ,ϕ 1 (v 0 ( x), x) = ϕ 2 (v 0 ( x), x) ,ϕ 1 (v, x) < ϕ 2 (v, x) при v > v 0 ( x) .5Условие A3 означает, что корни u = ϕ 1 (v, x) и u = ϕ 2 (v, x) вырожденногоуравнения (3) пересекаются по некоторой кривой, проекцией которой наплоскость (v, x) является кривая Γ , лежащая в области D .Используя корни ϕ1 и ϕ 2 , построим решение вырожденной задачи,получающейся из задачи (1), (2) при ε = 0 .
При этом построении важную рольиграют соотношения между граничными значениями v 0 , v 1 функции v играничными значениями функции v0 ( x) . Остановимся на случаеv 0 < v 0 (0) , v 1 > v 0 (1) .Рассмотрим две краевые задачи, в которых x 0 играет роль параметра:v ′′ = f (ϕ 1 (v, x), v, x) , 0 < x < x 0 , v(0) = v 0 , v( x 0 ) = v 0 ( x 0 ) ,(4)v′′ = f (ϕ2 (v, x), v, x) , x 0 < x < 1, v( x 0 ) = v 0 ( x 0 ) , v(1) = v 1 .(5)Условие A4 . Существует x 0 ∈ (0,1) , такое, что краевые задачи (4) и (5)имеют решения v = v1 ( x) и v = v 2 ( x) , удовлетворяющие соотношениямv1 ( x) < v 0 ( x) при 0 ≤ x < x 0 , v 2 ( x) > v 0 ( x) при x 0 < x ≤ 1, v1′ ( x 0 ) = v ′2 ( x 0 ) .Введем функцию vˆ( x) , составленную из решений v1 ( x) и v 2 ( x) :⎧ v ( x), 0 ≤ x ≤ x 0 ,vˆ( x) = ⎨ 1⎩v 2 ( x), x 0 ≤ x ≤ 1.Несложно видеть, что vˆ( x) является классическим ( vˆ( x) ∈ C 2 [0,1] ) решениемкраевой задачиv′′ = f (ϕ (v, x), v, x) , 0 < x < 1 , v(0) = v 0 , v(1) = v 1 ,(6)где ϕ (v, x) – составной корень вырожденного уравнения (3):⎧ϕ (v, x) при v ≤ v 0 ( x), 0 ≤ x ≤ 1,ϕ (v, x ) = ⎨ 1⎩ϕ 2 (v, x) при v ≥ v 0 ( x), 0 ≤ x ≤ 1.Введем функциюuˆ ( x) = ϕ (vˆ( x), x) .Отметим, что в отличие от vˆ( x) функция uˆ ( x) имеет, вообще говоря, в точкеx 0 разрывы (скачки) первой и второй производных.6Пару функций uˆ ( x) , vˆ( x) назовем составным решением вырожденнойзадачи.Условие A5 .b=d[ϕ1 (vˆ( x), x) − ϕ 2 (vˆ( x), x)] ≠ 0 .dxx= x0Здесь x0 – число из условия A4 .Условие A6 .
Существует число β > 0 , такое, что выполнены неравенстваϕˆ v ( x) < β при 0 ≤ x ≤ 1 ,⎛π ⎞⎜ ⎟ − fˆu ( x) β + fˆv ( x) > 0 при 0 ≤ x ≤ 1 ,⎝ 2l ⎠2гдезнаком^обозначенафункция,взятаянасоставномрешении,l = max( x 0 ,1 − x0 ) .Основным результатом являются следующие две теоремы.Теорема 1. Если выполнены условия A1 - A6 , то для достаточно малых εсуществуетрешениеu s ( x, ε ) ,v s ( x, ε )задачи(1),(2),имеющееасимптотическое представлениеu s ( x, ε ) = uˆ ( x) + O (ε 2 / 3 ) , v s ( x, ε ) = vˆ( x) + O (ε 2 / 3 ) , 0 ≤ x ≤ 1 .(7)Отметим, что из (7) следуют предельные равенстваlimu ( x, ε ) = uˆ ( x) , limv ( x, ε ) = vˆ( x) , 0 ≤ x ≤ 1 ,ε →0 sε →0 sт.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
