Диссертация (1104561), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Выводы к первой главеВ главе экспериментально исследовался угловой спектр биотонного поля,генерируемого в процессе СПР. Было экспериментально подтверждено, что исследуемый угловой спектр хорошо согласуется с моделью разложения по модамШмидта, с базисными модами разложения в виде мод Эрмита-Гаусса. Фильтрация пространственных мод осуществлялась при помощи голограммной техники.При помощи процедуры самокалибрующейся томографии были полученыпараметры «неидеальности» детектирования экспериментальной установки ивосстановлены собственные значения разложения Шмидта, с учетом этих параметров.38Результаты первой главы представлены в двух публикациях [39, 40].39Глава 2Томография пространственного спектратеплового поля2.1.
Квази-разложение Шмидта в классическом тепловомполеПосле экспериметна по изучению разложения Шмидта в угловом спектребифотонного поля, рассмотренного в первой главе диссертации, возник вопрос:возможно ли получить аналог разложения Шмидта в классическом случае, илиэто свойство только квантовых систем с перепутыванием? Другими словами,обладает ли корреляционная функция интенсивности классического источникаособенностями, сходными со случаем бифотонного поля, и если да, то в чем жепринципиальное различие между разложением по когерентным модам в квантовом и классическом случае? Ответу на этот вопрос посвящена вторая главадиссертационной работы.В общем виде разложение Шмидта для вектора состояния бифотонногополя выглядит следующим образом[7]|Ψ⟩ =∑︁ √︀ ̂︀1 † ̂︀2 † | 0⟩1 | 0⟩2 ,(2.1)в этом выражении̂︀1 † , ̂︀2 † - операторы рождения в модах, с номером 1 (опорной)и 2 (холостой) процесса СПР соответственно.
Свойства разложения Шмидтадля углового спектра бифотонного поля подробно рассмотрены в теоретическойработе [7], и экспериментально исследованы в работах [39, 40, 64, 65]. Важнымсвойством данного разложения является то, что суммирование ведется толькопо одному индексу.Что означает: если в эксперименте каким-либо образомпроисходит выделение моды1в опорном канале, то корреляция будет наблюдаться только с аналогичной модой2холостого канала.40После введения определенных приближений, амплитуда бифотонного поля, процесса спонтанного параметрического рассеяния (СПР), может быть записана в виде разложения Шмидта, где собственными функциями являютсямоды Эрмита-Гаусса: 2 (2 + 2 )Φ, (, ) = H ()H () exp(−),2где(2.2)H, (, ) - полиномы Эрмита.
Разложение Шмидта в базисе мод ЭрмитаГаусса экспериментально и теоретически исследовалось в проведенной ранееработе.В отличие от перепутанных фотонных пар, рождающихся в СПР, для волновой функции которых можно записать разложение Шмидта, в классическомслучае перепутывания не существует и, казалось бы, написать подобное разложение не представляется возможным, однако, это не так. Как это было показанов работе [26], похожее разложение может быть записано для функции когерентности (корреляционной функции второго порядка по полю) (1) (1 , 2 ) =∑︁ * (1 ) (2 ),(2.3)здесь1и2- поперечные распространению излучения координаты в двух пространственных направлениях (аналогичных направлениям сигнального и холостого фотонов в процессе СПР).
Как и в разложении (2.1) суммирование здесьведется только по одному индексу(этот индекс может быть двухкомпонентным, например, для более удобной нумерации горизонтальных и вертикальныхпространственных мод = {′ , ′ }).Для квазитепловых источников оказывается, что разложение (2.3) также может быть проведено по когерентным модамЭрмита-Гаусса. Разложение (2.1) здесь и далее в тексте будем называть квазиразложением Шмидта.Основным различием разложения (2.1) от квази-Шмидтовского разложения (2.3) является то, что первое записывается непосредственно для амплитудыбифотонного поля.
В случае же квазитепловых источников, разложение пишет41ся для корреляционной функции. Физически измеримой величиной для разложения (2.1) является квадрат модуля волновой функции, который также можетбыть записан в виде разложения по когерентным модам, с собственными значениями .И в квантовом и в классическом случае измеряется корреляционнаяфункция четверного порядка по полю (2) , которая из соотношения Зигерта длятеплового источника равна (2) = 1 + | (1) |2 = 1 +∑︁2 |* (1 ) (2 )|2 ≤ 2,(2.4)в этом выражении индексы1и2соответствуют сигнальной и холостой моде.Для случая бифотонного поля (2) (0) = 1 +где⟨ ⟩(2.5)- среднее число фотонов на моду. Для малого числа фотонов на моду⟨ ⟩ ≪ 1нии1,⟨ ⟩и (2) (0) ≫ 1.Экспериментально (2) (0) =- скорость счета совпадений отсчетов,1ифотоотсчетов в соответствующих каналах. Значение1 2 в этом выраже2- скорости единичных (2) (0) в квантовом случаетакже может быть записано в виде: (2) (0) ∼ ∼∑︁ |* (1 ) (2 )|2 ,(2.6)здесь* (1 )- мода, рожденная в холостой моде процесса СПР, а (2 )- рожденная в сигнальной.2.2.
Модель Шелла для квазитеплового источника.Разложение по когерентным модам.Модель Шелла описывает свойства пространственной и временной когерентности излучения модельного источника, обладающего квазитепловой статистикой. Для простоты выкладок, не ограничивая общности, будем рассматривать только одномерный гауссов тепловой источник, также, будем считать,42что поляризация фиксирована. Одномерный источник модели Шелла характеризуется корреляционной функцией второго порядка по полю (функцией когерентности) [26].√︀(1) (1 , 2 , ) =здесьа(1 , )(2 , ) · (1 − 2 , ),(2.7)(, ) - спектральная интенсивность в точке источника с координатой ,(1 − 2 , )- комплексная степень пространственной когерентности на оптической частоте.Функция (1)может описывать корреляционную функциюкак реального источника, так и вторичных источников, на каком-то удаленииот реального источника излучения (в текущей главе будет в основном рассматриваться второй случай).В гауссовой модели Шелла интенсивность и степень когерентности представляются в виде:где(, ) = () exp[−2 /22 ()],(2.8)(1 − 2 , ) = exp[−(1 − 2 )2 /22 ()],(2.9)(), (), ()- положительные константы.Корреляционная функция (1)может быть записана в виде разложения покогерентным модам [66] (1) (1 , 2 , ) =∑︁ ()* (1 , ) (2 , ),(2.10) ()соответствующиев этом разложении (, )- собственные функции, аим собственные значения, суть решения интегрального уравнения ФредгольмаZ (1) (1 , 2 , ) (1 , )1 = () (2 , ),(2.11)где интегрирование ведется по всей области источника.Для простоты выкладок введем следующие обозначения:() =1,42 ()() =431,42 ()(2.12)после чего можно получить решение уравнения Фредгольма в виде разложенияпо когерентным модам [26](︂)︂1/2 (︂)︂∞∑︁2 (1) (1 , 2 , ) =2 ! + + ++=0(︁ √ )︁(︁ √ )︁× 1 2 2 2 exp[−(21 + 22 )].Здесь константа=√2 + 2,а(2.13)полиномы Эрмита.
Таким образом, собственные функции разложения (2.10) есть(︂ () =2)︂1/4√√1 ( 2) exp(−2 )2 !(2.14)с соответствующими собственными значениями(︂ = ++)︂1/2 (︂++)︂.(2.15)Остановимся более подробно на распределении собственных значений, таккак они непосредственно могут быть измерены экспериментально. Из выражения (2.15) легко получить отношение=0(︂++)︂,(2.16)с другой стороны, это отношение собственных значений можно записать всегочерез один экспериментально измеримый параметр=0(︂12 /2 + 1 + [(/2)2 + 1]1/2)︂,(2.17)где=(2.18)определяет степень пространственной когерентности пучка, то есть отношениерадиуса когерентности пучка к радиусу самого пучка.В случае, когда ≫ - пучок полностью когерентен в сечении и1≈ 2 .044 ≫ 1,(2.19)Из этого выражения следует, что при ̸= 0, ≪ 0 ,то есть в полностьюкогерентном случае, в разложении присутствует лишь нулевая мода.Если ≫ – пучок не когерентен в сечении, в этом случае асимптотикавыражения (2.17) приобретает вид:≈ 1 − 0(2.20)случай с большим, в пределе- бесконечным, числом мод в разложении.На рисунке (2.1) приведены распределения для собственных значений, взависимости от управляющего параметра.Рис.
2.1. Отношение n-го собственного значения к нулевому в зависимост от параметра Рассмотренная выше теория, за исключением модового состава корреляционной функции (1) , относится к случаю поля в ближней зоне, то есть распределения по когерентным модам сразу после квазитеплового источника. Нас будетинтересовать случай распределения поля в дальней зоне, в силу устройства детектора пространственных мод. При переходе из ближней зоны дифракции вдальнюю, распределение собственных значений не меняется, из-за дифракции45меняется лишь профиль моды согласно уравнению [26] (, ) = −2 ∞Z(1) (′ )0 ()′ ,(2.21)−∞(1)0 - функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, - волновое число,√︀( − ′ )2 + 2 .
При больших расстояние до рассматриваемой точки =гдепучка можно записать через угол, под которым точка видна от источника. ≈ − ′ sin ,здесь =√2 + 2(2.22)- расстояние от центра теплового источника до точки наблюдения. Используя асимптотику функции Ханкеля при больших значенияхаргумента можно получить итоговое выражение для дальней зоны дифракции(∞) (, ) = cos (︂ sin √2)︂]︂( sin )2 exp[( − /4)]√·,exp −4[︂(2.23)в этом выражении коэффициенты равны:(−1) = √.2 ! (2)1/4(2.24)2.3. "Скрытые"изображения в классических и квантовыхполяхПространственные корреляции в классических полях давно исследовалисьв связи с построением "скрытых"изображений.
Общая схема для получения"скрытых"изображений (ghost imaging в иностранной литературе) приведенана рисунке 2.2.Классические или квантовые поля (сигнальное̂︀и опорное̂︀ )распространяются в двух различных направлениях, поля могут проходить через линейные оптическое элементы, такие, как линзы или зеркала. В опорном каналесхемы ставится объект, с пропусканием (, ),46где- поперечная координатаРис.2.2.Установкадляизмерения"скрытых"изображений (Рис. из [67])относительно распространению излучения. Объект может быть и чисто фазовым [68], все излучение̂︀2 (, )после объекта собирается в детектор. В сигнальном канале устанавливается точечный детектор, который может перемещаться в поперечном направлении1 .Сигналы с обоих детекторов поступаютна схему совпадений. Перемещая точечный детектор вдоль координатыэтом в корреляционной функциита (1 , ).1 , при (2) (1 ) можно наблюдать пропускание объекРаспределения, полученные при помощи описанной выше процедуры были названы "скрытыми"изображениями, так как собирающий детектор,куда попадает излучение после объекта (фазовой маски, или маски, работающей на пропускание), не имеет достаточного разрешения, для определенияпропускающей функции (1 , ).Впервые демонстрация эффекта "скрытых"изображений была проведенав работе [20].
В данной работе в качестве квантового источника света использовались бифотонные состояния, получаемые в процессе спонтанного параметрического рассеяния (СПР). Проявление "скрытых"изображений в этом эксперименте объяснялось наличием перепутанности у фотонных пар, то есть квантовой природой света. Однако, последующие работы экспериментальные, напри47мер [69] и теоретические [24, 70], показали, что скрытые изображения могутпроявляться не только в случае квантовых источников, но и в классическихполях от квазитепловых источников, но контраст получаемых изображений будет отличаться в худшую сторону. Рассмотрим более подробно теорию "скрытых"изображений, как для случая квазитеплового излучения, который болеедетально будет освещен в дальнейшем, так и для квантового случая.Для случая, когда в качестве опорного и холостого поля используютсяперепутанные фотонные пары, рожденные, например, в процессе СПР в кристалле с квадратичной нелинейностью(2)и синхронизмом типа II [71].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
