Диссертация (1103995), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Введем функцию() ≡ −1 (Π−+ [0 ]() + Π−− [0 ]()) = Π−+ [−1 ]() + Π−− [−1 ](), < 0.(1.52)Сложим равенства0 = Π++ [0 ] + Π+− [0 ],и = Π−+ [0 ]() + Π−− [0 ]().Получим∞Z(, − ′ ) (0 ( ′ ) + Θ( ′ )0 ( ′ )) ′ ,(0 () + ()) =−∞ ∈ R,(1.53)38где⎧⎨ 0, ≥ 0,Θ() ≡⎩ 1, < 0.(1.54)Введем односторонние преобразования Фурье как∞Zℱ+ [ ]() = () ,(1.55) () .(1.56)0Z0ℱ− [ ]() =−∞Применим преобразование Фурье (оператор ℱ− + ℱ+ ) к (1.53):{︂}︂2ℱ+ [0 ] + ℱ− [] = exp −(ℱ+ [0 ] + ℱ− [0 ]),20(1.57)где явно вычислен Фурье–образ функции (, ·). Выразим Фурье–образ функции 0 :(1.58)ℱ+ [0 ]() =}︂)︂−1 (︂{︂}︂)︂(︂{︂22−ℱ− []() − exp −ℱ− [0 ]() .exp −2020Обратим преобразование Фурье по формуле1 () =2∞Zℱ+ [ ]()− ,(1.59)−∞замкнув контур интегрирования в нижней полуплоскости.
Заметим, что Фурье-образы функций и 0 регулярны в нижней полуплоскости и убывают там как 1/||. Знаменатель в нижней полуплоскости имеет нули в точках = −0 . Вычисляя интеграл методом вычетов,получаем0 () = −∞∑︁1exp{0 }ℱ− [ − 0 ](−0 ).=−∞(1.60)Сумма (1.60) имеет вид разложения (1.51) с = −1ℱ− [ − 0 ](−0 ).(1.61)Выражение (1.61) есть (1.43) в других обозначениях.Приведем еще одну формулу для коэффициентов рассеяния. Учитывая (1.33), преобразуем (1.61) к виду = −1 −1 ℱ− [Π−+ [0 − 0 ]](−0 ).(1.62)391.2.8.
О единственности решения уравнения (1.41)Как было сказано выше, вместо цепочки уравнений (1.39) достаточно рассмотреть уравнение (1.41). Допустим, что уравнение (1.41) имеет два решения – 0 и ^0 . Тогда их разностьдолжна удовлетворять однородному уравнению(0 − ^0 ) = Π++ [0 − ^0 ],(1.63)Покажем, что решение этого уравнения, принадлежащее 2 , в приближении малого поглощения (см. Приложение Д) тривиально.Перепишем уравнение (1.63) так, чтобы оператор в правой части имел сверточный характер:(0 − ^0 ) + Π−+ [0 − ^0 ] = (Π++ + Π−+ )[0 − ^0 ].Применим к последнему равенству преобразование Фурье:ℱ+ [0 − ^0 ] + ℱ− [Π−+ [0 − ^0 ]] = exp{− 2 /(20 )}ℱ+ [0 − ^0 ](1.64)Определим норму следующим образом:∞Z||22 =||2 .(1.65)−∞Воспользуемся тем фактом, что преобразование Фурье сохраняет 2 -норму (равенство Парсеваля). Равенство Парсеваля для преобразования Фурье, заданного формулами (1.55,1.56)имеет вид:||22 =1|ℱ+ [] + ℱ− []|22 .2(1.66)Кроме того, заметим, что || = 1 (см.
Приложение Д). Таким образом, из (1.64) и (1.66)следует, что|0 − ^0 |22 ≤1′′exp{− 2 0 /(2|0 |2 )}|ℱ+ [0 − ^0 ]|22 ≤ |0 − ^0 |222Экспоненциальный множитель по модулю меньше единицы везде, кроме = 0. Поэтому вовтором неравенстве равенство могло бы достигаться только когда спектр ℱ+ [0 − ^0 ] локализован в точке = 0, что невозможно.
Следовательно, решение уравнения (1.41) единственно.Сделаем несколько замечаний.∙ Величина 0 0 = 0 02 /0 имеет малую положительную мнимую часть. Это гарантирует,что имеет конечную 2 –норму.40∙ Каждая из величин 0 2 является чисто действительной. Это значит, что все комбинации 0 имеют положительную мнимую часть (малую для распространяющихся мод ибольшую для затухающих). Это позволяет сформулировать условие излучения для задачи в формализме интегралов Френеля. Оно заключается в том, что при комплексном каждая из функций () имеет конечную норму в 2 .1.3.
Краевая функция Грина и ее диаграмма направленности1.3.1. Определение краевой функции Грина в рамках параболическогоуравненияВ рамках параболического уравнения введем краевую функцию Грина (, ) как решение неоднородного уравнения:(︂)︂1 2+(, ) = ( − 0)(), 20 2(1.67)то есть источник располагается на основном листе многолистной поверхности (см. Рис.
0.11)вблизи точки ветвления (0, 0). Аргумент − 0 означает, что рассматривается предел семейства задач с источником в точке + при стремящемся к нулю. При таком определениилогично называть диаграммой направленности () краевой функций Грина (, ) коэффициент асимптотического разложения (0.11), где в предельной процедуре и предполагаются большими положительными, а их отношение постоянным. Такое определение аналогичноопределению диаграммы направленности функции Грина для уравнения Гельмгольца, гдеглавный член поля представляется в виде функции Грина свободного пространства, умноженной на зависящую только от угла диаграмму направленности. Применяя формулу Гринадля параболического уравнения к функциям = (, ), = exp{0 2 /2 − },с > 0 в области, показанной на Рис.
1.4, можно получить следующую формулу для диаграмм направленности: () = 1 −∞∑︁exp{0 2 /2}ℱ− [( − 0, ·)](−0 ).(1.68)=1Для доказательства данного утверждения потребуются следующие формулы:∞Z () = −∞{︂ (︂ 2)︂}︂(, * ) exp 0 − *,2(1.69)41Рис. 1.4. Область Ω для вывода (1.68)+∞Z{︂ (, * ) exp0 2 2+∞Z}︂ = −∞{︂(, * ) exp0 2 2}︂,(1.70)−∞для произвольного * > 0. Данные формулы доказываются с помощью Теоремы Грина. Ихдоказательство вынесено в Приложение В. Применяя формулу Грина, учитывая (1.69, 1.70),а также принимая во внимание тот факт, что интегралы по бесконечно удаленными участкамобращаются в нуль, получаем (1.68).При определении краевой функции Грина в рамках параболического уравнения возникают две основных проблемы.
Первая заключается в необходимости корректной постановкидифракционной задачи с точечным источником, расположенным вблизи точки ветвления.Вторая (более серьезная) проблема заключается в доказательстве справедливости асимптотики (0.11). Для того, чтобы избежать этих трудностей, используется формализм интеграловФренеля. В рамках этого формализма проблем не возникает (достаточно доказать сходимость соответствующих интегралов и рядов), но некоторый недостаток заключается в том,что диаграмма направленности краевой функции Грина не имеет очевидного физическогосмысла в этом формализме.1.3.2. Определение диаграммы направленности краевой функции Грина врамках интегралов ФренеляОпределим функции (), > 0 следующим образом: ≡ 0, < 1,1 () = (, ),(1.71)(1.72)42+1 () = Π++ [ ](), > 1.(1.73)При ≤ 0 доопределим данные функции как 0.
Легко проверить, что набор функций удовлетворяет цепочке уравнений (1.39) с правыми частями(1.74) () = ,0 (),где первая дельта — символ Кронекера, а вторая — обозначение дельта-функции. При такомопределении необходимо пояснить, чтоΠ+− [(·)]() = (, ).Заметим, что в соответствии с (0.3) при > 0 () = (, ), ≥ 1,где (, ) — краевая функция Грина, введенная в предыдущем разделе.Введем диаграмму направленности (), используя (1.68) как определение. Для этогозаметим, что при < 0( − 0, ) = (, ),( − 0, ) = Π−+ [−1 ](), > 1.Таким образом, аналог формулы (1.68), использующий величины, определенные в рамкахформализма интегралов Френеля, есть−1 () = 1 − ℱ− [(, ·)](−0 ) −∞∑︁−(+1) ℱ− [Π−+ [ ]](−0 ).(1.75)=11.4. О формулах расщепления1.4.1.
Вывод слабой формулы расщепленияДокажем формулу расщепления, связывающую решение исходной задачи о падающейплоской волне с краевыми функциями Грина. Для рассматриваемой задачи эта формулаимеет вид ( ) (in ).(1.76)0 ( + in )В рамках параболического уравнения формула расщепления выводится в два шага [7]. =На первом шаге к решению исходной задачи применяется дифференциальный оператор ,сохраняющий граничные условия и обращающий в нуль падающую плоскую волну. В результате анализа поля и применения теоремы единственности удается выразить результат применения оператора, т. е. [], в виде линейной комбинации краевых функций Грина.
Полученное выражение называется слабой формулой расщепления. На втором шаге применяется43теорема взаимности для параболического уравнения, и диаграмма направленности исходнойзадачи выражается через диаграммы направленности краевых функций Грина. Проблематакого вывода заключается в том, что его первая часть проводится на физическом уровнестрогости, а доказательство теоремы единственности требует значительных усилий. Здесьформула расщепления выводится в рамках формализма на основе интегралов Френеля.Опишем коротко процедуру вывода слабой формулы расщепления в рамках параболического описания. Будем рассматривать постановку для полностью поглощающих экранов.Применим к полному полю оператор (0.12). Этот оператор обращает в нуль падающуюволну и сохраняет граничные условия на экранах.
При этом «портятся» условия на концахэкранов, т. е. поле [] не содержит падающей волны, но имеет источники в концах экранов. Для выяснения амплитуды источников используется следующее (заведомо нестрогое)рассуждение. По определению производной, при малых 1[] ≈ [] = ((, ) − (, − )) + 0 0 .(1.77)Рассмотрим поле [] в окрестности точки (0, 0). При = +0, < 0 поле, очевидно, удовлетворяет граничному условию [] = 0 справа от экрана. При = 0, 0 < < поле []имеет разрыв, т. е. не удовлетворяет однородному параболическому уравнению. Разрыв наэтом отрезке равен −1 (−0, − ).
Функция (−0, ) вблизи = 0 является непрерывной,поэтому при малых значение (−0, − ) на отрезке 0 < < можно заменить на (−0, 0).Разрывное поле приближенно удовлетворяет неоднородному параболическому уравнению(︂)︂1 21+(1.78) [] = (−0, 0)() (),2 20 где () — функция, равная единице на отрезке 0 < < и нулю вне этого отрезка. Пристремлении к нулю правая часть стремится к ()()(−0, 0). Таким образом, вблизи краяэкрана поле имеет точечный источник, амплитуда которого равна значению поля слева отисточника. Поле, создаваемое точечным источником, есть краевая функция Грина (, ).Повторяя эти рассуждения для каждого экрана, получаем слабую формулу расщепления[] =∞∑︁( − 0, 0)( + , ).(1.79)=−∞Получим эту же формулу в рамках формализма интегралов Френеля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
