Диссертация (1103995), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Применим оператор ′ [·] =+ 0 inк уравнению (1.39). Заметим, что ядро интегральных операторов Π++ и Π+− зависит отразности аргументов, поэтому производную по можно выразить через производную по44переменной интегрирования, а затем применить интегрирование по частям. Таким образом,имеем:(︂+ 0)︂ ∞Z(, − ′ ) ( ′ ) ′ =0∞Z− (, − ′ ) ( ′ )|∞0 +(1.80) ( ′ )(, − ′ ) ′ . ′0Для второго члена уравнения (1.39) имеем аналогичное соотношение.
В подстановке слагаемое с бесконечностью равно нулю в силу принципа предельного поглощения. Кроме того, ′ [ ]() = 0.(1.81) ′ [+1 ]() = Π++ [ ′ [ ]]() + (, )( (0) − (0)).(1.82)В результате получаем уравнениеПолученная цепочка уравнений относительно функций ′ [+1 ] представляет собой систему(1.39) с правой частью, равной ′ = ( (0) − (0))(). Известен отклик на правую частьвида ,0 () (это краевая функция Грина). Сконструируем из краевых функций Грина функции , удовлетворяющие цепочке уравнений+1 () = Π++ [ ]() + (, )( (0) − (0)).Это функции∞∑︁ () =( (0) − (0))− ().=−∞Данные функции, как и функции ′ [ ], удовлетворяют условию Флоке +1 = , поэтомупо доказанной ранее теореме единственности ′ [ ] = и′ [ ]() =∞∑︁( (0) − (0))− (),(1.83)=−∞что и представляет собой слабую формулу расщепления (аналог (1.79)).
В силу свойстваФлоке ее можно переписать в виде′ [ ]() =∞∑︁−+ (0 (0) − 0 (0)) ().(1.84)=11.4.2. Вывод сильной формулы расщепленияВ рамках подхода, основанного на параболическом уравнении, слабая формула расщепления (1.79) преобразуется в сильную (1.76) следующим образом [2]. Перейдем в (1.79) к45диаграммам направленности поля (т. е. рассмотрим главный член асимптотики в дальнемполе).
Заметим, что оператор действует на диаграмму направленности как умножение на0 ( + 0 ). После несложных преобразований, относящихся к определению диаграмм направленности и коэффициентов отражения, (см. [2, 7]), получаем выражение0 ( + in ) =1(−0, 0) ( )(1.85)После этого с помощью теоремы взаимности доказывается тождество(1.86)(−0, 0) = (in ).В результате получается сильная формула расщепления (1.76).Смысл тождества (1.86) легко понять на физическом уровне строгости. Диаграмма направленности краевой функции Грина () может быть определена следующим образом.Возьмем источник в точке (+0, 0), а точку наблюдения выберем как (, ) для достаточного большого . Диаграмма направленности приближенно определяется как поле в точкенаблюдения, домноженное на некий множитель, компенсирующий набег фазы и геометрическое затухание. В то же время, величина (−0, 0) – значение поля, порожденного плоскойволной, вблизи начала координат.
Плоскую волну можно заменить на точечный источник,находящийся в точке (−, 0 ) для достаточно большого . Амплитуда источника выбирается так, чтобы скомпенсировать набег фазы и геометрическое затухание. Легко видеть,что () и (−0, 0) представляют собой одну и ту же величину с точностью до перестановки местами источника и точки наблюдения и изменения направления оси . Возможностьвыполнить такое преобразование дает теорема взаимности для параболического уравнения.Теперь необходимо вывести формулу (1.76) с помощью интегралов Френеля. Будем исходить из слабой формулы расщепления (1.84).
Выберем = 0 и подействуем на эту формулуоператорами Π−+ и ℱ− для придания ей формы (1.62):′ℱ− [Π−+ [ [0 ]]](−0 ) = (0 (0) − 0 (0))−1∑︁− ℱ− [Π−+ [ ]](−0 ),(1.87)=1Преобразуем левую часть формулы. Заметим, что ′ [0 ] = ′ [0 − 0 ].Кроме того, с помощью интегрирования по частям легко доказать тождестваΠ−+ [ ′ [ ]]() = ′ [Π−+ [ ]]() − (0)(),(1.88)ℱ− [ ′ [ ]]() = (0 0 − )ℱ− [ ]() − (0),(1.89)46для любой гладкой функции . С помощью этих свойств легко показать, чтоℱ− [Π−+ [ ′ [0 ]]](−0 ) =0 ( + 0 )ℱ[Π−+ [0 − 0 ]](−0 ) − (0 (0) − 0 (0))ℱ[](−0 ) + Π−+ [0 − 0 ](0).Пользуясь уравнением (1.39), а также свойством (1.33), получаемΠ−+ [0 − 0 ](0) = (0 (0) − 0 (0)).Используя (1.62) и заменяя на , получаемℱ− [Π−+ [ ′ [0 ]]](−0 ) =− 0 ( + 0 ) + (0 (0) − 0 (0)) ( − ℱ− [](−0 )) .(1.90)Теперь преобразуем левую часть (1.87).
В соответствии с (1.75)−1∑︁0− ℱ− [Π−+ []](−0 ) = − () + − ℱ− [](−0 0 )(1.91)=1Сравнивая (1.91) с (1.90), получаем =(0 (0) − 0 (0)) ( ),0 (in + )(1.92)т. е. (1.85).Теперь покажем, что(1.93)0 (0) − 0 (0) = (in ),т. е. что выполняется (1.86). Заметим, что 0 (0) = −1. Согласно (1.42)0 (0) − 0 (0) = 1 −∞∑︁− (Π++ )−1 [Π+− [ ]](0), () = exp{−0 in }.(1.94)=1Определяя (0 ) как (1.75), замечаем, что ряд (1.75) совпадает с (1.94) почленно. Приэтом в каждом члене порядок интегрирования в (1.75) обратен порядку интегрирования в(1.94). Это доказывает (1.93) и, следовательно, (1.76).1.5. Основные результаты главы1. С помощью метода отражений задача дифракции на торце плоского волновода быласведена к задаче дифракции плоской волны на точках ветвления многолистной поверхности.
Было показано, что в параболическом приближении многолистная поверхностьможет быть заменена периодической решеткой из поглощающих экранов.472. С помощью подхода на основе интегралов Френеля было показано, что параболическаязадача получается из исходной применением приближений Кирхгофа и Френеля. Такжебыла доказана теорема единственности для параболической задачи.3. В рамках формализма на основе интегралов Френеля было введено понятие краевойфункции Грина и сформулировано определение диаграммы направленности краевойфункции Грина.4. В рамках формализма на основе интегралов Френеля была доказана формула расщепления в слабой и сильной формулировках.48Глава 2Дифракционная решетка с экранами разной высоты.Метод формулы расщепления и спектрального уравнения2.1.
Вводные замечания к главе 2В настоящей главе исследуется задача дифракции на решетке из поглощающих экрановразной высоты (см. Рис. 0.2). Стандартными методами данная задача может быть сведенак матричному уравнению Винера—Хопфа—Фока, решение которого неизвестно. Ниже будетизложен метод формулы расщепления и спектрального уравнения, не опирающийся на технику Винера—Хопфа—Фока.Физическая задача, дающая мотивацию данному исследованию, это задача излучения изторца плоского волновода, состоящего из параллельных несимметричных стенок (см.
Рис. 2.1а).абвµµµРис. 2.1. Геометрия изучаемых систем: а) открытый волновод, б), в) резонаторы Фабри—ПероВ случае, если задача о дифракции на решетке используется для описания резонатора Фабри—Перо, она описывает волны в резонаторе с параллельными зеркалами разногоразмера или с зеркалами, сдвинутыми друг относительно друга (см. Рис. 2.1 б), в)).Структура главы следующая. В разделе 2.2 задача ставится в параболическом приближении.
В разделе 2.3 вводятся краевые функции Грина. В разделе 2.4 выводится формуларасщепления, выражающая коэффициенты генерации дифракционных максимумов черездиаграммы направленности краевых функций Грина. В разделе 2.5 выводится спектральное уравнение, представляющее собой обыкновенное дифференциальное уравнение для диаграмм направленности краевых функций Грина. В разделах 2.8, 2.9 выводятся эволюционныеуравнения 1-го и 2-го рода, описывающие поведение краевых функций Грина и коэффициен49та спектрального уравнения при изменении геометрического параметра задачи * . В разделе2.10 с помощью эволюционного уравнения строится асимптотика диаграмм направленностикраевых функций Грина и асимптотика коэффициента генерации основного дифракционногомаксимума 0 .2.2. Постановка задачиРассмотрим плоскость (, ), на которой для полевой переменной выполняется параболическое уравнение теории дифракции (0.2) На плоскости расположены экраны, занимающиеполупрямые = , < , ∈ Z,(2.1) = ⎧⎨ 0 четное =⎩ * нечетное(2.2)Поле на экранах имеет разрывы.
Экраны являются идеально поглощающими, т. е. на правыхсторонах экранов (при = + 0, < ) выполняются граничные условия(2.3)( + 0, ) = 0.Полное поле представляется суммой = in + sc ,где in – падающая плоская волна (см. 0.14), а sc – рассеянное поле.Заметим, что граничные условия для sc имеют видsc ( + 0, ) = −in ( , ), < .(2.4)Постановка дополняется условиями в концевых точках экранов, а также условиямиизлучения. Как показано в Главе 1, условия в концевых точках заключаются в том, что полное поле предполагается ограниченным вблизи концевых точек экранов ( , ). Ограниченность поля гарантирует отсутствие источников близи концевых точек.
Условие излучениязаключаются в том, что рассеянное поле не содержит компонент, приходящих из областибольших || (это учитывается при построении Фурье-разложений решения).Геометрический период решетки экранов составляет 2 вдоль оси . Константа Флокеравна = exp{−0 (in )2 }.50Следовательно, в верхней полуплоскости (при > max(0, * )) рассеянное поле может бытьпредставлено в виде ряда (1.13), с√︂(in )2 + =2.0 (2.5)Цель исследования – найти коэффициенты генерации дифракционных максимумов, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
