Распределение количества компонент связности дополнения к наборам замкнутых геодезических (1104603), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. . , Ad ïðè d > 3 (çàíóìåðîâàííûìè â ïîðÿäêåñëåäîâàíèÿ). Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîé âåðøèíû V ∈ G èìååò ìåñòî õîòÿ áû îäíî èçñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèé.1. Âåðøèíà V ñîåäèíåíà ðåáðàìè ãðàôà G ñ íå ìåíåå ÷åì òðåìÿ âåðøèíàìè èçìíîæåñòâà {A1 , . . . , Ad }.2.
Âåðøèíà V ñîåäèíåíà ðåáðàìè ãðàôà G ñ ðîâíî äâóìÿ âåðøèíàìè èç ìíîæåñòâà {A1 , . . . , Ad } è ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé ãðàíèöû îäíîé îáëàñòè èç ìíîæåñòâàF.3. Âåðøèíà V ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé ãðàíèö íå ìåíåå ÷åì äâóõ îáëàñòåé èç ìíîæåñòâà F .Ïóñòü äëÿ êàêîãî-òî i, 1 6 i 6 d îòðåçîê V Ai íå ÿâëÿåòñÿ ðåáðîì ãðàôà G. Òîãäàèíòåðâàë V Ai ïðèíàäëåæèò îáðàçîâàííîé ãðàôîì G îáëàñòè, ãðàíèöà êîòîðîé ñîäåðæèò âåðøèíû V è Ai , è ñîñòîèò èç íå ìåíåå ÷åòûðåõ ðåáåð ãðàôà G. Åñëè ýòàîáëàñòü íå èç ìíîæåñòâà F , òî åå ãðàíèöà åñòü ìíîãîóãîëüíèê ñ âåðøèíàìèV, Ak , Ak+1 , . . . , Ai , . . .
, Al15äëÿ íåêîòîðûõ ÷èñåë k è l, ò.å. âñå âåðøèíû ãðàíèöû, êðîìå V , ñóòü òî÷êè Ak , . . . , Al ,à îòðåçêè V Ak è V Al ÿâëÿþòñÿ ðåáðàìè ãðàôà G. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ âåðøèíûV óòâåðæäåíèå (1) íå âûïîëíÿåòñÿ. Òîãäà âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ.(i) Âåðøèíà V ñîåäèíåíà ðåáðàìè ãðàôà G ðîâíî ñ äâóìÿ âåðøèíàìè èç ìíîæåñòâà {A1 , . .
. , Ad }.(ii) Âåðøèíà V ñîåäèíåíà ðåáðàìè ãðàôà G ñ íå áîëåå îäíîé âåðøèíîé èç ìíîæåñòâà {A1 , . . . , Ad }. ñëó÷àå (i) îáîçíà÷èì ýòè äâå âåðøèíû ÷åðåç Ak è Al . Òîãäà ñðåäè îñòàëüíûõ d − 2 > 1 âåðøèí ìíîæåñòâà {A1 , . . . , Ad } íàéäåòñÿ âåðøèíà Aq , òàêàÿ ÷òîòî÷êà V ñîäåðæèòñÿ â òðåóãîëüíèêå Aq Ak Al (à òðåóãîëüíèê ëåæèò â çàìûêàíèè îáëàñòè A1 , . .
. , An ). Òîãäà îòðåçîê V Aq íå ÿâëÿåòñÿ ðåáðîì ãðàôà G è èíòåðâàë V Aqñîäåðæèòñÿ â îáëàñòè èç ìíîæåñòâà F . Ñëåäîâàòåëüíî, â ñëó÷àå (i) âûïîëíÿåòñÿóòâåðæäåíèå (2).Cëó÷àé (ii). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåðøèíà V ñîåäèíåíà ðåáðîì ãðàôà G ñ íåêîòîðîé âåðøèíîé Ak èç ìíîæåñòâà {A1 , . . .
, Ad }. Òîãäà ïñåâäîïðÿìàÿ V Ak ðàçáèâàåòìíîæåñòâî âåðøèí {A1 , . . . , Ad } \ {Ak } íà äâà íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâà, íàõîäÿùèõñÿïî ðàçíûå ñòîðîíû (â çàìûêàíèè îáëàñòè A1 . . . Ad ) îò ïñåâäîïðÿìîé V Ak . Òîãäà ïîîáå ñòîðîíû îò ïñåâäîïðÿìîé V Ak íàéäåòñÿ îáëàñòü èç F , ãðàíèöà êîòîðîé ñîäåðæèò òî÷êó V . Ñëåäîâàòåëüíî, áóäåò âûïîëíåíî óòâåðæäåíèå (3). Åñëè âåðøèíà Víå ñîåäèíåíà ðåáðîì ãðàôà G íè ñ êàêîé âåðøèíîé èç ìíîæåñòâà {A1 , .
. . , Ad }, òîâìåñòî ïñåâäîïðÿìîé V Ak âîçüìåì ëþáóþ ïñåâäîïðÿìóþ íàáîðà, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåçòî÷êó V . Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ âåðøèíû V âûïîëíåíî óòâåðæäåíèå (3).Øàã 6. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé âåðøèíû V (èñõîäíîãî) ãðàôà ñòåïåíè íå ìåíåå ÷åì6 îáîçíà÷èì ÷åðåç s′ (V ) ñóììó ÷èñëà ïîäõîäÿùèõ ê âåðøèíå V ðåáåð, äðóãîé êîíåö êîòîðûõ èìååò ñòåïåíü íå ìåíåå ÷åì 6, è óäâîåííîãî ÷èñëà ïðèìûêàþùèõ ê Vîáëàñòåé èç ìíîæåñòâà F . Òàê êàê äëÿ ëþáîé âåðøèíû V ñòåïåíè íå ìåíåå ÷åì 6 âûïîëíÿåòñÿ õîòÿ áû îäíî èç óòâåðæäåíèé (1) (3) ïðåäûäóùåãî øàãà, òî s′ (V ) > 3.Îáîçíà÷èì ÷åðåç s′ ñóììó∑s′ (V )s′ =deg(V )>6÷èñåë s′ (V ) äëÿ âñåõ âåðøèí V ñòåïåíè íå ìåíåå ÷åì 6.
Òàê êàê s′ (V ) > 3, òî∑s′ > 3ti .i>3Ñ äðóãîé ñòîðîíû, s′ = 2y + 2s. Ñëåäîâàòåëüíî,y+s>Èç (2.8) è (2.13) ïîëó÷àåì∑∑3p4 +jpj − s > x = 2t2 + y −itij>53∑ti .2 i>3=⇒i>33p4 +(2.14)∑j>516jpj +∑i>3iti − 2t2 > y + s.Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà è (2.14) ñëåäóåò, ÷òî3p4 +∑j>5jpj +∑i>33∑tiiti − 2t2 >2 i>3=⇒)∑(33p4 +jpj +i−ti > 2t2 . 2j>5i>3∑Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.2. Ïî ëåììå Ìåëüõèîðà 2.2 èìååì∑∑(9 − 3i)ti = 9 + 3p4 +(3j − 9)pj .i>2j>5Ïî ëåììå 2.4 ïîëó÷àåì)∑(3jpj > 2t2 −i−3p4 +ti − 1.2j>5i>3∑Çàìåòèì, ÷òî 3j − 9 > j ïðè j > 5.
Ñëåäîâàòåëüíî, ò.ê. pj > 0, ñïðàâåäëèâî))∑∑(∑(331(9 − 3i)ti > 9 + 2t2 −i−ti − 1 ⇔ t2 + t3 > 8 +2i − 7ti . 222i>2i>3i>4(À. Ò. Ôîìåíêî). Ïåðåíåñåì âñå ÷ëåíû íåðàâåíñòâ Ìåëüõèîðà (2.3),Õèðöåáðóõà (2.4) è (2.5) â áîëüøóþ ÷àñòü è ñîñòàâèì èç ïîëó÷èâøèõñÿ êîýôôèöèåíòîâ ïðè t2 , . . . , tn òðè âåêòîðà â Rn−1 . À èìåííî, êîîðäèíàòà íîìåð i = 1, . . .
, n − 1âåêòîðîâ ðàâíà êîýôôèöèåíòó ïðè ti+1 â ñîîòâåòñòâóþùåì íåðàâåíñòâå:Çàìå÷àíèå 2.1.−→N1 = (1, 0, −1, . . . , 3 − n) ,)(−→3N2 = 1, , 0, −1, . . . , 9 − 2n ,4()−→3 11N3 = 1, , − , . . . , 7 − 2n .2 22−→ −→ −→Àñèìïòîòèêà ïðè n → ∞ äëèí âåêòîðîâ N1 , N2 , N3 ñëåäóþùàÿ:(( ))−→11 3,|N1 | = √ n 2 1 + On3(( ))−→2 31|N2 | = √ n 2 1 + O,n3(( ))−→12 3|N3 | = √ n 2 1 + O.n3−→ −→−→ −→Äîêàæåì, ÷òî óãëû ìåæäó âåêòîðàìè N1 è N2 , à òàêæå ìåæäó âåêòîðàìè N2 è N3ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Òàê êàê(( ))(( ))−→ −→−→ −→1 3113 1|N1 − N2 | = √ n 2 1 + Oè |N2 − N3 | = n 2 1 + On2n317−→ −→ïðè n → ∞, òî ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ äëÿ òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè N1 , N2 è−→ −→òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè N2 , N3 ïîëó÷àåì:( )( )(−(−→)→ −→)→ −11cos ∠ N1 , N2 = 1 − Oè cos ∠ N2 , N3 = 1 − Onnïðè n → ∞.2.2 Îöåíêè ÷èñëà îáëàñòåé äëÿ íàáîðîâ ïñåâäîïðÿìûõ ñ îãðàíè÷åííûìè âûðîæäåíèÿìèÌàêñèìàëüíîå ÷èñëî m ïñåâäîïðÿìûõ, èìåþùèõ îáùóþ òî÷êó, âûñòóïàåò êàê íåêèéïîêàçàòåëü âûðîæäåííîñòè íàáîðîâ ïñåâäîïðÿìûõ.
Íàøà öåëü ïîëó÷èòü íèæíèåîöåíêè ÷èñëà îáëàñòåé f äëÿ ôèêñèðîâàííûõ ÷èñåë n è m. Ïðè ýòîì êàæäàÿ îöåíêàòðåáóåò äîïîëíèòåëüíûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó n è m.Ìåòîä ïîñòðîåíèÿ íèæíèõ îöåíîê ÷èñëàf ÷åðåç ëèíåéíûå ïî ti íåðàâåíñòâà. Çàôèêñèðóåì ÷èñëî ïñåâäîïðÿìûõ n è ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî m ïñåâäîïðÿìûõ,èìåþùèõ îáùóþ òî÷êó. Ïî ëåììå 2.1f −1=m∑(i − 1)ti .(2.15)i=2Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå ïî ti íåðàâåíñòâî âèäà∑αi ti > α0 ,(2.16)i>2ãäå α0 , α2 , α3 , . . . , αn êîíñòàíòû ïðè ôèêñèðîâàííîì n.
Íàïðèìåð, äëÿ íåðàâåíñòâàÕèðöåáðóõà (2.4) ýòè êîíñòàíòû ðàâíûα0 = n,α2 = 1,3α3 = ,4αi = 9 − 2i ïðèα4 = 0,i > 5.Ïîäáåðåì òàêèå ïîëîæèòåëüíûå êîýôôèöèåíòû c1 è c2 (ïîñòîÿííûå ïðè ôèêñèðîâàííîì m), ÷òîc1 i(i − 1) + c2 αi 6 i − 1äëÿ âñåõ2 6 i 6 m.(2.17)Óìíîæèì íåðàâåíñòâî (2.17) äëÿ êàæäîãî i íà ti è ïðîñóììèðóåì ïî i = 2, . . . , m.Ïîñêîëüêó ÷èñëà ti íåîòðèöàòåëüíû, òî ïîëó÷èòñÿ íåðàâåíñòâîc1m∑i=2i(i − 1)ti + c2m∑i=2α i ti 6m∑(i − 1)tii=2⇔c1 n(n − 1) + c2m∑αi ti 6 f − 1.i=2Òàê êàê c2 > 0, òî èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà, èç (2.16) è òîãî, ÷òî tk = 0 ïðè k > m,ñëåäóåòf > c1 n(n − 1) + c2 α0 + 1.(2.18)äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ êîíñòàíò c1 è c2 , óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå íåðàâåíñòâ (2.17).18Íèæíèå îöåíêè ÷èñëà îáëàñòåéfÏóñòü äëÿ íåòðèâèàëüíîãî íàáîðà n ðàçëè÷íûõ ïñåâäîïðÿìûõ íà âåùåñòâåííîé ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïñåâäîïðÿìûõ, èìåþùèõîáùóþ òî÷êó, ðàâíî m.
Ïóñòü T > m. ÒîãäàÒåîðåìà 2.3.n2 − n + 2Tf >2,T +3()3m − 8 21 (n2 − n) + (9m2 − 21m + 1)f>m2 + 3m − 15(2.19)(2.20)ïðè 12 6 m < n − 2.Äëÿ íåòðèâèàëüíûõ íàáîðîâ n ðàçëè÷íûõ ïðÿìûõ íà ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè2RP ïðè 5 6 m < n − 2 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîf>(3m − 10)n2 + (m2 − 6m + 12)n+ 1,m2 + 3m − 18(2.21)Äëÿ íàáîðîâ ïðÿìûõ âûïîëíÿþòñÿ âñå òðè íåðàâåíñòâà òåîðåìû.Íåðàâåíñòâî (2.19) ñëåäóåò èç (2.20) ïðè 6 6 m < n − 2.Çàìå÷àíèå 2.2.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ïåðâîå íåðàâåíñòâî.
Çàïèøåì íåðàâåíñòâî Ìåëüõèîðà(2.3) â âèäå (2.16) ñ êîýôôèöèåíòàìèαi = 3 − i ïðèα0 = 3,i > 2.Ââåäåì ïîëîæèòåëüíûå ìíîæèòåëèc1 =2T +3èc2 =T −1.T +3Ðàññìîòðèì êâàäðàòíûé ìíîãî÷ëåí îòíîñèòåëüíî i:w(i) = c1 i(i − 1) + c2 (3 − i) − (i − 1).Òàê êàê çíà÷åíèÿ ìíîãî÷ëåíà w(i) íà êîíöàõ îòðåçêà [2, T ] ðàâíû íóëþ è ñòàðøèéêîýôôèöèåíò c1 > 0, òî w(i) 6 0 äëÿ âñåõ 2 6 i 6 T. Îòñþäà è èç (2.18) ïîëó÷àåì( 2)n − n + 2Tf >2.T +3Äîêàæåì âòîðîå íåðàâåíñòâî òåîðåìû. Òàê êàê m < n − 2, òî tn−1 = tn−2 = 0 èâûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (2.5). Çàïèøåì (2.5) â âèäå (2.16) ñ êîýôôèöèåíòàìèα0 = 8,α2 = 1,3α3 = ,21αi = 7 − 2i2ïðè i > 4. Òàê êàê m > 12, òî ñèñòåìà íåðàâåíñòâ (2.17) ïðèíèìàåò âèä()131 > 2c1 + c2 , 2 > 6c1 + c2 , i − 1 > c1 i(i − 1) − c2 2i − 72219(2.22)äëÿ 4 6 i 6 m. Äîêàæåì, ÷òî äëÿ êîíñòàíò (ïîëîæèòåëüíûõ ïðè m > 12)3m − 8 12c1 = 2,m + 3m − 15m2 − 3m + 2c2 = 2m + 3m − 15âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà (2.22).
Âî-ïåðâûõ, 2c1 + c2 = 1. Âî-âòîðûõ,3336c1 + c2 = 3c1 + (2c1 + c2 ) = 3c1 + 6 2222⇔⇔ c1 616⇔(m − 12)(m − 3) > 0.Â-òðåòüèõ, ðàññìîòðèì êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí()1R(i) = c1 i(i − 1) − c2 2i − 7− (i − 1).2Ðàçëîæèì òðåõ÷ëåí R(i) íà ìíîæèòåëè)())(((i − m) 3m − 8 21 i − 8 21 m − 19 12R(i) =.m2 + 3m − 15Çàìåòèì, ÷òî R(i) 6 0 ïðè 4 6 i 6 m, ò.ê. äëÿ i > 4 âûïîëíÿåòñÿ)()(11111i − 8 m − 19> 3 m − 14 > 03m − 822222ïðè m > 12. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ âûáðàííûõ êîíñòàíò c1 è c2 ñïðàâåäëèâà ñèñòåìàíåðàâåíñòâ (2.22) è íåðàâåíñòâî (2.18) ïðè α0 = 8 èìååò âèä()3m − 8 12 (n2 − n) + (9m2 − 21m + 1)f>m2 + 3m − 15ïðè 12 6 m < n − 2.Äîêàæåì òðåòüå íåðàâåíñòâî. Ïîñêîëüêó m < n − 2, òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî(2.4).
Çàïèøåì (2.4) â âèäå (2.16) ñ êîýôôèöèåíòàìèα0 = n,α2 = 1,3α3 = ,4α4 = 0,αi = 9 − 2iïðè i > 5. Òàê êàê m > 5, òî ñèñòåìà íåðàâåíñòâ (2.17) ïðèíèìàåò âèä1 > 2c1 + c2 ,32 > 6c1 + c2 ,43 > 12c1 ,i − 1 > c1 i(i − 1) − c2 (2i − 9)äëÿ 5 6 i 6 m. Äîêàæåì, ÷òî äëÿ êîíñòàíò (ïîëîæèòåëüíûõ ïðè m > 5)c1 =3m − 10,2m + 3m − 18c2 =m2 − 3m + 2m2 + 3m − 18âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà (2.23).
Âî-ïåðâûõ, 2c1 + c2 = 1. Âî-âòîðûõ,c1 614⇔(m − 4)(m − 5) + 2 > 0.20(2.23)Â-òðåòüèõ,3313 96c1 + c2 = (2c1 + c2 ) + 4 c1 6 + < 2.4424 8Íàêîíåö, ðàññìîòðèì êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåíQ(i) = c1 i(i − 1) − c2 (2i − 9) − (i − 1).Ðàçëîæèì òðåõ÷ëåí Q(i) íà ìíîæèòåëèQ(i) =(i − m) ((3m − 10)i − (10m − 24)).(m − 3)(m + 6)Çàìåòèì, ÷òî Q(i) 6 0 ïðè 5 6 i 6 m, òàê êàê, åñëè m > 6, òî(3m − 10)i − (10m − 24) > 5m − 26 > 0,à åñëè m = 5, òî òîãäà i = 5 è Q(5) = 0. Èòàê, äëÿ âûáðàííûõ c1 è c2 ñïðàâåäëèâàñèñòåìà íåðàâåíñòâ (2.23) è ïîýòîìó èç (2.18) ïðè α0 = n ñëåäóåòf>(3m − 10)n2 + (m2 − 6m + 12)n+ 1m2 + 3m − 18ïðè 5 6 m < n − 2.Ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííûõ íèæíèõ îöåíîê ìû äàäèì íîâîå äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåé ëåììû H. Ìàðòèíîâà, êîòîðàÿ áóäåò íóæíà äëÿ êëàññèôèêàöèè âñåõ âîçìîæíûõ÷èñåë îáëàñòåé.Í.
Ìàðòèíîâ, [26, th. 1]. Äëÿ íåòðèâèàëüíûõ íàáîðîâ n ïñåâäîïðÿìûõ2è öåëûõ ÷èñåë k , òàêèõ ÷òî n > Ck+1+ 3 è m 6 k , ñïðàâåäëèâîËåììà 2.5.f > (k + 1)(n − k).Äëÿ íåòðèâèàëüíûõ íàáîðîâ n ïñåâäîïðÿìûõ è öåëûõ ÷èñåë k , òàêèõ ÷òî n >+ 3 è m 6 k , ñïðàâåäëèâî2Ck+1f > (k + 1)(n − k).(2.24)Äëÿ íàáîðîâ ïðÿìûõ ýòó ëåììó ìîæíî àëãåáðàè÷åñêè âûâåñòè èç ïåðâîãî è òðåòüåãîíåðàâåíñòâ òåîðåìû 2.3. Äëÿ íàáîðîâ ïñåâäîïðÿìûõ íàì ïîíàäîáèòñÿ äîïîëíèòåëüíîå ïîñòðîåíèå. Ðàññìîòðèì ÷åòûðå ñëó÷àÿ.(1) m < k ,(2) m = k è 2 6 k 6 5,(3) m = k > 6 è tk = 1,(4) m = k > 6 è tk > 2.Ñëó÷àè (1) (3).
 ñëó÷àå (1) èç íàáîðà ïñåâäîïðÿìûõ óäàëÿåòñÿ ëþáàÿ ïñåâäîïðÿìàÿ, â ñëó÷àå (3) ïñåâäîïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ k ïñåâäîïðÿìûõ. ×èñëî îáëàñòåé ïðè ýòîì òîëüêî óìåíüøèòñÿ. Ïðèìåíèì ïåðâîå íåðàâåíñòâî òåîðåìû 2.3 äëÿ ïîëó÷åííûõ ñåìåéñòâ èç n − 1 ïñåâäîïðÿìûõ ñ ìàêñèìàëüíîé21êðàòíîñòüþ íå áîëåå k − 1 â ñëó÷àÿõ (1) è (3) è äëÿ èñõîäíîãî íàáîðà èç n ïñåâäîïðÿìûõ ñ ìàêñèìàëüíîé êðàòíîñòüþ k â ñëó÷àå (2).n2 − n + 2k;k+3(n − 1)2 − (n − 1) + 2(k − 1).ñëó÷àè (1), (3): f > 2k+2ñëó÷àé (2): f > 2Äîêàæåì ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà ïðè óñëîâèè n >(2)):k2 +k2+ 3 (è ïðè k 6 5 â ñëó÷àån2 − n + 2k> (k + 1)(n − k);k+3(n − 1)2 − (n − 1) + 2(k − 1)2> (k + 1)(n − k),k+22Ýòè íåðàâåíñòâà ðàâíîñèëüíû íåðàâåíñòâàìk 2 + 4k + 5 k 3 + 4k 2 + 7k+> 0;22k 2 + 3k + 8 k 3 + 3k 2 + 6kq(n) = n2 − n+> 0.22s(n) = n2 − nËåâûå ÷àñòè äâóõ ïîñëåäíèõ íåðàâåíñòâ ñóòü êâàäðàòíûå òðåõ÷ëåíû s(n) è q(n) îòk2 +kíîñèòåëüíî n, äëÿ ïðîâåðêè íåîòðèöàòåëüíîñòèêîòîðûõïðè()( n > )2 +3 äîñòàòî÷íîóñòàíîâèòü íåîòðèöàòåëüíîñòü çíà÷åíèé s(k2 +k2+3 è qk2 +k2+3 :)k2 + k(6 − k)(k 2 + 1) − 2ks+3 =;24)( 2k +k(k − 3)(k + 2)+3 => 0.q22( 2)k +kÏðè k 6 5 âåðíî 6−k > 1, è ïîýòîìó s+ 3 > 0.
 ñëó÷àÿõ (1) è (3) âåðíî k > 3,2( 2)ïîýòîìó q k 2+k + 3 > 0. Èòàê, âî âñåõ ñëó÷àÿõ (1) (3) ïîëó÷èëè íåðàâåíñòâîf > (k + 1)(n − k).Ñëó÷àé 4. Äàíî m = k > 6 è tk > 2. Òîãäà íàéäóòñÿ õîòÿ áû äâå òî÷êè, âêàæäîé èç êîòîðûõ ïåðåñåêàåòñÿ k ïñåâäîïðÿìûõ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
