Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических (1104603), страница 6
Текст из файла (страница 6)
= tm−1 = 0, tm = 1.2.n 6 7, m = 3, f =27n2 − n+ 2.3),Íàïðèìåð, èç âòîðîãî òèïà ïîäõîäÿòn = 6, m = 3, f = 12, t2 = 3, t3 = 4èn = 7, m = 3, f = 16, t2 = 3, t3 = 6Äåéñòâèòåëüíî, äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâà (2.19) òåîðåìû 2.3 èñïîëüçîâàëî íåðàâåíñòâà 2e > 3f è(A(3 − j) + Bj(j − 1)) tj 6 (j − 1)tj ,êîòîðûå îáðàùàþòñÿ â ðàâåíñòâî, åñëè è òîëüêî åñëè âñå îáëàñòè êîíôèãóðàöèèòðåóãîëüíûå è tj = 0 ïðè 2 < j < m.2.3 Ìíîæåñòâà ÷èñåë ñâÿçíûõ êîìïîíåíò äîïîëíåíèé ê íàáîðàì n ïñåâäîïðÿìûõÍ. Ìàðòèíîâ, 1993. Íåòðèâèàëüíûé íàáîð èç n ïñåâäîïðÿìûõ íàïëîñêîñòè RP äåëèò ïîñëåäíþþ íà f îáëàñòåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò öåëîå ÷èñëî k , 1 6 k 6 n − 2, òàêîå ÷òî{}(n − k)(k + 1) + Ck2 − min n − k, Ck2 6 f 6 (n − k)(k + 1) + Ck2 .Òåîðåìà 2.5.2Çàìåòèì, ÷òî îáúåäèíåíèå îòðåçêîâ[{}](n − k)(k + 1) + Ck2 − min n − k, Ck2 ; (n − k)(k + 1) + Ck2ïî k , 1 6 k 6 n − 2 ïîêðûâàåò âñå öåëûå ÷èñëà îòðåçêà [2n − 2; Cn2 + 1], êðîìå ÷èñåëèíòåðâàëîâ (ai ; bi ) ëàêóí8 , ãäå2ai = i(n − i + 1) + Ci−1,bi = (i + 1)(n − i).Ëàêóíà íîìåð i ñîäåðæèò õîòÿ áû îäíî öåëîå ÷èñëî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàbi > ai + 2⇔2n > Ci+1+ 3.Îáîçíà÷èì ÷åðåç dn ñëåäóþùåå ÷èñëî2+ 3}.dn = max{d ∈ Z | n > Cd+1Ðåøàÿ êâàäðàòíîå íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì[√dn =]3 1.2n − 5 −4 2Ïîñêîëüêó Â.È.
Àðíîëüä íå èñêëþ÷àë òðèâèàëüíûå íàáîðû, òî â [2] ëàêóíû íóìåðîâàëèñü÷èñëàìè i, íà÷èíàÿ ñ åäèíèöû. Áåç òðèâèàëüíîãî íàáîðà ïñåâäîïðÿìûõ ëàêóíà (a1 , b1 ) ïðîïàäàåò,è â íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ i > 2.828×èñëî ëàêóí ðàâíî dn − 1 è îíè íóìåðóþòñÿ ÷èñëàìè i, 2 6 i 6dn . ×èñëî îáëàñòåé äëÿ íàáîðà ïñåâäîïðÿìûõ íå ìîæåò ïðèíàäëåæàòü êàêîé-ëèáî√ 3ëàêóíå. Ïîñëåäíÿÿ ëàêóíà çàêàí÷èâàåòñÿ ïåðåä ÷èñëîì (n − dn )(dn + 1) ≈ 2n 2 .Äîëÿ öåëûõ ÷èñåë îòðåçêà [2n − 2; Cn2 + 1], ðåàëèçóåìûõ â êà÷åñòâå ÷èñëà îáëàñòåé,ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå ïðè n → ∞. Âñå ëàêóíû ñîäåðæàòñÿ â îòðåçêåÑëåäñòâèå 2.1.[2n − 2; (n − dn )(dn + 1)]è äîëÿ öåëûõ ÷èñåë ýòîãî îòðåçêà, ðåàëèçóåìûõ â êà÷åñòâå ÷èñëà îáëàñòåé, ñòðåìèòñÿ ê 13 ïðè n → ∞.Äåéñòâèòåëüíî, êîëè÷åñòâî ñîäåðæàùèõñÿ â ëàêóíàõ öåëûõ ÷èñåë ðàâíî√dn∑2 2 32(bi − ai − 1) =(n − Ci+1 − 2) ≈n2 .3i=2i=2dn∑2n − 2 4n − 12?rrr6?rrrrr6n − 30?rrrrrrr rrrrrrrrrrr63n − 6 5n − 20trrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrt66(dn + 1)(n − dn )Cn2 + 1Ðèñ.
3: Ìíîæåñòâî ÷èñåë îáëàñòåé äëÿ áîëüøèõ nËåììà 2.7.Àðíîëüä, [2]. Äëÿ íåòðèâèàëüíûõ íàáîðîâ n ïñåâäîïðÿìûõ2m(n − m + 1) 6 f 6 m(n − m + 1) + Cn−m,ïðè÷åì ðàâåíñòâî ñïðàâà äîñòèãàåòñÿ, åñëè ïîìèìî m ïåðåñåêàþùèõñÿ â îäíîéòî÷êå ïñåâäîïðÿìûõ îñòàëüíûå n−m ïñåâäîïðÿìûõ íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèèäðóã ê äðóãó è ê êîëëèíåàðíûì ïñåâäîïðÿìûì.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ëåììó èíäóêöèåé ïî n, áàçà n = m + 1. Ïóñòü äâîéíîåíåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ íàáîðîâ n ïñåâäîïðÿìûõ. Òîãäà ïðè äîáàâëåíèè åùåîäíîé ïñåâäîïðÿìîé íîìåð n + 1 ÷èñëî îáëàñòåé óâåëè÷èòñÿ íà ÷èñëî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ äîáàâëåííîé ïñåâäîïðÿìîé ñ ïðåäûäóùèìè, êîòîðîå íå ìåíüøå m è íå áîëüøån.
Çàìåòèì, ÷òî ðàâåíñòâî ñëåâà, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò íå äîñòèãàòüñÿ ïðè m < n2 .Ïóñòü ÷èñëî îáëàñòåé íåòðèâèàëüíîãî íàáîðà n ïñåâäîïðÿìûõ ïðèíàäëåæèò ëàêóíå íîìåð i, ãäå i 6 dn . Òîãäà m 6 i.Ëåììà 2.8.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò.å. ÷òî m > i + 1. Òîãäà, åñëè i + 1 6m 6 n − i, òî ïî ëåììå 2.7f > m(n − m + 1) > (i + 1)(n − i) = bi ,29÷òî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî ÷èñëî f ïðèíàäëåæèò ëàêóíå íîìåð i. Åñëè m > n−i+1,226 Ci−1. Ñëåäîâàòåëüíî ïî ëåììå 2.7òî n − m 6 i − 1 è Cn−m22f 6 m(n − m + 1) + Cn−m6 i(n − i + 1) + Ci−1= ai ,÷òî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî ÷èñëî f ïðèíàäëåæèò ëàêóíå íîìåð i.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ìàðòèíîâà.
Äîñòàòî÷íîñòü. Äëÿ äàííîãî k , 1 6 k 6 n−2è ÷èñëà f , òàêîãî ÷òî{}f = (n − k)(k + 1) + Ck2 − t,0 6 t 6 min n − k, Ck2ïîñòðîèì íàáîð èç n ïðÿìûõ, äåëÿùèé ïëîñêîñòü íà f îáëàñòåé. Ïóñòü ÷åðåç îäíóòî÷êó ïðîõîäèò n − k ïðÿìûõ, îñòàëüíûå ïðÿìûå íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèèïî îòíîøåíèþ äðóã ê äðóãó. Ïðè ýòîì t ïðÿìûõ èç òåõ, êîòîðûå ïðîõîäÿò ÷åðåçîäíó òî÷êó, ïðîõîäÿò ÷åðåç t òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ, íàõîäÿùèõñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè. Ïðîâåñòè òàê ïðÿìûå âîçìîæíî, ò.ê. 0 6 t 6 min {n − k, Ck2 }.
Íåòðóäíîïîäñ÷èòàòü, ÷òî ÷èñëî îáëàñòåé ðàâíî f = (n − k)(k + 1) + Ck2 − t.Íåîáõîäèìîñòü ñëåäóåò èç ëåìì 2.8 è 2.5, â êîòîðîé â êà÷åñòâå ÷èñëà k ñëåäóåòâçÿòü íîìåð i ãèïîòåòè÷åñêîé ëàêóíû, ñîäåðæàùåé ÷èñëî îáëàñòåé f .Åñëè ðàññìàòðèâàòü âìåñòî ïñåâäîïðÿìûõ íàáîðû ïðÿìûõ, òî ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ÷èñåë îáëàñòåé íå èçìåíèòüñÿ, ò.ê.
ïðèìåð áûë ïîñòðîåíäëÿ ïðÿìûõ, à íåîáõîäèìîñòü â òåîðåìå Ìàðòèíîâà äëÿ ïðÿìûõ î÷åâèäíî ñëåäóåòèç íåîáõîäèìîñòè äëÿ ïñåâäîïðÿìûõ.Çàìå÷àíèå 2.5.303Íàáîðû ïîãðóæåííûõ îêðóæíîñòåé íà äâóìåðíûõïîâåðõíîñòÿõÏóñòü⊔ M⊔ ñâÿçíàÿ äâóìåðíàÿ ãëàäêàÿ êîìïàêòíàÿ ïîâåðõíîñòü áåç êðàÿ, S =S 1 · · · S 1 äèçúþíêòíîå îáúåäèíåíèå n îêðóæíîñòåé, φ : S → M ïîãðóæåíèå ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ïðîîáðàçîâ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ, ò.å. ñ êîíå÷íûì ÷èñëîìïàð ðàçëè÷íûõ òî÷åê (x, y), òàêèõ ÷òî φ(x) = φ(y).Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ÷èñëî f êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè äîïîëíåíèÿ â M ê φ(S).Ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ÷èñåë f äëÿ äàííîãî ìíîãîîáðàçèÿ è ÷èñëà n áóäåì(êàê è ðàíüøå) îáîçíà÷àòü ÷åðåç Fp (M, n). Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî áåç äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé íà ïîãðóæåíèå φ ìíîæåñòâî Fp (M, n) ïîëó÷àåòñÿ äîâîëüíîïðîñòûì.
Åñëè æå çàôèêñèðîâàòü ìåòðèêó íà M è âìåñòî φ(S) ðàññìàòðèâàòü íàáîðû èç n çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ, òî ìíîæåñòâà F (M, n) ÷èñåë êîìïîíåíò ñâÿçíîñòèáóäóò áîëåå èíòåðåñíûìè. Ìû íàéäåì â ÿâíîì âèäå ïîñëåäíèå ìíîæåñòâà äëÿ ðàâíîãðàííûõ òåòðàýäðîâ, òîðîâ è áóòûëîê Êëåéíà ñ ëîêàëüíî åâêëèäîâîé ìåòðèêîé,ïðè÷åì îêàæåòñÿ, ÷òî ìíîæåñòâà íå çàâèñÿò îò êîíêðåòíîãî âûáîðà ïëîñêîé ìåòðèêèèëè îò ñîîòíîøåíèé ìåæäó äëèíàìè ðåáåð ðàâíîãðàííîãî òåòðàýäðà.3.1 Î ÷èñëå ñâÿçíûõ êîìïîíåíò â íåêëåòî÷íûõ ðàçáèåíèÿõñôåð ñ ðó÷êàìèÍàçîâåì ðàçáèåíèå ïîâåðõíîñòè M 2 êîíå÷íûì íàáîðîì çàìêíóòûõ ãëàäêèõ ðåãóëÿðíûõ êðèâûõ êëåòî÷íûì, åñëè âñå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè äîïîëíåíèÿ â M 2 ê îáúåäèíåíèþ êðèâûõ ãîìåîìîðôíû îòêðûòûì äèñêàì.Îïðåäåëåíèå 3.1.Êëåòî÷íûå ðàçáèåíèÿ ïîâåðõíîñòè ðîäà g > 2 äåéñòâèòåëüíî ñóòüïðåäñòàâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè â âèäå êëåòî÷íîãî êîìïëåêñà.Çàìå÷àíèå 3.1.Äëÿ íàáîðà A èç n ïðÿìûõ íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí èìååò âèä∑φA (t) = t2 − nt +(i − 1)ti ,i>2ãäå ti ýòî ÷èñëî òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ i ïðÿìûì.
Ñëåäîâàòåëüíî,ïî òåîðåìå∑Çàñëàâñêîãî ÷èñëî îáëàñòåé ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè ðàâíî 1 + i>2 (i − 1)ti .Äàäèì àíàëîãè÷íîå îïðåäåëåíèå ìíîãî÷ëåíà φA (t) äëÿ íàáîðà îêðóæíîñòåé, ïîãðóæåííûõ îêðóæíîñòåé â çàìêíóòóþ ðèìàíîâó ïîâåðõíîñòüg > 0 (ãî⊔ M⊔ ðîäà11ìåîìîðôíóþ ñôåðå ñ g ðó÷êàìè). Îáîçíà÷èì ÷åðåç S = S. . . S äèçúþíêòíîåîáúåäèíåíèå n îêðóæíîñòåé, à ÷åðåç ϕ : S → M ïîãðóæåíèå ñ êîíå÷íûì ÷èñëîìòî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ti ÷èñëî òî÷åê M , ïðîîáðàç ϕ−1 êîòîðûõñîñòîèò èç i òî÷åê äëÿ i > 2.Îïðåäåëåíèå 3.2.ìíîãî÷ëåíÕàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì äëÿ ïîãðóæåíèÿ ϕ íàçîâåì∑φϕ (t) = t2 − nt +(i − 1)ti .i>231 îòëè÷èå îò ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè, ÷èñëî îáëàñòåé ðèìàíîâîé ïîâåðõíîñòèíåëüçÿ âûðàçèòü òîëüêî ÷åðåç õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, ò.ê. îáëàñòè ìîãóòáûòü íå ãîìåîìîðôíû äèñêó.Òåîðåìà 3.1.
Íà çàìêíóòîé ðèìàíîâîé ïîâåðõíîñòè M ðîäà g > 0 ðàññìîòðèìïîãðóæåíèå ϕ : S → M äèçúþíêòíîãî îáúåäèíåíèÿ n îêðóæíîñòåé ñ êîíå÷íûì÷èñëîì òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ. Òîãäà äëÿ ÷èñëà ñâÿçíûõ êîìïîíåíò |π0 (M \ ϕ(S))|äîïîëíåíèÿ â M ê ìíîæåñòâó ϕ(S) âåðíî|π0 (M \ ϕ(S))| = φϕ(S) (0) + 1 − g + |π0 (ϕ(S))| + k − u,ãäå φϕ(S) (t) ýòî õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí, |π0 (ϕ(S))| ÷èñëî êîìïîíåíòñâÿçíîñòè ìíîæåñòâà ϕ(S) ⊂ M , k ñóììà ðîäîâ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè M \ϕ(S), u ñóììà ðîäîâ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè ðåãóëÿðíîé ε-îêðåñòíîñòè Uε (ϕ(S))ìíîæåñòâà ϕ(S).Ñëåäñòâèå 3.1.(a)|π0 (M \ ϕ(S))| > φϕ(S) (0) + 2 − 2g,ïðè÷åì, åñëè âñå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè M \ ϕ(S) ãîìåîìîðôíû äèñêó, òî äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâî.(á)|π0 (M \ ϕ(S))| > n − 2g + 1,ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ äëÿ íàáîðà 2g îáðàçóþùèõ ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû M .(â)|π0 (M \ ϕ(S))| 6 φϕ(S) (0) + |π0 (ϕ(S))| + 1,ïðè÷åì äëÿ íàáîðà, ñîñòîÿùåãî èç îäíîé ïðîñòîé ãåîäåçè÷åñêîé, äåëÿùåé ìíîãîîáðàçèå M ðîäà g > 2 íà äâå îáëàñòè, äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâî.(ã) Äëÿ äâóìåðíîé ñòàíäàðòíîé ñôåðû S 2 è îáúåäèíåíèÿ n çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ, ïîëó÷èì |π0 (ϕ(S))| = 1, k = u = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,|π0 (S 2 \ ϕ(S))| = φϕ(S) (0) + 2.(ä) Äëÿ äâóìåðíîãî ïëîñêîãî òîðà T 2 = R2 /Z2 è îáúåäèíåíèÿ n çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ, âçÿòîãî çà ϕ(S), ïîëó÷èì k = 0, g = 1 è|π0 (T 2 \ ϕ(S))| = φϕ(S) (0) + |π0 (ϕ(S))| − u.Åñëè ñðåäè ãåîäåçè÷åñêèõ åñòü õîòÿ áû äâå íå ïàðàëëåëüíûå äðóã äðóãó, òîπ0 (ϕ(S))| = u = 1|π0 (T 2 \ ϕ(S))| = φϕ(S) (0).èÅñëè âñå çàìêíóòûå ãåîäåçè÷åñêèå ïîïàðíî ïàðàëëåëüíû, òî|π0 (ϕ(S))| = n,u = φϕ(S) (0) = 0è|π0 (T 2 \ ϕ(S))| = n.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.1.
Ïîñ÷èòàåì Ýéëåðîâó õàðàêòåðèñòèêó χ(M ) ìíîãîîáðàçèÿ M è ïðèìåíèì äâà ôàêòà:32Ëåììà 3.1.Äëÿ êîíå÷íûõ ñèìïëèöèàëüíûõ êîìïëåêñîâ X è Y âåðíî∪∩χ(XY ) = χ(X) + χ(Y ) − χ(XY ).Çäåñü X è Y ñ÷èòàþòñÿ ïîäêîìïëåêñàìè â íåêîòîðîì îáúåìëþùåì êîìïëåêñå.Ëþáîå êîìïàêòíîå äâóìåðíîå ïîäìíîãîîáðàçèå ñôåðû ñ g ðó÷êàìè ãîìåîìîðôíî íåñâÿçíîìó îáúåäèíåíèþ ñôåð ñ ðó÷êàìè è äûðêàìè, ïðè÷åì ñóììà ðîäîâêîìïîíåíò ñâÿçíîñòè íå ïðåâîñõîäèò ÷èñëà g .Ëåììà 3.2. êà÷åñòâå X âîçüìåì ðåãóëÿðíóþ îêðåñòíîñòü ϕ(S), â êà÷åñòâå Y çàìûêàíèåäîïîëíåíèÿ â M ê ðåãóëÿðíîé îêðåñòíîñòè ìíîæåñòâà ϕ(S).3.2 Ìíîæåñòâî ÷èñåë îáëàñòåé â ðàçáèåíèÿõ ïîâåðõíîñòåé ñåìåéñòâàìè êðèâûõÄîïóñòèìûì ñåìåéñòâîì êðèâûõ Γ áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâî çàìêíóòûõ ãëàäêèõ êðèâûõ íà çàìêíóòîì ãëàäêîì äâóìåðíîì ìíîãîîáðàçèèM 2 ñî ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:Îïðåäåëåíèå 3.3.• äëÿ ëþáîé γ ∈ Γ âñå òî÷êè ñàìîïåðåñå÷åíèÿ γ äâîéíûå è èõ ÷èñëî ìèíèìàëüíîâ êëàññå çàìêíóòûõ êðèâûõ, ñâîáîäíî ãîìîòîïíûõ γ ,• äëÿ ëþáûõ γ1 ∈ Γ è γ2 ∈ Γ ÷èñëî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ γ1 è γ2 ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè ñàìîïåðåñå÷åíèÿ ìèíèìàëüíî â êëàññå çàìêíóòûõ êðèâûõ, ñâîáîäíî ãîìîòîïíûõ γ1 è γ2 ,• äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà òî÷åê S ïîâåðõíîñòè M 2 è íåòðèâèàëüíîãî ýëåìåíòà a ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû M 2 ñóùåñòâóåò êðèâàÿ γ ∈ Γ,ãîìîòîïíàÿ a è íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè èç S ,• äëÿ ëþáîé òî÷êè A íà ïîâåðõíîñòè M 2 è íåòðèâèàëüíîãî ýëåìåíòà a ôóíäàìåíòàëüíîé ãðóïïû M 2 ñóùåñòâóåò êðèâàÿ γ ∈ Γ, ãîìîòîïíàÿ a è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó A.×åðåç F (M 2 , Γ, n) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ ÷èñåë êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè äîïîëíåíèÿ â M 2 ê îáúåäèíåíèþ n ðàçëè÷íûõ êðèâûõ èç ΓÏóñòü M 2 ãîìåîìîðôíî ñôåðå ñ g > 2 ðó÷êàìè, à Γ ïðîèçâîëüíîåäîïóñòèìîå ìíîæåñòâî êðèâûõ íà M 2 .
ÒîãäàÃèïîòåçà 3.1.F (M 2 , Γ, n) = {m ∈ N | m > n − 2g + 1}. ñèëó ñëåäñòâèÿ 3.1 îñòàåòñÿ ðåàëèçîâàòü âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, áîëüøèå n−2g ,íàáîðàìè êðèâûõ èç Γ.333.3 Ìíîæåñòâà ÷èñåë îáëàñòåé â ðàçáèåíèÿõ òîðîâ è áóòûëîêÊëåéíàÏîä ïëîñêèì òîðîì T 2 èëèïëîñêîé áóòûëêîé Êëåéíà KL2 èìååì â âèäó ïàðàëëåëîãðàìì ABCD ⊂ R2 íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè ñ îòîæäåñòâëåííûìè ñòîðîíàìèÐàçáèåíèÿ íàáîðàìè çàìêíóòûõ ãåîäåçè÷åñêèõ.AB ∼ DC, AD ∼ BCèAB ∼ DC, AD ∼ CBñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü p1 : R2 → T 2 è p2 : R2 → KL2 ñîîòâåòñòâóþùèå ëîêàëüíîèçîìåòðè÷íûå óíèâåðñàëüíûå íàêðûòèÿ. Ïîäíÿòèå ãåîäåçè÷åñêîé (îò äàííîé òî÷êèïëîñêîñòè) ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé, ïðè÷åì çàìêíóòîñòü ãåîäåçè÷åñêîé ðàâíîñèëüíà ñîèçìåðèìîñòè êîîðäèíàò íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ïðÿìîé, ðàçëîæåííîãî ïî áàçèñó−→ −−→{AB, AD}.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
