Непрерывные и импульсные акустические сигналы в дважды отрицательных средах (1104112), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для одномерного случаятакое уравнение имеет следующий вид:17 z − z′ v( z , t ) v 0 ( z , t ) 1 − ∫∫ dz ′dt ′δ = − (t − t ′) × p ( z , t ) p0 ( z , t ) 2 c η0 ρ 0sgn( z − z ′) ρ( z ′) − ρ0× sgn( z − z ′)0ρη00 ∂ v( z ′, t ′) .η( z ′) − η0 ∂t ′ p ( z ′, t ′) 0(8)10Рис. 4.Действительнаячастьрассчитанного поля акустическогодавления p (r , t ) в фиксированныймомент времени при падении напластину из отрицательного веществаимпульсов, являющихся суперпозицией 9плоскихмонохроматическихволн.Границыпластиныобозначенычерными горизонтальными линиями.Стрелкамипоказанынаправленияраспространения импульсов в пластинеи в фоновой среде.864200246810Онопозволяетанализироватьраспространениесигналовпроизвольной формы через одномерную систему с произвольнымраспределением плотности и сжимаемости.
На рис. 5 изображен результат䔠کp( z, t ) при падении импульсамоделирования поля акустического давлениягауссовой формы на слой отрицательной среды. По фоновой средеимпульс распространяется в положительном направлении, а внутриплатины – в отрицательном направлении. При этом, как и в случаеприсутствия нескольких частот в спектре сигнала, изображенном на рис.
4,при подходе импульса к слою отрицательной среды на расстояние,меньшее его толщины, начинает формироваться возмущение напротивоположной границе слоя. Положение импульса в этот моментвремени отмечено пунктирной линией. Появление импульса "заранее" навыходе из системы противоречит принципу причинности исвидетельствует о том, что отрицательные среды без дисперсиисуществовать не могут.18Рис. 5. Действительнаячастьпромоделированногополяакустического давления в некоторыймомент времени при падении понормали к пластине из отрицательноговеществаволновогоимпульса,имеющегогауссовуформу.Погоризонтальнойосиотложенакоордината,повертикальной–величина поля. Затемненная полосасоответствуетобласти,гдерасположена пластина.
Вертикальнойпунктирной линией обозначена точка,расположенная от пластины нарасстоянии, равном ее толщине.В разделе 4.2 предполагается, что в дважды отрицательной средедисперсия присутствует, но она носит плавный характер и дисперсионнаякривая не содержит резонансных всплесков.
Рассматривая в качествефункции отклика волновое число k (ω) = k1 (ω) + ik 2(ω) = ω c(ω) + iα(ω) , гдеα (ω) – амплитудное поглощение в среде, можно установить связь междупоглощением и фазовой скоростью волны c с помощью соотношенийКрамерса-Кронига. Данная связь является интегральной, а не локальной почастоте. Из этого следует, что дисперсияв одной области частот не橸Ҿобязательно означает наличие там же поглощения. Задача связатьпоглощение и дисперсию локальным образом оказывается непростой. Врассматриваемом случае эти характеристики являются плавными, и тогдаπω2 ∂cприменима следующая приближенная локальная связь [13]: α(ω) ≈ 22c ∂ω. Групповая скорость определяется как cg = ∂ω ∂k1 . Это позволяетвыразить поглощение через значения фазовой и групповой скоростей:π 2 c (9)α (ω) =1− ,λ c g где λ – длина волны в среде.
Из (9) следует, что в случаепротивоположных по направлению фазовой и групповой скоростейпоглощение чрезвычайно велико. Например, при c = −cg на расстоянии,равном длине волны, происходит уменьшение амплитуды вexp( 2π 2 ) ≈ 3,7 × 10 8 раз, т.е. волна практически не распространяется.Слабое поглощение реализуется при c ≈ c g .
При рассмотренииотрицательной среды это означает отрицательность как фазовой, так игрупповой скорости при одновременно положительном направлениивектора Умова-Пойнтинга. Фактически, возникает ситуация, аналогичнаярассмотренной в разделе 4.1 и противоречащая принципу причинности.Проведенные рассуждения позволяют ожидать, что волновойпроцесс в отрицательной среде может проходить без существенногопоглощения только тогда, когда дисперсия в среде значительна, например,имеет резонансный характер в интересующей области частот. В этомслучае формула (9) не является применимой, и вопрос потребовалдальнейшего рассмотрения.В разделе 4.3 рассматриваются среды с резким характеромдисперсионной кривой, в частности, среды с резонансным откликом.
Приэтом рассуждения, относящиеся к частотной локализации соотношенийКрамерса-Кронига, уже не справедливы, и вывод о поглощении на ихоснове сделать не удается. Поэтому необходимо рассмотрение процессовраспространения нестационарных сигналов через слой резонансной среды.В качестве таких сигналов использовались импульсы с гауссовой формойогибающей, несущая частота которых варьировалась в широких пределах.Моделирование распространения таких импульсов через среду снелокальным по времени откликом потребовало расширения численныхметодов анализа, изложенных в первой главе.Уравнение, описывающее одномерный резонирующий элемент срезонанснойчастотойω0изатуханиемβ,имеетвид&x&(t ) + 2βx& (t ) + ω02 x(t ) = F (t ) .Преобразование Фурье этого выражения дает связь между спектральнымикомпонентами воздействия и отклика элемента.
Переход после этого橸Ҿобратно к временному представлению приводит к соотношению∞1x(t ) =F (t − τ) exp(−βτ) sin( ω02 − β 2 τ)dτ ≡ Qˆ F .(10)22 ∫ω0 − β 0В определенном таким образом операторе Q̂ нижним пределоминтегрирования является ноль, что выражает принцип причинности: натекущее значение отклика резонирующего элемента влияют значениявнешнего воздействия только в предшествующие моменты времени.При выполнении моделирования операторы, соответствующиевключениям плотности и сжимаемости, брались вида (10), с точностью доразмерного коэффициента.
Собственное затухание в резонаторахполагалось равным нулю: β = 0 . В этом случае уравнение (8) принимаетвид z − z′ v( z , t ) v 0 ( z , t ) 1 − ∫∫ dz ′dt ′ δ = − (t − t ′) × p ( z , t ) p0 ( z , t ) 2 c~ ( z ′) η0 ρ 00 ∞sgn( z − z ′) ρ∂ v( z ′, t ′ − τ) .×ωdτsin(ωτ)0~ ( z ′) 0 ∫ sgn( z − z ′) 0′′′ηp(z,t−τ)∂(t−τ)ρη000(11)~~Здесь ρ( z ′) и η( z ′) – размерные параметры, характеризующие наличие илиотсутствие резонансной среды. При моделировании они полагались20~ ( z ′) = η в тех точках, где присутствоваларавными ~ρ( z ′) = ρ 0 и η0резонансная среда, и равными нулю в фоновой области.
Множитель ω0перед интегралом по τ в (11) введен для соблюдения размерности.2001.02001.02001.02001.01500.51500.51500.51500.51000.01000.01000.01000.050-0.550-0.550-0.550-0.50025а50-1.0002550-1.0б0025в50-1.0002550-1.0гРис. 6. Результат расчета действительной части полного поля колебательнойскорости v в системе, содержащей слой из резонансной среды (границы слояотмечены тонкими белыми линиями). По горизонтальной оси отложенаɒпространственная координата, по вертикальной– величина, пропорциональнаявремени. Импульс, имеющий огибающую гауссовой формы, распространяется понормали к слою. Частота модуляции составляет ω = 2.22ω0 (а), ω = 1.67ω0 (б),ω = ω0 (в), ω = 0.67ω0 (г).
Угол наклона белой стрелки соответствует фазовойскорости волны в слое, угол наклона черной стрелки – групповой скорости;λ 0 = 2π c0 ω0 – длина волны в фоновой среде на частоте ω0 резонанса веществаслоя.Моделировалась ситуация, при которой на слой такой резонанснойсреды по нормали, т.е. вдоль оси Z , падал волновой пакет((u 0 ( z , t ) = u 0 exp[ω(t − z c 0 )]exp[− (t − z c 0 ) 2 2T 2 ] , имеющий огибающуюгауссовой формы длительностью T и заполненный колебанием с частотойω . В зависимости от соотношения между частотой набивки ω и частотойω0 собственного резонанса среды наблюдались различные ситуации(рис. 6). На рисунке котангенс угла наклона к оси Z белой стрелки,направленной вдоль черных и белых полос, соответствует значениюфазовой скорости звука в среде, (нормированной на c0 ).
Скорость можетбыть как положительной (наклон стрелки вправо на рис. 6а, 6г), так иотрицательной (наклон влево рис. 6б). Вся область рисунка, охваченнаячерными и белыми полосами, соответствует огибающей импульса.Аналогичным образом, котангенс угла наклона черной стрелки,21направленной вдоль границы этой области, дает групповую скорость.Групповая скорость оказывается во всех случаях (рис. 6а, 6б, 6г)положительной.В "высокочастотной" области (она соответствует примерно ω > 2ω0 )слой ведет себя как положительная среда: на рис. 6а изображен случайω = 2.22ω0 . Как фазовая, так и групповая скорости при этомположительны.В диапазоне частот ω0 < ω < 2ω0 фазовая скорость становитсяотрицательной; при этом групповая скорость по-прежнему положительна.На частоте ω = 1.67ω0 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
