Диссертация (1104367), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Вразделе 2.3 эти ограничения получены из рассмотрения процессов с участием37-мезонов, а в разделе 2.4 — из рассмотрения таких процессов, как распады-мезонов и барионов.2.2. Эффективный лагранжианДля вычисления таких величин, как ширины распадов или параметры CPнарушения, нам понадобится четырехмерный эффективный лагранжиан. Онполучается из полного шестимерного лагранжиана модели интегрированиемпо координатам дополнительных измерений. Эта процедура подробно описанав работе [29], здесь же мы приводим необходимые в дальнейшем результаты,полученные в этой работе.Четырехмерное взаимодействие нулевых мод фермионов с КК башнейфотона описывается лагранжианомℒ4 = · Tr(A j* ) + h.c. ,(2.6)здесь – четырехмерный заряд электрона, фермионный ток дается выражением= † ¯ ,(2.7)где – двухкомпонентные вейлевские спиноры, а индексы , нумеруютпоколения. Калибровочное поле A представляет собой матрицу по индексампоколений:⎛∞ ⎜∑︁⎜A = (A ) =⎜⎝ †=0,0 11,0,1 *21,1,2 *31,2,1 ,112,0 22,0,1 *32,1,2 ,213,1 23,1,0 33,0 ,⎞⎟⎟⎟.⎠(2.8),−Входящие в (2.8) величины , характеризующие перекрытие шестимерных волновых функций фотона и фермионов, могут быть оценены следующим38образом:,−⎧⎪|−|+1/2 |−|⎪при ≪ 1,⎪⎪⎨ 1√при ≃ 1,≃⎪⎪⎪⎪⎩ e− ( )при ≫ 1.(2.9)Поля , () в (2.8) являются коэффициентами разложения шестимерного векторного поля (, , ) по сферическим гармоникам , (, ).
Приэтом мода с полным моментом имеет четырехмерную массу 2 = ( + 1)/2 ,а индекс характеризует переносимый угловой момент (номер поколения ).Как видно из выражения (2.9), константа связи с фермионами имеет наибольшее значение для векторных полей с массами√︀( + 1)1 =∼. (2.10)Именно моды с ∼ 1/ имеют наибольшее перекрытие с фермионными волновыми функциями, угловой размер которых ≃ ; при этом моды с меньшим характеризуются бо́льшей угловой шириной, а высшие моды осциллируютнесколько раз на характерной угловой ширине фермионных волновых функций.Входящие в лагранжиан (2.2) элементы матрицы (2.8) и фермионы являются состояниями в калибровочном базисе, тогда как физически наблюдаемые массовые состояния являются их линейными комбинациями. В частности,массовая матрица фермионов с квантовыми числами нижних кварков имеетследующий вид [25, 69]:⎛ 12 0⎜ 11⎜ = ⎜ 0 22 23⎝00 33⎞⎛43⎞ 0⎟⎟ ⎜⎟ ⎜⎟2⎟ ∝ ⎜ 0 ⎟ ,⎠ ⎝⎠0 0 1где отношение масштабов локализации скалярного и векторного полей определено формулой (2.4), а ∼ 0.1 - параметр, характеризующий смешивание.39Массовая матрица может быть диагонализована с помощью биунитарного преобразования:† = diag .Фермионы в массовом базисе имеют вид = († ) , = († ) ,где использованы обозначения для левых и для правых нижних кварков соответственно.
При этом входящий в лагранжиан ток (2.7) изменится,поэтому матрица (2.9) также должна быть преобразована:Ã = † A .(2.11)В ведущем порядке по , и преобразованная матрица имеет следующийвид:⎛**⎞A11 − 2Re( A12 )A12 +(A11−A22)− A13A13 + (A12 − A23 )⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜A* +* (A −A )−A* A +2Re(*(A −A )) A +* A +(A −A )⎟ ,11222212232313223313⎜ 12⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠********A13 + (A12 − A23 )A23 +A13+ (A22−A33 )A33 + 2Re( A23 )(2.12)где параметры , ≃ являются безразмерными комбинациями элементовматрицы .Взаимодействие фермионов с ± - и - бозонами сходно с описанным выше случаем электромагнитного взаимодействия с заменой j на заряженныеи нейтральный токи СМ в выражении (2.2).
Другие различия с электромагнитным случаем подробно разобраны в работе [74], однако они не влияют наполученные результаты.Теперь остановимся подробнее на взаимодействии КК башни -бозона сфермионами СМ, приводящем к процессам с нарушением аромата (лептонногочисла). Рассмотрим, к примеру, элемент {23} матрицы (2.12), который имеет40вид:,0,0,2 ,1 . (2.13)− 3,3),0,2 + (2,2Z23 + * Z13 + (Z22 − Z33 ) ≡ 2,3,1 + * 1,3Первое слагаемое в правой части (2.13) описывает взаимодействие тока 23с, который несет единичный угловой момент (т.е. изменяет номербозоном ,1поколения на единицу).
Остальные взаимодействия, возникающие из (2.13),подавлены параметрами смешивания. Вершины, соответствующие (2.13), показаны на Рисунке 2.1.Рис. 2.1. Вершины взаимодействия, описываемые (2.13) и током нижних кварков.Учитывая, что индексы , нумеруют поколения, можно получить эффективный лагранжиан взаимодействия нейтральных токов.
В лидирующем(не подавленном) порядке он имеет вид:ℒ ∞∑︁)︀,1 (︀ =23,1 ¯ + ¯ + ¯ + ¯ + h.c. ,2 cos =1(2.14)где , =1±52 ,а константы , соответствуют СМ:1 1 = − + sin2 ,2 31 = − + sin2 ,2 =1 2sin ,3 = sin2 .Сумма в (2.14) идет по всем КК модам -бозона.Теперь, зная эффективный четырехмерный лагранжиан взаимодействия,мы можем получить предсказания для вероятностей различных процессов и,сравнивая их с экспериментальными данными, ограничить значения .41Возможности для экспериментальной проверкиИтак, модель имеет следующие особенности, важные для ее экспериментальной проверки:∙ За счет тяжелых мод калибровочных бозонов возможны процессы с нарушением аромата (FCNC). При этом суммарный момент (номер поколения) должен сохраняться во всем процессе.∙ Учет смешивания в кварковом (и лептонном) секторе приводит к возможности процессов с несохранением момента.
Амплитуды таких процессовподавлены степенями малых параметров смешивания.Исходя из этих особенностей, следует изучать процессы с нарушениями аромата и лептонного числа, запрещенные в СМ. При этом, если процессы с на¯ 0 , возникают в СМ нарушением аромата, такие как 0 → + − или 0 → петлевом уровне, то процессы с нарушением лептонного числа полностью запрещены в СМ. Следовательно, можно ожидать, что наиболее интересными сточки зрения экспериментальной проверки модели окажутся именно процессыс нарушением лептонного числа.2.3.
Редкие процессы с участием -мезоновНеобходимо понять, какие процессы с участием -мезонов наиболее чувствительны к новой физике в контексте модели с большими дополнительнымиизмерениями и одним поколением.С одной стороны, нам интересны процессы, для которых получены наилучшие экспериментальные ограничения. С другой стороны, как было указановыше, нас интересуют процессы, амплитуды которых меньше всего подавленыпараметрами смешивания.
Эти процессы и экспериментальные ограничения[21] для них приведены в таблице 2.1.42ПроцессОтносительная ширина |Δ|0 → < 2.0 · 10−700 → < 2.8 · 10−50 0 → 0 < 2.7 · 10−70 0 → < 6.4 · 10−810 → + −< 4.7 · 10−81Δ0 ≈ 1.17 · 10−8 МэВ2 ≈ −0.098 ± 0.013100 ↔ 0 → +−Таблица 2.1. Редкие процессы с -мезонами, наиболее чувствительные к новой физике вконтексте исследуемой модели.Далее мы рассмотрим отдельно процессы с Δ = 0 и процессы с Δ ̸= 0.Важно отметить, что результаты зависят от деталей компактификации.Константы перекрытия могут в несколько раз отличаться от приведенных в(2.9) (подробнее см.
[74]). Возможно, что константы связи легких кварков сКК модами подавлены по сравнению с константами связи тяжелых кварков.В этом случае процессы с участием тяжелых кварков могут оказаться болееинтересными, особенно с учетом растущей статистики. В следующих ниже вычислениях мы будем использовать константы (2.9), однако стоит помнить обуказанной возможности.2.3.1. Процессы с Δ = 0Распад 0 → Рассмотрим нарушающий лептонный аромат распад 0 -мезона на мюони электрон.
Этот процесс имеет наибольшее ограничение среди других двухчастичных распадов - мезонов с Δ = 0. Экспериментально неразличимы 0¯0 в начальном состоянии, и + − и − + в конечном состоянии. Поэтомуи43четыре процесса могут внести вклад в экспериментальную ширину распада.Два из них, а именно, 0 → + − и ¯0 → − + , соответствуют Δ = 0, вто время как два других соответствуют Δ = 2 и, как было указано ранее,существенно подавлены.
Поэтому мы вычислим ширину распада ¯0 → − +и примем во внимание, что Γ(0 → + − ) = Γ(¯0 → − + ).Обсуждаемый распад не может идти через чисто векторное взаимодействие КК мод фотона, поскольку 0 -мезон является псевдоскаляром. Поэтомувклад в ширину распада вносят высшие моды - бозона, взаимодействующиес − током. Эффективный лагранжиан в лидирующем порядке имеет вид:{︂}︂∞∑︁11 1,1,12,1 23 ¯ (− 5 ) + 12 ¯ (2 sin − − 5 ) . (2.15)2 cos 22 2=1Для получения эффективного четырехфермионного взаимодействия необходимо учесть вклад всех промежуточных КК мод:(︂)︂2 ∑︁(︂)︂2∞,1 ,1 22312 ==2 ,2 sin ( + 1)2 sin (2.16)=1где ( + 1)/2 - квадрат массы -ой моды калибровочного бозона, а ≃ 0.47получена в результате численного расчета суммы.Теперь можно записать выражение для амплитуды 0 → распада:)︂2(︂=2 ,(2.17)2 sin здесь = ¯ (− 12 5 − [ 12 − 2 sin2 ]) – лептонный ток и = − 12 –адронный ток; , и – импульс, константа распада и волновая функция0 -мезона соответственно.
Мы используем численное значение ≃ 200 МэВ[75].Из (2.17) получаем выражение для ширины распада, которое в пренебрежении массами лептонов имеет вид:Γ(02 4 2 4 2 2 (1 + (1 − 4 sin2 )2 )→ )=.128+ −(2.18)44Теперь, принимая во внимание то, что в ширину вносят вклад два процесса, можно сравнить полученный результат с экспериментальным ограничениемна относительную парциальную ширину распада:Br(0 → ) = 2Γ(0 → + − ) · 0 < 0 → = 2.0 · 10−7 ,(2.19)где 0 - время жизни - мезона. Отсюда получается ограничение для обратного радиуса дополнительных измерений:(︃)︃1/4222 2 22 0 (1 + (1 − 4 sin ) )1.> 640 →(2.20)Используя необходимые численные данные из [21], находим:1> 0.7 ТэВ.С другой стороны, если использовать ограничение на 1/, известное изанализа редких распадов каонов (2.5), то можно получить значение относительной парциальной ширины, соответствующее радиусу сферы (2.5).
Подставив(2.18) и (2.5) в (2.19), получим:4Br(0 → )|<→ < (64)−1 4 →2 2 2 2 0 (1+(1−4 sin2 )2 ) ,или численноBr(0 → )|<→ < 4.2 · 10−15 .(2.21)Распад 0 → Ограничения на относительную парциальную ширину 0 → распадана два порядка слабее чем аналогичные ограничения для 0 → . Однакоучитывая, что / ≃ 17 и тот факт, что масса лептона входит в выражение для ширины распада квадратично, можно ожидать сравнимых результатов. Рассмотрение этих процессов сходно как с экспериментальной, так и стеоретической точки зрения.45Вершина взаимодействия, полученная из (2.8) и (2.14), имеет вид:{︂}︂∞∑︁111,2 ¯,2 13 (− 5 ) + ¯ (2 sin2 − − 5 ) .2 cos 22 2=2Из нее аналогично выводу (2.20) получаем:(︃)︃1/42 2 2 0 0 2 0 (1 + (1 − 4 sin2 )2 )1> ,64 0 → где 0 – время жизни 0 , 0 → = 2.8 · 10−5 – экспериментальное ограничение на относительную парциальную ширину, а сумма по всем промежуточнымбозонам дает числовой коэффициент∞,2 2∑︁(13)=≃ 0.27 .( + 1)=2В итоге получаем следующее ограничение:1> 0.65 ТэВ.Или, с другой стороны,Br( 0 → )|<→ < 4.1 · 10−13 .Этот результат на два порядка превышает (2.21), что является следствиембольшого отношения / .Распад 0 → 0 На этот распад имеются наиболее жесткие экспериментальные ограничения среди трехчастичных распадов - мезонов с Δ = 0.Вершина, отвечающая → переходу, имеет вид:∞∑︁(︂)︂,1 1,1−23 + 12 +3[︂(︂)︂(︂)︂]︂∞∑︁11 1,1 2,122,1 23sin − − 12 2 sin − + 5 .322 2,1=12 cos =146Поскольку и - и - мезоны являются псевдоскалярами, процесс идет за счетвекторных мод -бозона и фотона.Матричный элемент адронного тока между внешними мезонными состояниями параметризуется следующим образом (см., например, [76]):⟨(′′ )| |(′ )⟩ = (′ + ′′ ) 1 ( 2 ) +)︀2 − 2 (︀22()−(),012где = ′ − ′′ - суммарный импульс лептонов.В пределе нулевых масс лептонов вклад в ширину распада дает толькоформфактор 1 .
В кинематически разрешенной области1 ( 2 ) =1 (0)1−22,где 1 (0) ≃ 0.25 и ≃ 5 ГэВ [76]. Амплитуда распада в этом пределе имеетвид: = 2 2 2 ′ 1 ( 2 ) ( − 5 ) ,где за и обозначены следующие комбинации:(︂)︂ (︂)︂11 21 2 212− sin − 2 sin , = sin −34 cos2 2 32(︂)︂111 2 2 = ·− sin .2 4 cos2 2 3(2.22)(2.23)Вычислив ширину распада (пренебрегая массами конечных частиц) из(2.22), в результате получим:(︂ 2 2 2)︂1/4 1 (0)5 0 0 (2 + 2 )1> .6 3 0 →Используя значение экспериментального ограничения 0 → = 2.7 · 10−7получаем численно:1> 3.3 ТэВ ,а относительная парциальная ширина, соответствующая ограничению на ,полученному из распада → , будет⃒Br( 0 → ) ⃒<→ < 2.4 · 10−12 .47Отметим, что эта величина совпадает с ограничением на относительнуюпарциальную ширину → распада при 1/ = 64 ТэВ.Δ = 0: ИтогиИтак, среди распадов -мезонов с Δ = 0 наилучшее ограничение даеттрехчастичный распад, в то время как ограничение из двухчастичного распадас такой же относительной парциальной шириной получается в пять раз меньше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
