Диссертация (1103995), страница 9
Текст из файла (страница 9)
е. при таких , что действительно.Задача содержит четыре геометрических параметра: 0 , , * , in . Структура параболического уравнения такова, что с точностью до перенормировки задача зависит всего от√︀√двух безразмерных комбинаций: от in 0 и * 0 /.
Первый параметр определяет дляпараболической задачи область очень малых углов, а именно, приin√︀0 ≪ 1в задаче Л. А. Вайнштейна асимптотически 0 ≈ −1. Также, в соответствии с (2.5), величина√1/ 0 по порядку близка к разнице 1 − 0 . Второй безразмерный параметр представляет√︀собой отношение разности высот экранов * к величине первой зоны Френеля/0 . Именно величина первой зоны Френеля (а не длина волны) является значимым параметром внаправлении оси . Таким образом,*√︀0 / ≪ 1соответствует малой разности высот экранов.Рассмотрение не ограничивается малыми значениями безразмерных параметров, однаконаибольший интерес представляют малые значения.
Кроме того, в конце строится асимптотика коэффициента 0 при малых значениях безразмерных параметров.2.3. Краевые функции ГринаВведем краевые функции Грина 0 и 1 как решения следующих неоднородных параболических уравнений:(︂и(︂1 2+ 20 21 2+ 20 2)︂)︂0 = ( − 0, ) ,(2.6)1 = ( − − 0, − * )(2.7)на плоскости с поглощающими экранами, описанными выше. Таким образом, во вспомогательных задачах имеются точечные источники. Эти источники изображены на Рис. 2.2.51Рис. 2.2. Задачи для краевых функций Грина: Случай a) соответствует 0 , Случай б) соответствует1Аргументы − 0 и − − 0 означают, что источники располагаются правее точек (0, 0)и (, * ).
Такое расположение гарантирует, что функция 0 (, ) в области 0 < < равна(, ), а функция 1 (, ) в области < < 2 равна ( − , − * ). Краевые ФункцияГрина 0 (, ) и 1 (, ) тождественно равны нулю при < 0 и < соответственно.Учитывая периодичность задачи вдоль оси , легко видеть, что краевые функции Грина для точечных источников, расположенных в краях всех остальных экранов, выражаютсячерез 0 и 1 с помощью трансляций вдоль координаты :+2 (, ) = ( − 2, ).Определим диаграммы направленности краевых функций Грина как коэффициент в старшем члене асимптотики(︂ (, ) = ( − , − ) − − )︂(︀)︀+ ( − )−1/2 , = 0, 1.(2.8)C помощью формулы (0.3) можно получить формальное выражение для краевых функций Грина.
Очевидно, (, ) = 0при < .(2.9)Далее, (, ) = ( − , − )при < < +1 ,∞Z (, ) = ( − 0, ′ )( − , − ′ ) ′ при < < +1 .(2.10)(2.11)Таким образом, выражение для поля (, ) в полосе < < +1 содержит − вложенных интегралов. Такие выражения, однако, не слишком удобны для вычисления диаграммнаправленности функций ().52Введем величины, играющие важную роль в дальнейшем изложении, а именно значениякраевых функций Грина на краях экранов:, =lim ( , )→ −0 < .(2.12)Предельный переход необходим, поскольку в точке ( , ) решение параболического уравнения, определяемое формулой (2.11), не является непрерывным.
Берется левый предел,поскольку слева от экрана поле гладко.Докажем важную формулу, которая используется при выводе спектрального и эволюционного уравнений. Пусть рассматривается чуть более общая задача, в которой края поглощающих экранов имеют координаты ( , ) произвольные, а не связанные условием(2.1), (2.2). Для такой задачи также можно ввести краевые функции Грина. Более того, явный вид краевых функций Грина будет задаваться рекуррентными формулами (2.9), (2.10),(2.11).
Рассмотрим семейство таких задач, индексируемое параметром . В этом семействевеличины являются функциями (достаточно гладкими). Краевые функции Грина этого семейства будем обозначать как (, , ), а краевые значения (аналогичные (2.12)) как, ().Утверждение 2.1. Выполняется формула (, , )=(︂)︂∞∑︁ (, , )−, () (, , ) −.=+1(2.13)Введем для каждого параметр () такой, что () < ≤ () + 1. Доказательствотеоремы элементарно проводится индукцией по () − . При этом используются формулы(2.10), (2.11). Действительно, при () = работает формула (2.10), и этот случай проверяется легко (в правой части (2.13) отсутствует сумма).
Это база индукции. Выполниминдукционный переход. Пусть теорема верна для () − = − 1. Для () − = =∞Z (+ − 0, ′ )( − + , − ′ ) ′ =++ (+ − 0, + )( − + , − + )∞Z (+ − 0, ′ )+( − + , − ′ ) ′ .−+53В последнем интеграле производная может быть преобразована по формуле (2.13) (здесьиспользуется предположение индукции). Принимая во внимание, что∞Z (+ − 0, ′ )( − + , − ′ ) ′ = (, ),+а также что∞Z (, + − 0, ′ )( − + , − ′ ) ′ =+)︂(︂ (, , ) ,−,+ () + (, , ) +получаем справедливость (2.13) для () − = .2.4. Формула расщепленияФормула расщепления связывает искомые коэффициенты генерации дифракционныхпорядков с диаграммами направленности краевых функций Грина.
Эта формула дается следующей теоремой:Утверждение 2.2. Выполняется тождество∑︀1 ==0{︀}︀2 (in ) ( ) exp 0 (− (in )2 )/2 − 0 ( − in ).20 (in + )(2.14)Таким образом, формула расщепления сводит исходную задачу к задаче отыскания диаграмм направленности краевых функций Грина 0 , 1 .Будем следовать подходу, основанному на параболическом уравнении. Вывод формулырасщепления проводится на физическом уровне строгости. Однако формула (2.14) можетбыть получена на математическом уровне строгости с помощью подхода на основе интеграловФренеля, развитого в Главе 1.Применим к полному полю (, ) оператор расщепления (0.12).
Поле (, ) = [](, )удовлетворяет параболическому уравнению и граничным условиям на экранах, удовлетворяет условию излучения, имеет источники в вершинах ( , ) с амплитудами ( , ).Используя единственность решения дифракционной задачи, можно представить (, ) каксуперпозицию краевых функций Грина :[](, ) =∞∑︁=−∞( − 0, ) (, ).(2.15)54Значения поля на краях экранов ( −0, ) могут быть выражены через краевые функцииГрина с помощью теоремы взаимности для параболического уравнения.
Выражение имеетвид (см. Приложение В, Утверждение В.3)(2.16)}︀{︀( − 0, ) = exp −0 (in )2 /2 + 0 in (in ).Подставляя это выражение в (2.15) и переходя от полей к диаграммам направленности,получим (2.14).Наиболее простой вид имеет формула (2.14) для зеркального отражения, т. е.
для 0 :(0 (in ))2 + (1 ( ))20 =.40 (in )2(2.17)2.5. Спектральное уравнениеУтверждение 2.3. Вектор-строка из диаграмм направленности ( (), ()) удовлетво01ряют следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:(0 , 1 ) = (0 , 1 )Π( * )C(, * )Π−1 ( * ),(2.18)c начальными условиями0 (+∞) = 1,где1 (+∞) = 1,⎛⎞10⎠,Π( * ) = ⎝0 exp{−0 * }⎛⎞0,0 0,1⎠,C(, * ) = ⎝1,0 1,10,0 (, * ) =∞∑︁{︀}︀(2 − 0 )0,2 exp 0 (2 − 0 )2 /2 ,(2.19)(2.20)(2.21)(2.22)=11,0 (, * ) =∞∑︁{︀}︀(2+1 − 0 )0,2+1 exp 0 (2+1 − 0 )2 /2 ,(2.23)=00,1 (, * ) =∞∑︁{︀}︀(2+2 − 1 )1,2+2 exp 0 (2+2 − 1 )2 /2 ,(2.24)=0*1,1 (, ) =∞∑︁{︀}︀(2+1 − 1 )1,2+1 exp 0 (2+1 − 1 )2 /2 .=1(2.25)55Для вывода спектрального уравнения воспользуемся формулой (2.13).
Зафиксируем (как 0 или 1). Введем семейство задач, имеющих такие же значения , как (2.1), но иные′:значения ′ = + ( − ).Обозначим краевые функции Грина семейства как (, , ). Прямой проверкой можно убедиться, что (, , ) связано с (, ) следующим соотношением: (, , ) = (, − ( − )) exp{0 ( − ) + 0 2 ( − )/2}.Из последнего равенства следует, что [ ] = −,(2.26)где = ( − )− 0 (2.27)– оператор параболического поворота.Применим к (, , ) формулу (2.13) и положим = 0. Учитывая (2.26), имеем [ ](, ) =∞∑︁( − ), (, ).=+1Переходя в последней формуле от полей к диаграммам направленности, получим (2.18).Переформулируем спектральное уравнение в более общем виде.Утверждение 2.4. Выполняется обыкновенное дифференциальное уравнение⎛¯0,0 ¯0,1⎞⎛¯0,0 ¯0,1⎞√︀ ⎝⎠=⎝⎠ Π( * )C( 2 + 2)Π−1 ( * ), ¯1,0 ¯1,1¯1,0 ¯1,1где¯0,0 (, ) =∞∑︁(2.28)˜2,0 () exp {0 (2 − 0 )} ,(2.29)˜2+1,0 () exp {0 (2+1 − 0 )} ,(2.30)=0¯1,0 (, ) =∞∑︁=0¯0,1 (, ) =∞∑︁˜2,1 () exp {0 (2 − 1 )} ,(2.31)˜2+1,1 () exp {0 (2+1 − 1 )}(2.32)=1¯1,1 (, ) =∞∑︁=056для˜, () =Z2− exp{0 ( − ) /2} ( − 0, ) exp{−0 ( − )}, > ,(2.33)−∞˜, () ≡ 1,˜, () ≡ 0, < ,а — произвольный комплексный параметр с неотрицательной мнимой частью.Величины ¯0,0 (, ) связаны с диаграммами направленности следующим образом:0 () = ¯0,0 (, 0) + ¯1,0 (, 0),1 () = ¯0,1 (, 0) + ¯1,1 (, 0).(2.34)Данные соотношения следуют из формулы, аналогичной формуле (1.68), которая в данномслучае имеет вид:∞∑︁2exp 0 ( − ) () = 1 −2=+1{︂}︂ Z ( − 0, ) exp{0 ( − )}.(2.35)−∞Смысл величин, введенных выше, можно пояснить следующим образом.
Формула (2.35) выражает диаграмму направленности краевой функции Грина через интегралы от поля наповерхностях экранов. Первый член, не содержащий интеграл (единица) представляет собойвклад непосредственно от точечного источника. Параметр не имеет физического смысла ипредставляет собой переменную дискретного преобразования Фурье по номеру экрана.
При = 0 из (2.28) следует спектральное уравнение (2.18).Таким образом, если бы была построена матрица C(), можно было бы определитьдиаграммы направленности 0 , 1 путем непосредственного интегрирования спектральногоуравнения (2.18) с начальными условиями (2.19).Формулы (2.22), (2.23), (2.24), (2.25) не могут быть использованы для непосредственногопостроения коэффициента C(), поскольку входящие в них ряды сходятся медленно. Нижеиспользуется другая техника (основанная ОЕ—уравнении или на эволюционном уравнении)для определения C().2.6. OE—обозначенияРассмотрим матричное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядкаX( ) = X( )K( ),(2.36)57где X( ), X( ) матричные функции размерности 2×2, зависящие от комплексной переменной , K( ) – коэффициент уравнения, X( ) – неизвестная матричная функция.
Пусть начальноеусловие имеет следующий видX(1 ) = I.Будем решать уравнение (2.36) вдоль контура ℎ с началом в точке 1 и концом в точке 2 .Тогда по определению(2.37)OEℎ [K( ) ] ≡ X(2 ).Будем называть оператор OEℎ упорядоченной экспонентой, взятой по контуру ℎ. Верхнийиндекс указывает на то, что коэффициент K( ) стоит справа в уравнении (2.36).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
