Рентгеновская спектроскопия на основе кристаллов с переменным периодом решетки (1104565), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Зависимость ширины плоского гауссового пучка от расстояния в параксиальномприближении задается формулой:ra(z) =a2z2+ 2 2.aκПри этом спектр такого пучка имеет вид:½¾1 2 2z 2f (kx , kz ) = a exp − a kx − i kx22κРасширение пучка формально можно объяснить наличием в фазе пучкадифракционного слагаемого, квадратичного по kx . Отсюда следует, чтодля восстановления исходного профиля нужно уже искаженному пучкупридать фазовый набег, пропорциональный kx2 :½¾1 2 2L 2d2 φc 2dφckxf (kx , kz ) = a exp − a kx − i kx + i 2 kx + i22κdkxdkxПри этом ширина пучка будет определяться формулой:sµ¶221dφca(L) = a2 + 2 2 L − κ 2 .aκdkxВо втором параграфе третьей главы поставлена задача динамической дифракции на кристалле с переменным периодом решетки.
Будемрешать задачу в двухволновом приближении, считая, что в кристалле7существует только две волны: проходящая E0 и дифрагированная Eh ,соответствующая наименьшему вектору обратной решетки H(r). Предположим также, что период кристалла (и вектор обратной решетки) меняется с глубиной и зависит только от координаты z:H(z) = H0 + h(z)ezгде H0 — вектор обратной решетки идеального кристалла, а h(z) — добавка, обусловленная деформацией решетки. Волновой вектор падающейна кристалл плоской волны равенk0 = κ cos θ0 ex + κ sin θ0 ez ,а волновой вектор дифрагированной волны равенkh = k0 + H(z).Будем рассматривать s-поляризованные волны и крайне асимметричнуюсхему дифракции.
В этом случае выражения для падающего и дифрагированного полей будут иметь вид:E0 = E0 (z)ex ,Eh = Eh (z)ex .В итоге получаем систему уравнений для амплитуд прошедшей E0 идифрагированной Eh волн: 2d E0dE0+2iκγ= −κ2 χ0 E0 − κ2 χh̄ Eh02dzdzdEhg1 (z) = −κ2 χh E0 + Eh (g0 + g2 (z)) .dzгдеg0 = −κ2 χ0 − 2κH0 cos θ0 sin ψ + H02 sin2 ψg1 (z) = 2iκγ0 − 2iH0 cos ψ − 2ih(z) − 2iz8dh(z)dzиg2 (z) = −2κγ0 h(z) + h(z)2 + 2h(z)H0 cos ψ++ 2idh(z)dh(z)dh(z)− 2κzγ0+ 2zH0 cos ψ+dzdzdz¶2µdh(z)d2 h(z)dh(z)+ 2zh(z)+ iz+ z2dzd z2dzГраничные условия имеют вид:E0 (0) = 1E0 (∞) = 0Eh (∞) = 0Будем рассматривать случай экспоненциальной деформации кристалла.В слабоасимметричной схеме дифракции система упрощается и коэффициент отражения принимает вид:¶µ2aa3 d0 1 F1 (1 + α, 1 + β, a3 d0 )R(0) = −1+b+s1 + d0 s1 F1 (α, β, a3 d0 )Если межплоскостное расстояние у поверхности кристалла больше, чемв глубине, коэффициент отражения деформированного кристалла по отношению к коэффициенту отражения идеального кристалла сдвинут всторону меньших углов.
Кроме того, существует область, в которой фаза коэффициента отражения меняется квадратичным образом в зависимости от проекции волнового вектора падающей волны на поверхностькристалла (см. рис. 1,2.) Таким образом, в во втором параграфе предложено приближенное аналитическое решение и показана принципиальнаявозможность создания фокусирующих систем на основе кристаллов с переменным периодом решетки.В третьем параграфе выведены формулы расчета некоторых параметров фокусировки рентгеновского пучка в асимметричной схеме дифракции. Показано, что возможность восстановления профиля падающего пучка определяются величиной параметра:¶µ∂ϕ∂2ϕ22· cos (θb + ψ)Lf = β · κ · 2 · sin (θb − ψ) − L1 −∂k∂k9Рис.
1. Модуль коэффициенты отражения, рассчитанный для идеального(пунктир) и деформированного (непрерывная линия) кристаллов.Рис. 2. Коэффициент отражения деформированного (непрерывная линия)кристалла и его фаза (пунктир).Пучок восстанавливается на расстоянии Lf от кристалла, если Lf > 0.При Lf ≤ 0 фазовая коррекция невозможна и ширина отраженного пучка растет по мере увеличения расстояния от кристалла. Длина перетяж10ки сфокусированного пучка определяется формулой:d = β 2 · a2 · κЧетвертый, заключительный параграф посвящен описанию результатов численных экспериментов по расчету фокусировки рентгеновскогоизлучения в крайне асимметричной схеме дифракции. Проведен расчетпараметров установки на основе кристалла Ge(111), β = 30 для λ == 1.541Å.Четвертая глава диссертации также является оригинальной и посвящена описанию разработанной в ходе выполнения диссертационнойработы модели возбуждения ядерных переходов тормозным излучениемгорячих электронов.В первом параграфе изложен принцип построения модели на основе уравнений Максвелла-Блоха для двухуровневой среды.
В типичныхусловиях эксперимента по возбуждению ядерных переходов в фемтосекундной лазерной плазме возбуждается один, самый низкоэнергетический ядерный уровень. Поэтому мы можем использовать двухуровневуюмодель ядра. В этом случае система уравнений, описывающих эволюциюядерных уровней, имеет вид:Z1 ∂ 2A4π4π∆A − 2 2 = −j (r, t, ω0 ) f (ω0 ) dω0 −je (r, t) ,c ∂tcc∂ji |m|2,+ (Γ − iω0 ) j = −Aρ0 ,∂t~c∂ρ2i+ Γ1 ρ2 =[j (r, t) A∗ (r, t) − A (r, t) j ∗ (r, t)]∂t~cгде A – векторный потенциал электромагнитной волны; j (r, t, ω0 ) —плотность тока ядерного перехода на частоте ω0 которая попадает вдопплерский контур f (ω0 ); je – плотность тока свободных электроновплазмы; Γ = 1/T2 однородная ширина ядерного перехода; m = em == e h2| j |1i матричный элемент ядерного перехода между основным |1iи первым возбужденным |2i уровнями ядра (здесь e вектор поляризацииэлектромагнитной волны); ρ2 и ρ0 плотность населенности первого воз11бужденного уровня и полная плотность ядер соответственно; 1/Γ1 времяжизни первого возбужденного уровня.Во втором параграфе проводится решение поставленной выше задачи.
В частности, получено выражение для векторного потенциала тормозного излучения горячих электронов:A (r, ω) =X ev (ω)icRiexp (−ikRi ),√где k = ω ε/c волновое число Ri = |r − ri | , а v — скорость горячегоэлектрона.Получено выражение для эффективности возбуждения ядер:"#222RRRdN2(ω − ωn )ω |d| N0π√dV dω dω 0 exp −= 2 22dt~ c V 2π∆ωD2∆ωD[A (ω) A∗ (ω 0 ) exp [i (ω − ω 0 ) t] +A∗ (ω) A (ω 0 ) exp [i (ω − ω 0 ) t]]Также во втором параграфе четвертой главы проводится сравнение зависимости числа возбужденных ядер от ряда параметров для различныхмоделей векторного потенциала.В третьем параграфе предлагается модель корреляционной функциивекторного потенциала.
Основная идея предложенной модели состоитв учете конечности времени столкновения между электроном и ионом.Сокращение времени столкновения приводит к расширению спектра тормозного излучения и сдвигу его в более высокочастотную область, что, всвою очередь, приводит к увеличению области перекрытия между тормозным спектром и допплеровски уширенной линией ядерного перехода.Возрастание же области перекрытия проявляется в росте числа возбужденных ядер. На ее основе этой модели выводится выражение для тормозного спектра лазерной плазмы:µ¶e2 hv 2 i ω 3ωI (ω) =K1αv0(2παv0 )2 c3График функции I (ω) показан на рис.
3. Мы видим, что профиль интенсивности очень близок к форме спектра излучения черного тела. Однако12в отличие от излучения черного тела максимум спектральной плотности достигается на частоте ωm = 2αv0 , которая обратно пропорциональна времени столкновения. Также на основе полученной корреляционнойфункции строится выражение для эффективности возбуждения ядер:√dN26 2πN0 ωn2 |d|2 e2νe t=·2 2(2πc)2 α2µ dt ¶ r ~ c VR|ω|2πexp (−2µr)|ω| K1· IΩdV2αv04∆ωD + νe2r2гдеµR2Ω2IΩ = dΩ exp −24∆ωD+ νe2¶·2νe2 (Ω − ωn ) tcos24∆ωD+ νe2¸µ¶2 2 2∆ωDνe t + ωn (ωn − 2Ω)exp −224∆ωD+ νe2На рис. 4 показана зависимость числа возбужденных ядер от параметраα и времени.
При этом параметр c0 /τ (c0 — величина, обратная тепловой скорости горячего электрона) меняется в пределах 107 ± 5 · 105 ,при этом τ = 10−17 с. Время меняется в интервале от нуля до 5 · 10−13с. Интересно сравнить полученный результат с данными эксперимента.В работе «Возбуждение и распад низколежащих ядерных состояний вРис. 3. Спектр интенсивности тормозного излучения плазмы.13плотной плазме субпикосекундного лазерного импульса» (А.В.
Андреев, В.М. Гордиенко, А.М. Дыхне, М.П. Калашников, П.М. Михеев, П.В.Никлес, А.Б. Савельев, Е.В. Ткаля, Р.А. Чалых, О.В. Чутко; ЖЭТФ,Т.118, №6(12), стр. 1343–1357, 2000) оценка общего числа возбужденныхв лазерной плазме ядер дает значение (2 ± 0.5) · 104 ядер на одну лазерную вспышку. Таким образом, наш результат находится в хорошемсоответствии с экспериментальными данными.В четвертом параграфе развита статистическая модель возбужденияядер тормозным излучением горячих электронов. В рамках этой модели показано, что неперекрывающиеся импульсы тормозного излученияэлектронов, соударяющихся с ионами, возбуждают ядра когерентнымобразом.
Рост числа электрон-ионных столкновений приводит к ростучисла возбужденных ядер, пока последнее не достигнет максимума. Последующий рост числа соударений приводит к спаду числа возбужден-Рис. 4. Зависимость числа возбужденных ядер от времени t и параметра, обратно пропорционального времени соударения электрона с ионом.14ных ядер, поскольку перекрывающиеся импульсы тормозного излучениянекогерентны. Однако затем дальнейшее увеличение числа соударенийприводит к линейному росту числа возбужденных ядер.
Если число неперекрывающихся импульсов определить выражениемNc =Tpτ0то весь интервал времени облучения мишени делится на Nc ячеек. Числонепустых ячеек при этом приближенно равно¸·TpτKc =th kiτTpСреднее число соударений в одной ячейке моделируем следующим выражением·¸ττN1c = kc + exp −kcTpTpгде kc — полное число столкновений. Таким образом, среднее число соударений в течение времени облучения мишени равноNtotal = N1c · Kcи эффективность возбуждения ядер дается выражением:hRR 0ω 2 |d|2 4πN0 e2 R exp (−µR)N2 = 2 2 √dVdωdω ·~ c " 2π∆ωD c2 #R2(ω − ωn )2 sin [τ (ω − ω 0 )]exp −·22∆ωD(ω − ω 0 )(r−1)σ 2· e∗0∗0iNc Kc (Nc Kc − 1) hv (τ, ω)i hv (τ, ω )i + Nc Kc hv (τ, ω) v (τ, ω )iгде угловые скобки означают усреднение по распределению Максвелла.Показано, что зависимость числа возбужденных ядер от числаэлектрон-ионных соударений имеет является немонотонной и имеет ярковыраженный максимум (см.
рис. 5).Первоначальный рост числа возбужденных ядер вызван растущимчислом электрон-ионных соударений, увеличивающих долю энергии тормозного излучения. Причем неперекрывающиеся импульсы тормозного15Рис. 5. Зависимость числа возбужденных ядер от числа электрон-ионных соударений.Рис. 6. Зависимость числа возбужденных ядер от числа электрон-ионных соударений при больших значениях Nc .излучения возбуждают ядра когерентно. Дальнейший спад объясняется тем, что при увеличении числа соударений несогласованные по фазеимпульсы тормозного излучения различных электронов начинают пере16крываться, возбуждая данное ядро некогерентно. Последующий линейный рост (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
