Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических (1104603), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Íàçîâåì çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå ïàðàëëåëüíûìè, åñëè ëþáûå èõ íàêðûâàþùèå ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû. Îïóñòèì âûñîòó BH íà ïðÿìóþ AD è îáîçíà÷èì−→ −−→ −−→÷åðåç u, v è w âåêòîðà AB, AD è HB ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ âçàèìíî ïðîñòûõ öåëûõ÷èñåë k, l ãåîäåçè÷åñêîé òèïà (k, l) íà òîðå T 2 íàçîâåì çàìêíóòîé ãåîäåçè÷åñêóþ,äëÿ êîòîðîé ëþáàÿ åå íàêðûâàþùàÿ ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà âåêòîðó ku + lv . Ãåîäåçè÷åñêîé òèïà (2k, l) íà KL2 íàçîâåì çàìêíóòóþ ãåîäåçè÷åñêóþ, äëÿ êîòîðîé íàéäåòñÿíàêðûâàþùàÿ åå ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ âåêòîðó 2kw + lv , çà èñêëþ÷åíèåì äâóõ çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ v è èìåþùèõ äëèíó ∥w∥. Òèï ýòèõ äâóõãåîäåçè÷åñêèõ áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûì (1,0).
Äëÿ íàáîðà çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íàòîðå è íà áóòûëêå Êëåéíà KL2 ñ åâêëèäîâûìè ìåòðèêàìè ÷åðåç ti îáîçíà÷èì ÷èñëî òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ i ãåîäåçè÷åñêèì ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè ñàìîïåðåñå÷åíèÿ íàKL2 .Äâå çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå íà ïëîñêîì òîðå òèïîâ (a, b) è (c, d)ïåðåñåêàþòñÿ â |ad − bc| òî÷êàõ.Ëåììà 3.3.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñ÷èòàåì, ÷òî |ad−bc| ̸= 0, ò.ê. èíà÷å òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ íåò. Äëèíûäàííûõ ãåîäåçè÷åñêèõ γ1 è γ2 ðàâíû ∥au+bv∥ è ∥cu+dv∥ ñîîòâåòñòâåííî.
Ðàññòîÿíèÿìåæäó ñîñåäíèìè âèòêàìè γ1 è γ2 ðàâíûh1 =S∥au + bv∥è h2 =S∥cu + dv∥ñîîòâåòñòâåííî, ãäå S = ∥[u, v]∥ ïëîùàäü òîðà. Òîãäàsin ∠(γ1 , γ2 ) =|ad − bc|S∥au + bv∥ · ∥cu + dv∥Ïîýòîìó ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè ïî γ1 òî÷êàìè ïåðåñå÷åíèÿ ðàâíî∥au + bv∥h2=.sin ∠(γ1 , γ2 )|ad − bc|Çíà÷èò, íà γ1 íàõîäèòñÿ |ad − bc| òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ.34(à) Çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ òèïà (2k, l) íà ïëîñêîé áóòûëêå ÊëåéíàKL èìååò |kl| òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ, êðàòíîñòè äâà êàæäàÿ.(á) Äâå çàìêíóòûå íåïàðàëëåëüíûå ãåîäåçè÷åñêèå íà KL2 èìåþò õîòÿ áû îäíóòî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ.
Çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ òèïà (2, 0) ïåðåñåêàåò íåïàðàëëåëüíóþ åé çàìêíóòóþ ãåîäåçè÷åñêóþ γ ïî êðàéíåé ìåðå â äâóõ òî÷êàõ èëè ïðîõîäèò÷åðåç òî÷êó ñàìîïåðåñå÷åíèÿ γ .Ëåììà 3.4.2Äîêàçàòåëüñòâî. (à) Äëÿ kl = 0 ëåììà î÷åâèäíà, ñ÷èòàåì äàëåå, ÷òî kl ̸= 0. ×åðåçëþáóþ òî÷êó KL2 ãåîäåçè÷åñêàÿ ïðîõîäèò íå áîëåå äâóõ ðàç, ò.ê. íàêðûâàþùèå ååïðÿìûå ñîñòàâëÿþò ñ v îäèí èç óãëîâ {φ, π − φ}, ãäåtg φ =Ïóñòü ïðÿìàÿ2k∥w∥.l∥v∥γe(t) = A + (p1 + lt)v + (p2 + 2kt)wíàêðûâàåò äàííóþ ãåîäåçè÷åñêóþ γ ïðè t ∈ R äëÿ íåêîòîðûõ p1 ∈ R, p2 ∈ R. Ïóñòü−−→AH = αv. Òî÷êà ñàìîïåðåñå÷åíèÿ γ ïðîèñõîäèò ïðè ïàðàìåòðàõ t1 è t2 íàêðûâàþùåéïðÿìîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàt1 =(2α − 4p1 )k − l + 2(kj − li),4klt2 =(2α − 4p1 )k + l + 2(kj + li)4kläëÿ íåêîòîðûõ öåëûõ ÷èñåë i è j . Ñëåäóþùèå äðîáíûå ÷àñòè ðàâíû{}{}α − 2p1 j2i + 1{t1 + t2 } =+è{t2 − t1 } =,ll2kïîýòîìó òî÷êè ñàìîïåðåñå÷åíèÿ γ îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóþò ïàðàì öåëûõ ÷èñåë(i, j), ãäåi ∈ {0, 1, .
. . , |k| − 1} è j ∈ {0, 1, . . . , |l| − 1}.(á) Íàêðûâàþùèå ïðÿìûå çàìêíóòûõ íå ïàðàëëåëüíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ èìåþò òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ, ïîýòîìó è ãåîäåçè÷åñêèå ïåðåñåêàþòñÿ. Çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ γ ,íå ïàðàëëåëüíàÿ ãåîäåçè÷åñêîé òèïà (2,0) èìååò ëèáî òèï (0,1), ëèáî òèï (k, l) ñkl ̸= 0. Ïåðâûé ñëó÷àé î÷åâèäåí, à âî âòîðîì ãåîäåçè÷åñêóþ γ íàêðûâàåò äâà ñåìåéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, è ñ êàæäûì èç íèõ ïåðåñåêàåòñÿ íàêðûâàþùàÿ ïðÿìàÿäëÿ ãåîäåçè÷åñêîé òèïà (2,0).Åñëè íàáîð çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íà ïëîñêîì òîðå èëè íà ïëîñêîé áóòûëêå Êëåéíà ñîäåðæèò õîòÿ áû äâå íåïàðàëëåëüíûå, òî âñå îáðàçîâàííûåîáëàñòè ãîìåîìîðôíû îòêðûòîìó äèñêó.Ëåììà 3.5.Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ëåììó â ñëó÷àå, êîãäà íàáîð ñîñòîèò èç äâóõçàìêíóòûõ íåïàðàëëåëüíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íà T 2 èëè KL2 èëè èç îäíîé ãåîäåçè÷åñêîé òèïà (2k, l) ñ kl ̸= 0 íà KL2 . Ðàññìîòðèì íàêðûòèÿp1 : R2 → T 2è p2 : R2 → KL2 .35Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàêèå-òî äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè X è Y ñâÿçíîé êîìïîíåíòû ïðîîáðàçà íåêîòîðîé îáëàñòè îòîáðàæàþòñÿ â îäíó òî÷êó ïðè íàêðûòèè p1 èëè p2 . Òîãäàýòà ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ñîäåðæèò áåñêîíå÷íóþ ëîìàíóþ ñ ðàâíûìè ïî äëèíå çâåíüÿìè, îäíèì çâåíîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê XY . Òàê êàê ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòàïðîîáðàçà îáëàñòè îãðàíè÷åíà, òî òàêèõ òî÷åê X è Y íå ñóùåñòâóåò.
Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäàÿ îáëàñòü ãîìåîìîðôíà ñâîåìó ïðîîáðàçó äèñêó.Åñëè âñå îáëàñòè òîðà T 2 èëè áóòûëêè Êëåéíà KL2 ñ åâêëèäîâûìèìåòðèêàìè, îáðàçîâàííûå íàáîðîì çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ, ãîìåîìîðôíû äèñêó,òî ÷èñëî îáëàñòåé ðàâíî∑(i − 1)ti .Ëåììà 3.6.i>2Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè âñå îáëàñòè ãîìåîìîðôíû äèñêó, òî íàáîð ãåîäåçè÷åñêèõ îáðàçóåò êëåòî÷íîå ðàçáèåíèå ïîâåðõíîñòè, ïîñêîëüêó íà∑ ëþáîé ãåîäåçè÷åñêîé áóäåòõîòÿ áû îäíà òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ. ýòîì ðàçáèåíèèti âåðøèí òî÷åê ïåðåñå∑÷åíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ,iti ðåáåð îòðåçêîâ ãåîäåçè÷åñêèõ è f äâóìåðíûõ êëåòîê îáëàñòåé.
Ýéëåðîâà õàðàêòåðèñòèêà òîðà è áóòûëêè Êëåéíà ðàâíà íóëþ, îòêóäàïîëó÷àåì òðåáóåìîå.Äëÿ òîðà T 2 ñ ëîêàëüíî åâêëèäîâîé ìåòðèêîé ìíîæåñòâà ÷èñåëîáëàñòåé ïðè n > 2 ñëåäóþùèå:()F T 2 , n = {n − 1, n} ∪ {l ∈ N|l > 2n − 4} .Òåîðåìà 3.2.À ìíîæåñòâî F (T 2 , 1) = {1}.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèâåäåì ïðèìåðû íàáîðîâ n > 2 çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ: n−sãåîäåçè÷åñêèõ òèïà (0,1) è s ãåîäåçè÷åñêèõ òèïà (1,0) îáðàçóþò n − s îáëàñòåé íàòîðå äëÿ s ∈ {0, 1}. Íà òîðå n − 2 ïàðàëëåëüíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ òèïà (0,1), îäíàãåîäåçè÷åñêàÿ òèïà (1,0) è îäíà ãåîäåçè÷åñêàÿ òèïà (1, a), íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êèïåðåñå÷åíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ òèïà (0,1) c ãåîäåçè÷åñêîé òèïà (1,0), îáðàçóþò 2n − 4 + aîáëàñòåé äëÿ ëþáîãî öåëîãî a > 0 (ïî ëåììàì 3.3, 3.5 è 3.6), cì.
ðèñ. 4.H1,0LH0,1LÐèñ. 4: n = 8, a = 336Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî â ìíîæåñòâàõ F (T 2 , n) íåò äðóãèõ ÷èñåë. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íàáîð Γ èç n > 3 ðàçëè÷íûõ çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íà T 2 , îáðàçóþùèéf = f (Γ) îáëàñòåé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç m ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïàðàëëåëüíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ â íàáîðå Γ.Åñëè m = n, òî f = n. Åñëè m = n − 1, òî f äåëèòñÿ íàöåëî íà n − 1.
Åñëè2 6 m 6 n − 2, òî êàæäàÿ èç n − m îñòàâøèõñÿ â Γ ãåîäåçè÷åñêèõ èìååò ïî êðàéíåéìåðå m òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ñ m ïàðàëëåëüíûìè ãåîäåçè÷åñêèìè, ïîýòîìó ïî ëåììàì3.5 è 3.6 ïîëó÷àåìf > m(n − m) > 2n − 4.Îñòàëñÿ ñëó÷àé m = 1. Åñëè ëþáûå äâå ãåîäåçè÷åñêèå èç Γ ïåðåñåêàþòñÿ íå ìåíåå,÷åì â äâóõ òî÷êàõ, òî èç ëåìì 3.5 è 3.6 ñëåäóåò, ÷òî f > 2n − 2.
Åñëè íåêîòîðûåãåîäåçè÷åñêèå γ1 è γ2 èç Γ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîéòî÷êå è ëþáàÿ èç n−2 îñòàâøèõñÿ∪â Γ ãåîäåçè÷åñêèõ ïåðåñåêàåò îáúåäèíåíèå γ1 γ2 íå ìåíåå ÷åì â äâóõ òî÷êàõ, òî èçëåìì 3.5 è 3.6 ñëåäóåò, ÷òî f > 2n − 3. Äîêàæåì, ÷òî åñëè ïîïàðíûå ïåðåñå÷åíèÿíåêîòîðûõ ãåîäåçè÷åñêèõ γ1 , γ2 è γ3 èç Γ ñîñòîÿò èç îäíîé òî÷êèýòà òî÷êà îáùàÿ,∪ è∪òî ëþáàÿ èç n − 3 îñòàâøèõñÿ â Γ ãåîäåçè÷åñêèõ ïåðåñåêàåò γ1 γ2 γ3 íå ìåíåå ÷åìâ äâóõ òî÷êàõ. Èç ýòîãî è èç ëåìì 3.5 è 3.6 ñëåäóåò, ÷òî f > 2n − 4. Çàìåíèì áàçèñ{u, v} ðåøåòêè íà ïëîñêîñòè, ïîðîæäàþùåé òîð, òàê, ÷òî â íîâîì áàçèñå òèïû γ1 èγ2 áóäóò ðàâíû (1,0) è (0,1). Òîãäà òèï γ3 áóäåò ðàâåí (1, −1) èëè (1,1). Äëÿ ëþáîéîñòàâøåéñÿ â Γ ãåîäåçè÷åñêîé∪ ∪ (êðîìå γ1 , γ2 è γ3 ) òèïà (x, y) â íîâîì áàçèñå ÷èñëîòî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ñ γ1 γ2 γ3 ïî ëåììå 3.3 íå ìåíüøå ÷åì|x| + |y| + |x ± y| − 2 > 2.Äëÿ áóòûëêè Êëåéíà KL2 ñ ëîêàëüíî åâêëèäîâîé ìåòðèêîé ìíîæåñòâà ÷èñåë îáëàñòåé èìåþò ñëåäóþùèé âèä ïðè n > 2:()F KL2 , n = {n − 1, n, n + 1} ∪ {l ∈ N|l > 2n − 4}.Òåîðåìà 3.3.À ìíîæåñòâî F (KL2 , 1) = N.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðèâåäåì ïðèìåðû íàáîðîâ n > 2 çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ: n−sãåîäåçè÷åñêèõ òèïà (0,1) è s ãåîäåçè÷åñêèõ òèïà (1,0) îáðàçóþò n − s îáëàñòåé íàáóòûëêå Êëåéíà KL2 äëÿ s ∈ {0, 1}. Ãåîäåçè÷åñêàÿ òèïà (2, a) è n − 1 ãåîäåçè÷åñêèõòèïà (0,1), íå ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êè ñàìîïåðåñå÷åíèÿ ïåðâîé, îáðàçóþò 2n − 2 + aîáëàñòåé äëÿ ëþáîãî öåëîãî a > 0 (ïî ëåììàì 3.4(à), 3.5 è 3.6), ñì ðèñ.
5.Íà áóòûëêå Êëåéíà n ãåîäåçè÷åñêèõ òèïà (2, 0) îáðàçóþò n+1 îáëàñòü; íà áóòûëêå Êëåéíà n − 1 − s ãåîäåçè÷åñêèõ òèïà (2, 0), ãåîäåçè÷åñêàÿ òèïà (0,1) è s ãåîäåçè÷åñêèõ òèïà (1, 0) îáðàçóþò 2n − 2 − s îáëàñòåé ïðè s ∈ {1, 2}. Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òîíà KL2 îäíà ãåîäåçè÷åñêàÿ òèïà (2, a) îáðàçóåò a îáëàñòåé äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî÷èñëà a (ïî ëåììàì 3.4(á), 3.5 è 3.6).Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî â ìíîæåñòâàõ F (KL2 , n) íåò äðóãèõ ÷èñåë.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé íàáîð Γ èç n > 3 ðàçëè÷íûõ çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ íà T 2 èëè KL2 ,îáðàçóþùèé f = f (Γ) îáëàñòåé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç m ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïàðàëëåëüíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ â íàáîðå Γ, ïðè ýòîì ñàìîïåðåñåêàþùàÿñÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ íåñ÷èòàåòñÿ ïàðàëëåëüíîé íè ñåáå, íè äðóãèì ãåîäåçè÷åñêèì.37H1,0LH0,1LÐèñ. 5: n = 8, a = 2Ëþáàÿ èç m ïàðàëëåëüíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ ïðè m > 1 èìååò òèï (k, l) ñ kl = 0,ïîñêîëüêó ãåîäåçè÷åñêàÿ òèïà (k, l) ñ kl ̸= 0 ñàìà ñåáå íå ïàðàëëåëüíà. Åñëè m = n,òî f ∈ {n − 1, n, n + 1}. Åñëè m = n − 1 è îñòàâøàÿñÿ â Γ ãåîäåçè÷åñêàÿ èìååò òèï(k, l), òî ïðè kl = 0 ïîëó÷àåì f ∈ {n − 1, 2n − 4, 2n − 3, 2n − 2}, à ïðè kl ̸= 0 èçëåìì 3.4(á), 3.5 è 3.6 ñëåäóåò, ÷òî f > 2n − 4.
Åñëè 2 6 m 6 n − 2, òî êàæäàÿèç n − m îñòàâøèõñÿ â Γ ãåîäåçè÷åñêèõ èìååò ïî ëåììå 3.4(á) êàê ìèíèìóì îäíóòî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ñ êàæäîé èç m ïàðàëëåëüíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ. Òîãäà èç ëåìì 3.5è 3.6 ñëåäóåò, ÷òî f > m(n − m) > 2n − 4. Îñòàëñÿ ñëó÷àé m 6 1. Âûäåëèì äâåãåîäåçè÷åñêèå â Γ òàê, ÷òîáû âñå ãåîäåçè÷åñêèå â Γ òèïà (k, l) ñ kl = 0 îêàçàëèñüáû âûäåëåííûìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
