Некоторые подходы к усреднению эволюционных уравнений со случайными коэффициентами (1104046), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ïðè ýòîì îêàçàëîñü, ÷òî ñêîðîñòè íà÷àëüíîãîïðîãðåññèâíîãî ðîñòà ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ íå çàâèñÿò îò ïîðÿäêàíåëèíåéíîñòè è ñîâïàäàþò ñî ñêîðîñòÿìè ðîñòà ìîìåíòîâ ðåøåíèéñîîòâåòñòâóþùèõ ëèíåéíûõ çàäà÷.Çàùèùàåìûå ïîëîæåíèÿÍà çàùèòó âûíîñÿòñÿ ñëåäóþùèå îñíîâíûå ðåçóëüòàòû:1. Ïîñòðîåí êîíñòðóêòèâíûé àëãîðèòì âûâîäà ÿâíûõ óðàâíåíèé äëÿìîìåíòíûõ ôóíêöèé ðåøåíèé ëèíåéíûõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ êîðîòêîêîððåëèðîâàííûìè ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè.2. Ïîëó÷åíû ÿâíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ñðåäíèõ ïîëÿ ßêîáè2-îãî, 3-åãî è 4-îãî ïîðÿäêîâ. Ïðåäëîæåí ïðîñòîé ñïîñîá èñêëþ÷åíèÿïîñòîðîííèõ ðåøåíèé ýòèõ óðàâíåíèé, ïîÿâëåíèå êîòîðûõ îáóñëîâëåíîñòðóêòóðîé ëèíåàðèçèðóþùåãî òåíçîðà ïîëÿ ßêîáè.
Íàéäåíî ñîîòíîøåíèåìåæäó ïîêàçàòåëÿìè ñêîðîñòåé ïðîãðåññèâíîãî ðîñòà ìîìåíòîâ, êîòîðîåïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ñîîòíîøåíèåì, ïîëó÷åííûìðàíåå èç ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà.3. Ïîêàçàíî, ÷òî ðîñò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîëÿ ßêîáè â ìîäåëè ñ5ïàìÿòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè òîãî æå õàðàêòåðà, ÷òî è â ìîäåëèñ ìãíîâåííûìè êîððåëÿöèÿìè. Òåì ñàìûì ïîäòâåðæäåíî, ÷òî ýòîò ðîñòñâÿçàí èìåííî ñ ìàëûìè ôëóêòóàöèÿìè êðèâèçíû, à íå ñ íàëè÷èåì íàãåîäåçè÷åñêîé ó÷àñòêîâ ñ îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíîé.4.
Íà ïðèìåðå ïðîñòûõ íåëèíåéíûõ ëàãðàíæåâûõ ìîäåëåé äåìîíñòðèðóåòñÿ ïîäàâëåíèå ýôôåêòîâ ïåðåìåæàåìîñòè, âûðàæàþùååñÿ â ïðåêðàùåíèèíà÷àëüíîãî ïðîãðåññèâíîãî ðîñòà âûñøèõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ.5.Îöåíåíîáúåìâûáîðêèíåçàâèñèìûõñëó÷àéíûõðåàëèçàöèéðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìûõ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûé íåîáõîäèì äëÿâîñïðîèçâåäåíèÿ ñâîéñòâ èõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ. Ïîêàçàíî, ÷òî ýòîòîáúåì íå ïðåâîñõîäèò òîãî îáúåìà, êîòîðûé òðåáóåòñÿ äëÿ ÷èñëåííîãîìîäåëèðîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ëèíåéíûõ çàäà÷.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü ðàáîòûÑèñòåìàòèçèðîâàííàÿ òåõíèêà âûâîäà çàìêíóòûõ ìîìåíòíûõ óðàâíåíèé,îñíîâàííàÿ íà ïðåäëîæåííîì òåíçîðíîì àëãîðèòìå, ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà ïðè èññëåäîâàíèè øèðîêîãî êðóãà êàê ÷èñòî òåîðåòè÷åñêèõ çàäà÷,òàê è çàäà÷, âîçíèêàþùèõ â ïðèëîæåíèÿõ.
Ïîêàçàòåëüíûì ïðèìåðîìïîñëåäíèõ ìîãóò ñëóæèòü çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ ðàçëè÷íûìè ìîäåëÿìèÿâëåíèé ïåðåíîñà â ñëó÷àéíûõ ñðåäàõ, è, â ÷àñòíîñòè, ñ ìîäåëÿìèäèíàìî, ãäå îäíèì èç êëþ÷åâûõ ýòàïîâ èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ óñðåäíåíèåóðàâíåíèÿ èíäóêöèè è íàõîæäåíèå ìîìåíòíûõ óðàâíåíèé äëÿ ìàãíèòíîãîïîëÿ â ñîîòâåòñòâóþùåì ñëó÷àéíîì ïîòîêå.Ìîìåíòû ïîëÿ ßêîáè ÿâëÿþòñÿ îäíîé èç êëþ÷åâûõ õàðàêòåðèñòèê,îïèñûâàþùèõ ïîâåäåíèå ãåîäåçè÷åñêèõ íà ìíîãîîáðàçèÿõ ñëó÷àéíîéêðèâèçíû. Ïîýòîìó íàéäåííûå ìîìåíòíûå óðàâíåíèÿ íå òîëüêî âõîäÿò âîïèñàíèå ýôôåêòà ß.Á.
Çåëüäîâè÷à, íî è ïðåäñòàâëÿþò ñàìîñòîÿòåëüíûéãåîìåòðè÷åñêèé èíòåðåñ.Ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííîãî â ðàìêàõ ïðîñòûõ ëàãðàíæåâûõ ìîäåëåé÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà ìîãóò ïðèíåñòè ïîëüçó ïðè ÷èñëåííîì èññëåäîâà6íèè áîëåå ñëîæíûõ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè.  ÷àñòíîñòè, ýòî êàñàåòñÿ ïîëó÷åííûõ îöåíîê ìèíèìàëüíûõ îáúåìîââûáîðêè íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ðåàëèçàöèé ðåøåíèé, íåîáõîäèìûõ äëÿìîäåëèðîâàíèÿ èõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ.Àïðîáàöèÿ ðàáîòûÐåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü íà ñëåäóþùèõ ìåæäóíàðîäíûõñåìèíàðàõ è êîíôåðåíöèÿõ:1.
"Íåðàâíîâåñíûå ïðîöåññû â ñïëîøíûõ ñðåäàõ", ã. Ïåðìü, 2007.2. "Àêòóàëüíûå ïðîáëåìû âíåãàëàêòè÷åñêîé àñòðîíîìèè", ã. Ïóùèíî,2007.3. "Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è êðàåâûå çàäà÷è", ã. Ñàìàðà, 2008.4. "Ìåæäóíàðîäíàÿ øêîëà-ñåìèíàð ïî ãåîìåòðèè è àíàëèçó ïàìÿòè Í.Â.Åôèìîâà", ï. Àáðàó-Äþðñî, 2008.5. "Transport in hydrodynamic ows: analytical and numerical approaches",ã. Ìîñêâà, 2008.6. "Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä êàê îñíîâà ñîâðåìåííûõ òåõíîëîãèé", ã.Ïåðìü, 2009.ÏóáëèêàöèèÏî òåìå äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíî 11 ðàáîò (5 ñòàòåé â ðåöåíçèðóåìûõæóðíàëàõ, 2 ñòàòüè â ñáîðíèêàõ òðóäîâ êîíôåðåíöèé è 4 òåçèñà êîíôåðåíöèé).  æóðíàëàõ èç ñïèñêà ÂÀÊ ÐÔ îïóáëèêîâàíî 3 ñòàòüè.Ñòðóêòóðà è îáúåì äèññåðòàöèèÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, ïÿòè îñíîâíûõ ãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ èñïèñêà ëèòåðàòóðû èç 57 íàèìåíîâàíèé. Äèññåðòàöèÿ ñîäåðæèò 118ñòðàíèö, âêëþ÷àÿ 15 ðèñóíêîâ.7Êðàòêîå ñîäåðæàíèå ðàáîòû ïåðâîé ãëàâå, ÿâëÿþùåéñÿ ââåäåíèåì, ïîñòàâëåíû îñíîâíûå öåëèðàáîòû, ïðèâåäåíû çàùèùàåìûå ïîëîæåíèÿ, óêàçàíà íàó÷íàÿ íîâèçíàïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ è êðàòêî èçëîæåíî ñîäåðæàíèå äèññåðòàöèè.Âòîðàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ïðîáëåìû ìîìåíòîâ â êëàññåîáûêíîâåííûõ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ êîðîòêîêîððåëèðîâàííûìè ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè. 2.1 ïðèâîäèòñÿ êðàòêèé îáçîð íåêîòîðûõ ïîäõîäîâ, èñïîëüçóåìûõïðè íàõîæäåíèè ìîìåíòíûõ ôóíêöèé ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè. 2.2 ñòàâèòñÿ çàäà÷à óñðåäíåíèÿ m-îãî ïîðÿäêà, ñîñòîÿùàÿ âñîïîñòàâëåíèè óðàâíåíèþdn+1 ydn ydn−1 ydy+a(x)+a(x)+...+a(x)+ a0 (x)y = 0nn−11dxn+1dxndxn−1dxñ êîýôôèöèåíòàìè â âèäå êîðîòêîêîððåëèðîâàííûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâaj (x) = aj (x, ω), j = 0, 1, .
. . , n äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ< y m >, ãäå m ∈ N. Óêàçûâàþòñÿ òðóäíîñòè, âîçíèêàþùèå íà ïóòèíåïîñðåäñòâåííîãî óñðåäíåíèÿ è âûâîäà ìîìåíòíûõ óðàâíåíèé. 2.3 ïðåäëîæåí ñïîñîá âûâîäà äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿñðåäíåãî ðåøåíèÿ < y >, ò.å. ðåøåíà çàäà÷à óñðåäíåíèÿ 1-îãî ïîðÿäêà.Ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ñòàíäàðòíûì îáðàçîì ê ñèñòåìåóðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ (n + 1)-ìåðíîãî âåêòîðà-ñòðîêè z ñêîìïîíåíòàìè z1 (x) = y(x),z2 (x) = y 0 (x),dz(x) = z(x)A(x),dx...,0 0 0zn+1 (x) = y (n) (x):. . . 0 −a0 (x)1 0 0 . . . 0 −a1 (x)ãäå A(x) = 0 1 0 . .
. 0 −a2 (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 −an (x)8.Çàòåì äëÿ äàííîé ñèñòåìû ââîäèòñÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿâûðàæàåòñÿ ÷åðåç ò.í. ìóëüòèïëèêàòèâíûé èíòåãðàë (èçâåñòíûé â òåîðèèïîëÿ ïîä íàçâàíèåì T -ïðîèçâåäåíèÿ). Êîíñòðóêöèÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîãîèíòåãðàëà ïîçâîëÿåò èçáåæàòü ïðîáëåìû, ñâÿçàííîé ñ óñðåäíåíèåìñòàòèñòè÷åñêè çàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ ñîìíîæèòåëåé.
Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ,÷òî ñðåäíåå <y> óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìóóðàâíåíèþ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. 2.4 äàåòñÿ îïðåäåëåíèå ëèíåàðèçèðóþùåãî òåíçîðà è ôîðìóëèðóþòñÿíåêîòîðûå åãî ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà. Ëèíåàðèçèðóþùèì òåíçîðîì m-îãîïîðÿäêà íàçîâåì òåíçîðzilk...p = zi zl zk . . . zp ,ãäå i, l, k, . . . , p íåêîòîðûå m èíäåêñîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ íåçàâèñèìîîò äðóãèõ ïðîáåãàåò îò 1 äî n + 1 (çäåñü zi èíäåêñíàÿ ôîðìà çàïèñè(n + 1)-ìåðíîãî âåêòîðà-ñòðîêè z). Ââåäåííûé îáúåêò ÿâëÿåòñÿ òåíçîðîìðàíãà m è èìååò (n + 1)m êîìïîíåíò, îäíàêî ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò â ñèëóåãî ñèììåòðè÷íîñòè áóäåò ãîðàçäî ìåíüøå.  ÷àñòíîñòè, ëèíåàðèçèðóþùèåòåíçîðû âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ èìåþò ïî(n + 1)(n + 2)2nè1 X (k + 2)!2k!k=0ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò ñîîòâåòñòâåííî. 2.5 äîêàçàíà ëåììà îá îäíîì âàæíîì ñâîéñòâå ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ ëèíåàðèçèðóþùåãî òåíçîðà îêàçûâàåòñÿ, âåëè÷èíà < zilk...p >óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ïåðâîãî ïîðÿäêàñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Ïåðåáîðîì âñåâîçìîæíûõ çíà÷åíèéèíäåêñîâ i, l, k, . . . , p ýòî òåíçîðíîå óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîé ñèñòåìåñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ óñðåäíåííûõ êîìïîíåíò zilk...p .Îäíîé èç òàêèõ êîìïîíåíò è ÿâëÿåòñÿ èñêîìàÿ êîìïîíåíòà < y m > (êàêíåñëîæíî çàìåòèòü, îíà îòâå÷àåò íàáîðó èíäåêñîâ i = l = k = . . . = p = 1). 2.6 â âèäå êîíñòðóêòèâíîãî àëãîðèòìà ïðèâåäåíî ðåøåíèå çàäà÷èóñðåäíåíèÿ m-îãî ïîðÿäêà è äîêàçàíà îñíîâíàÿ òåîðåìà, ñîãëàñíî9êîòîðîé âåëè÷èíà < y m > óäîâëåòâîðÿåò ëèíåéíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìóóðàâíåíèþ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ïðè÷åì ïîðÿäîê ýòîãîóðàâíåíèÿ íå ïðåâîñõîäèò ÷èñëà ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò zilk...p . 2.7 îáñóæäàåòñÿ ïðîáëåìà ïîÿâëåíèÿ ïîñòîðîííèõ ðåøåíèé óìîìåíòíûõ óðàâíåíèé, à òàêæå âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ òåíçîðíîãîïîäõîäà ïðè èññëåäîâàíèè óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè â÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. 2.8 êðàòêî èçëîæåíû îñíîâíûå âûâîäû âòîðîé ãëàâû. òðåòüåé ãëàâå íà îñíîâå ââåäåííîãî ïîíÿòèÿ ëèíåàðèçèðóþùåãîòåíçîðà ïðîâîäèòñÿ óñðåäíåíèå ïîëåé ßêîáè âäîëü ãåîäåçè÷åñêèõ ðèìàíîâàìíîãîîáðàçèÿ ñî ñëó÷àéíîé êðèâèçíîé.
 ðàìêàõ êîðîòêîêîððåëèðîâàííîãîïðèáëèæåíèÿ âûâîäÿòñÿ óðàâíåíèÿ äëÿ âûñøèõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ñðåäíèõïîëÿ ßêîáè, âõîäÿùèõ â îïèñàíèå ýôôåêòà ß.Á. Çåëüäîâè÷à. 3.1 ðàññìàòðèâàåòñÿ ïåðâîíà÷àëüíàÿ ìîäåëü ýôôåêòà, äëÿ êîòîðîéß.Á. Çåëüäîâè÷ ïîëó÷èë ÿâíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ýéíøòåéíà è íàøåëãåîäåçè÷åñêîå îòêëîíåíèå. 3.2 äàíî îïèñàíèå ýôôåêòà ß.Á. Çåëüäîâè÷à â òåðìèíàõ ïîëåé ßêîáè.Ïðè ýòîì ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à, ÿâëÿþùàÿñÿ â èñõîäíîé ïîñòàíîâêåçàäà÷åé î ïîâåäåíèè ãåîäåçè÷åñêèõ â ÷åòûðåõìåðíîì ïñåâäîðèìàíîâîìïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, ñâîäèòñÿ ê èçó÷åíèþ ñåìåéñòâà ãåîäåçè÷åñêèõ íàäâóìåðíîì ðèìàíîâîì ìíîãîîáðàçèè, íàòÿíóòîì íà ïðîåêöèè äâóõ áëèçêèõèçîòðîïíûõ ãåîäåçè÷åñêèõ.Ïóñòü γ(θ, x) äâóïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ãåîäåçè÷åñêèõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íåêîòîðóþ òî÷êó äâóìåðíîãî ðèìàíîâà ìíîãîîáðàçèÿ, ïðè÷åìx ðàññòîÿíèå îò òî÷êè èõ ïåðåñå÷åíèÿ, à θ óãîë, îòñ÷èòûâàåìûé îòîïðåäåëåííîé áàçîâîé ãåîäåçè÷åñêîé ýòîãî ñåìåéñòâà, äëÿ êîòîðîé θ = 0.Òîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè, íàõîäÿùèìèñÿ íà áëèçêèõ ãåîäåçè÷åñêèõíà ðàññòîÿíèè x îò òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ, ðàâíî (ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëûõâûñøåãî ïîðÿäêà) y(x)θ, ãäå y(x) è åñòü, ïî îïðåäåëåíèþ, ïîëå ßêîáè âäîëü10áàçîâîé ãåîäåçè÷åñêîé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
