Диссертация (1103995), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Этот результат представляется несколько неожиданным, так как при дальнейшем√︀увеличении 1* добротность падает. Действительно, при 1* / ≫ 1 можно считать однуиз стенок волновода бесконечной и заменить его волноводом удвоенной ширины, то есть ввыражении (2.98) для коэффициента 1 величина 1* полагается равной нулю, а ширина заменяется на 2. Таким образом, дифракционные потери растут, а добротность падает.664x 109.79.69.59.49.39.29.1900.050.10.15Рис.
2.3. График зависимости добротности от 1*0.20.250.30.35√︀ / при = 1, = 10, = 31.4, =157.1, 2* = 02.12. Численное решение OE—уравненияНиже вычисляется матрица коэффициентов C(︁√︀)︁2 + 2 путем численного решенияOE–уравнения (2.48), и определяется коэффициент генерации главного дифракционного максимума 0 с помощью спектрального уравнения (2.18) и формулы расщепления (2.14).Введем новые переменные = 0 2 + , = 20 .OE—уравнение принимает следующий вид:[︃]︃B(,)√︀OE= T′ (), ′ ()2 0 ( − )где(︃√︂ −0 )︃(︃√︂ −B(, ) = ΠC ( ) Π0 ⎛⎞1− exp{/2}⎠,T′ () = ⎝− exp{/2}1(︁√︀)︁C′ ( ) = C /(0 ) .′−1(2.104)Im[] ≥ 0,)︃,(2.105)67Im[t]g'(b)Re[t]bРис.
2.4. ′ ().Контура изменяется вдоль контура , изображенного на Рис. 2.4.Для расчета коэффициентов генерации необходимо определить C′ ( ) на положительном участке действительной оси. Однако матрица C′ ( ) является периодической на отрезке(0, 2):(2.106)C′ ( + 2) = Π C′ ( )Π−1 ,где⎛Π = ⎝1⎞00 exp{−}(2.107)⎠,поэтому достаточно решить OE—уравнение лишь на этом отрезке. На Pис. 2.5 изображеныконтуры Γ1 и Γ2 вдоль которых решается OE—уравнение. Будем решать OE—уравнениеΓ1Im[β]φ0Γ2φN0Re[β]2πРис. 2.5.КонтурыΓ1иΓ2 .градиентным методом. Начальная точка 0 имеет достаточно большую мнимую часть, такую,что можно положитьC′ (0 ) = 0.Разобьем контур Γ1 на маленькие отрезки с помощью достаточного количества узлов , = 0, 1, 2, ..., . Пусть = , где – малое положительное число.
Такой выбор узловобусловлен тем, что OE—уравнение имеет особенности в точках = , ∈ Z. Определимшаг за шагом C в точках 1 , 2 , 3 , ... . Для этого на -ом шаге решим OE—уравнение680.70.60.50.40.30.20.100Рис. 2.6.Значения|0 ()|,5при101520√︀ * / (/) = 1/4.Сплошная2530линия соответствует методу спектрального уравнения, а точки соответствуют прямому счету(2.104) на отрезке ( , 0 ) с параметром = . В процессе решения будем полагать, чтокоэффициент C′ ( ) известен в узлах 1 , 2 , 3 , ...−1 . Коэффициент в точке находитсяградиентным подбором так, чтобы на выбранном контуре выполнялось OE—уравнение. Вкачестве начального значения выбирается значение в предыдущей точке:C′ ( )(0 ) = C′ ( )(n−1 ).(2.108)Далее вычисляется невязка:[︃OE]︃B(, )√︀− T( ).2 0 ( − )(2.109)Если невязка не равна нулю, будем уменьшать невязку до тех пор, пока не достигнем нужнойточности.
После этого переходим к шагу + 1 и так далее.Аналогичная процедура повторяется с контуром Γ2 . После этого все коэффициентыC( ) становятся известными. Далее решается спектральное уравнение (2.18) вдоль контуров Γ1,2 , Γ1,2 + 2 , Γ1,2 + 4 и так далее.
Таким образом становятся известными диаграммынаправленности 0 , 1 . Наконец, применяя формулу расщепления(2.14), получаем коэффициенты генерации дифракционных порядков . Для проверки корректности вычислениякоэффициентов генерации использовался прямой счет на основе интегральных формул вида(2.11). На Рис.
2.6 и Рис. 2.7 изображены графики зависимости |0 ()|, где = 0 (in )2 приследующих значениях параметров: = 1/4,и = 1/3.69Следует отметить, что численно вычислялись лишь диаграммы направленности краевых функций Грина. Формула расщепления не проверялась, так как метод формулы расщепления хорошо изучен (см.
например [26]).0.70.60.50.40.30.20.100Рис. 2.7.Значения|0 ()|,5при101520√︀ * / (/) = 1/3.Сплошная2530линия соответствует методу спектрального уравнения, а точки соответствуют прямому счету2.13. Основные результаты главы1. Для задачи дифракции на решетке, состоящей из экранов разной высоты, было получено спектральное уравнение, эволюционное уравнение 1 типа и эволюционное уравнение2 типа.2. Эволюционные уравнения 1 и 2 типа были решены в рамках методов теории возмущений. С помощью полученного решения была построена асимптотическая оценка коэффициента генерации главного дифракционного максимума 0 и получена формула дляоценки добротности резонаторов Фабри-Перо, состоящих из параллельных несимметричных зеркал.3.
С помощью спектрального уравнения было сформулировано ОЕ—уравнение.4. Был построен численный алгоритм решения ОЕ—уравнения на основе метода градиентного подбора .70Глава 3Описание вайнштейновских задач в рамках методаВинера—Хопфа—ФокаВ данной главе вайнштейновские задачи рассматриваются в рамках метода Винера—Хопфа—Фока. А именно, рассматривается задача дифракции плоской волны на двухпериодической решетке, состоящей из поглощающих экранов разной высоты, изображенной наРис.
3.1. Данная задача является чуть более общей по сравнению с задачей, рассмотреннойв Главе 2, и переходит в нее при = . В терминах работы [8] к данной решетке приводит резонатор и бильярдная мода, изображенные на Рис. 3.2. Это квадратный резонаторсо стороной и угловым окном. Окно изображено пунктирной линией. Стороны, подходящие к окну, имеют длины ℎ1 и ℎ2 . Рассматривается мода, идущая вдоль диагонали. Заменяяугловое окно поглощающими экранами и применяя метод отражений, получим, что пучок,соответствующий этой моде, распространяется вдоль системы поглощающих экранов, изображенной на Рис. 3.3.
При независимом рассмотрении актов дифракции на верхней и нижнейрешетке, исходная задача сводится к задаче дифракции на системе поглощающих экранов,√√√√изображенных на Рис. 3.1 с параметрами = 2 + (ℎ1 + ℎ2 )/ 2, = 2 − (ℎ1 + ℎ2 )/ 2,√ * = (ℎ1 − ℎ2 )/ 2.В рамках техники Винера—Хопфа—Фока строится формальное решение матричной функциональной задачи. С помощью этого решения доказывается, что коэффициент отраженияот рассматриваемой решетки стремится к −1 при угле падения падающей плоской волныin → 0, т. е. строится обобщение результата Л.
А. Вайнштейна.Стоит отметить, что рассмотрение производится в параболическом приближении, применимость которого была обоснована в Главе 1.3.1. Постановка задачиРассматривается задача о рассеянии акустической волны на периодической решетке,состоящей из поглощающих экранов, показанной на Рис. 3.1. Период решетки равен + .Экраны занимают полупрямые { = ( + ), < 0} и { = + ( + ), < * }, ∈ .71Рис. 3.1. Геометрия задачиРис. 3.2. Открытый резонатор и бильярдная модаРис. 3.3.
Результат применения метода отражений к открытому резонатору. Сплошными линиямиобозначены поглощающие экраны72Полное поле в параболическом приближении удовлетворяет параболическому уравнению (0.2) и представляется суммой = in + sc ,где in – падающая плоская волна (см. (0.14)), а sc – рассеянное поле.Вследствие периодичности, рассеянное поле sc может быть представлено в виде (1.13),c√︃(in )2 + =4.0 ( + )(3.1)Ниже с помощью метода Винера—Хопфа—Фока будет показано, что(3.2)0 = −1 + in + (in ),где – параметр, не зависящий от in . Иными словами, будет показано, что исследуемаярешетка из поглощающих экранов ведет себя как импедансная граница, при скользящихуглах падения.3.2.
Вывод уравнений Винера—Хопфа—ФокаВведем функции⎧⎪⎨sc (0, ), > 0,(3.3),(3.4),⎪⎩sc (−0, ), < 0⎧⎪⎨0, > *(3.5)0 () =1 () =0 () =1 () =⎪⎩0,<0⎧⎪⎨sc (, ), > *⎪⎩0,⎧⎪⎨0,<*>0.(3.6)⎪⎩sc ( − 0, ), < *Аргументы = −0 и = − 0 в формулах (3.5) и (3.6) означают, что значения берутсяслева от экранов.Заметим, что поскольку полное поле = in +sc справа от экранов равно нулю (экраныпоглощающие), выполняются тождества73sc (+0, ) = −in (0, ), < 0,(3.7) < *.(3.8)sc ( + 0, ) = −in (0, ),Далее воспользуемся интегральной формулой для параболического уравнения (0.3).Применяя (0.3) к полосе 0 < < , получим:∞ZZ0(, − ′ )0 ( ′ ) ′ −1 () + 1 () =(, − ′ )in (0, ′ ) ′ .(3.9)−∞0Формула (0.3) может быть также применена к полосе < < + .
Значения рассеянного поля на границе = + − 0 в силу принципа Флоке могут быть представлены какзначения рассеяного поля при = −0, домноженные на exp{−0 ( + )(in )2 /2}:exp{−0 ( + )(in )2 /2}(0 () + 0 ()) =∞ZZ*(, − ′ )1 ( ′ ) ′ −*(, − ′ )in (, ′ ) ′ .(3.10)−∞Система (3.9), (3.10) может быть преобразована в систему интегральных уравнений,замкнутую относительно функций 0 , 1 .
Для этого достаточно рассматривать первое уравнение при > * , а второе при > 0. Для вывода уравнений Винера—Хопфа—Фока, однако,имеет смысл оставить уравнения (3.9), (3.10) в их настоящей форме с избыточным наборомнеизвестных, но действующих на всей оси .Введем односторонние преобразования Фурье:∞Z(3.11)0 () ,0 () =0∞Z{︀*1 () ,in 2}︀1 () = exp − + 0 ( ) /2(3.12)*Z0(3.13)0 () ,Ψ0 () =−∞Z*}︀Ψ1 () = exp − * + 0 (in )2 /21 () .{︀−∞(3.14)74Заметим, что интегральные операторы в (3.9), (3.10) имеют сверточный характер (разностное ядро). Это позволяет применить теорему о свертке и выписать уравнения (3.9), (3.10)в матричной форме:Ψ() + K()U() =где⎛Ψ=⎝⎛Ψ0Ψ1⎞⎠,1D(), − in⎛ ⎞0U = ⎝ ⎠,1{︁}︁⎞− exp − 20 ( 2 − ( in )2 ) + * ⎠,}︁{︁K() = ⎝2in 2*1− exp − 20 ( − ( ) ) − 1{︁}︁⎞exp − 20 ( 2 − ( in )2 ) + * ( − in )⎠,{︁}︁D() = ⎝2in 2*exp − 20 ( − ( ) ) − (3.15)(3.16)(3.17)⎛(3.18) in = 0 in .Уравнение (3.15) должно быть дополнено ограничениями на неизвестные векторные функции Ψ(), U(), выполняемыми априори.
Эти ограничения следуют из общих свойств одностороннего Фурье-преобразования. А именно, функция Ψ() должна быть аналитична внижней полуплоскости аргумента, а функция U() должна быть аналитична в верхней полуплоскости. Более того, элементарный анализ показывает, что функции 0 , 0 имеют разрывпри = 0, а функции 1 и 1 имеют разрыв при = * . По лемме Ватсона следует, чтовектор Ψ() убывает как −1 при больших || в нижней полуплоскости, а функция U()убывает как −1 в верхней полуплоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
