Диссертация (1103995), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

0.10 к Рис. 0.11).Также изменены обозначения листов.∙ Падающая волна (1.2), состоящая из двух парциальных волн, заменена на волну (1.8),представляющую собой одну парциальную волну.∙ Уравнение Гельмгольца заменено на параболическое уравнение теории дифракции.∙ Вспомогательные листы многолистной поверхности убраны, разрезы превращены в иде­ально поглощающие экраны.Как было сказано выше, для поставленной задачи дифракции в параболическом при­ближении есть определенные сложности с доказательством теоремы существования и един­ственности решения. Поэтому далее строится формализм на основе интегралов Френеля, гдеподобных проблем не возникает.31Рис.

1.2. Контура κ1 и κ2 .1.2.4. Описание задачи о волноводе с помощью интегралов ФренеляВернемся к классической задаче Л. А. Вайнштейна (Рис. 0.9) для уравнения Гельм­гольца (1.1). Применим вторую формулу Грина ко всей плоскости, из которой извлеченыокрестности стенок волновода.

Границей извлеченных областей служат контура κ1 и κ2 ,изображенные на Рис. 1.2:]︂Z [︂˜ ′ ′1′ ′ ′′′′ ˜(, ) = −˜( , )( − , − ) − ( − , − ) ( , ) ,2nn(1.19)κ1 +κ2где немые переменные ′ , ′ пробегают значения по контуру κ1 + κ2 , (1) √︀(, ) = − 0 (0 2 + 2 ),4(1.20)(1)0 — функция Ханкеля первого рода, a n – единичный вектор нормали, направленный какпоказано на Рис. 1.2.

Контур κ2 обходит точку (, ) по полуокружности радиуса ; рассмат­ривается предел при → 0. Учитывая, что на стенках волновода выполняются граничныеусловия Неймана, имеемZ˜(0, ′ )˜(, ) = −2(, − ′ ) ′ .n(1.21)κ1Воспользуемся приближением Киргхофа, а именно пренебрежем интегралом по теневой по­верхности экрана. Будем рассматривать дифракцию в приближении Френеля, т. е. учтем, чтодифракция происходит под малыми углами, а падающая волна является высокочастотнойи близкой к частоте отсечки (1.6). В таком случае справедлива следующая аппроксимацияядра интегрального уравнения (1.21):−2( − ′ , − ′ )≈ ( − ′ , − ′ ) exp{0 ( − ′ )},nгде (, ) – функция Грина параболического уравнения (см.

(0.4)).(1.22)32Введем поле (, ) следующим образом:(1.23)(, ) ≡ ˜(, ) exp{−0 }.Поле, введенное таким образом, не эквивалентно полю в параболическом приближении, вве­денному выше. Это следует из того факта, что в задаче на периодической решетке ставитсяболее слабое условие периодичности (1.9). Новый символ не вводится в целях сохраненияпрозрачности изложения.Функция (, ) определена при > 0.

Для удобства доопределим ее как ноль при < 0. При = 0 функция имеет разрыв. Используя (1.22) и (1.23), получим приближенноеинтегральное уравнение:∞Z(, − ′ )(0, ′ ) ′ ,(, ) = > 0.(1.24)0Еще раз применяя формулу Грина, получаем второе уравнение:∞Z−20 (, − ′ )(, ′ ) ′ ,(0, ) = > 0.(1.25)0Введем рассеяное поле sc по формуле sc (, ) = ˜sc (, ) exp{−0 }.Учитывая легко проверяемый факт, что при > ′∞Z( − ′ , − ′ )in (′ , ′ ) ′ = in (, ),(1.26)−∞получим интегральные соотношения для функций: sc (0, ) и sc (, )∞ZZ0sc (0, ′ )(, − ′ ) ′ −sc (, ) =in (0, ′ )(, − ′ ) ′ ,−∞0∞Z−20 sc(1.27)Z0′sc (0, ) =′′in (, ′ )(, − ′ ) ′ . (, )(, − ) −(1.28)−∞0Для произвольной функции (·) введем операторы∞ZΠ++ [(·)]() =( ′ )(, − ′ ) ′ , > 0,(1.29)( ′ )(, − ′ ) ′ , > 0,(1.30)0Z0Π+− [(·)]() =−∞33∞ZΠ−+ [(·)]() =( ′ )(, − ′ ) ′ , < 0,(1.31)( ′ )(, − ′ ) ′ , < 0,(1.32)0Z0Π−− [(·)]() =−∞где · обозначает немую переменную в интегральном операторе.

Здесь имеется в виду, что ре­зультат действия оператора Π++ или Π+− доопределен нулем при ≤ 0, а результат действияоператора Π−+ или Π−− доопределен нулем при ≥ 0.Свойство (1.26) в новых обозначениях перепишется в видеΠ−− [0 ]() + Π−+ [0 ]() + Π+− [0 ]() + Π++ [0 ]() = −0 0 ().(1.33)Уравнения (1.27) и (1.28) запишутся в видеsc (, ) = Π++ [sc (0, ·)]() − Π+− [in (0, ·)](),(1.34)−20 sc (0, ) = Π++ [sc (, ·)]() − Π+− [in (, ·)]().(1.35)1.2.5. Аналог метода отражений для описания с помощью френелевскихинтеграловПрименение метода отражений и переход от задачи о рассеянии на торце волновода кзадаче о рассеянии на решетке из точек ветвления (или эквивалентной ей задаче о рассея­нии на решетке из поглощающих экранов) имеет важное теоретическое значение, посколькупозволяет ввести краевые функции Грина.

Здесь строится аналог метода отражений дляуравнений (1.34), (1.35).Применим «метод отражений» к системе (1.34), (1.35). Прежде всего, пользуясь (1.12),заметим, что−20 = 2 .Кроме того, в правых частях (1.34) и (1.35) можно использовать обозначения (1.16). Введяобозначения0 () ≡ sc (0, ),1 () ≡ sc (, ),>0(1.36)перепишем (1.34), (1.35) в виде1 () = Π++ [0 ]() + Π+− [0 ](),(1.37)2 0 () = Π++ [1 ]() + Π+− [1 ](),(1.38)34Данная система замкнута относительно двух неизвестных функций. Построим беско­нечную систему, обобщающую (1.37), (1.38). Для этого введем неизвестные функции (), > 0, не только для = 0, 1, но и для всех целых и сформулируем цепочку уравнений+1 () = Π++ [ ]() + Π+− [ ]().(1.39)Очевидно, если построено решение системы (1.37), (1.38), то построено и решение системы(1.39).Цепочка уравнений (1.39) представляет собой основные уравнения, которые решают­ся в рамках развиваемого авторами метода.

Именно для этих уравнений вводятся краевыефункции Грина и строится формула расщепления. Правой частью для этой цепочки будемназывать набор известных функций ().В силу (1.17) решение системы (1.39) должно удовлетворять условию Флоке+1 () = exp{−0 02 /2} (),(1.40)т. е. система (1.39) редуцируется к уравнению0 () = Π++ [0 ]() + Π+− [0 ]().(1.41)Система (1.39) представляет собой аналог применения принципа отражения к (1.37),(1.38).

Главный выигрыш, который следует из сравнения (1.39) с (1.37), и (1.38) с (1.41)— это возможность исследовать решения этой системы при произвольном наборе функций , а не только для функций (1.16). В частности, краевая функция Грина получается, еслиположить () = ,0 ().Цепочка (1.39) позволяет выписать формальное решение уравнения (1.41):0 =∞∑︁− (Π++ )−1 Π+− [0 ](1.42)=1(в том, что данная функция является решением (1.41), можно убедиться прямой подстанов­кой).1.2.6.

Эквивалентность параболического уравнения и интегралов ФренеляВернемся к рассмотрению задачи дифракции на многолистной поверхности (Рис. 0.11) впараболическом приближении. Главное преимущество использования метода параболическо­го уравнения заключается в упрощении описания распространения волн вдоль координаты.

Действительно, в любой полосе ′ < < ′′ без препятствий или точек ветвления поле35(, ) описывается интегральной формулой (0.3). Цепочка уравнений (1.39) связана с па­раболическим уравнением следующим образом. Пусть функции (), > 0, введенные впредыдущем разделе, есть значения поля (, ) на основном листе поверхности, на кото­рой выполняется параболическое уравнение.

Пусть на этом листе выполняются граничныеусловия (1.15). Тогда формула (0.3) для ′ = , = ( + 1) представляет собой (1.39).Отметим, что для определения поля на всей поверхности достаточно решить уравне­ния (1.39) на основном листе, а потом воспользоваться формулой (0.3) на вспомогательныхлистах.1.2.7.

Формулы для коэффициентов генерации дифракционных максимумовПредположим, что цепочка уравнений (1.39) каким-либо образом решена. Для решенияпоставленной дифракционной задачи необходимо вычислить коэффициенты разложения(1.13). В настоящем разделе будут построены формулы, выражающие через функции (). Формула, которую требуется доказывать, имеет следующий вид:−1 = −Z0exp{−0 } (Π−+ [0 ]() + Π−− [0 ]() − 0 ()) .(1.43)−∞Вывод этой формулы в рамках формализма параболического уравнения подробно опи­сан в [2].

Приведем его здесь в сокращенном виде.Во-первых, для коэффициентов справедлива следующая формула:Zexp{−0 * } =sc (, * ) exp{0 2 /2}(1.44)0для любого * > 0. Для доказательства этого утверждения заметим, что функцияsc (, ) exp{0 2 /2}периодична по . Разложение этой функции в ряд Фурье дает (1.13). Коэффициенты разло­жения даются формулой (1.44). Дифференцируя (1.44) по * , получаем еще одно выражениедля :exp{−0 * } =0 Zsc (, * )exp{0 2 /2},*(1.45)0связывающее коэффициенты с вертикальной производной рассеяного поля.

Во-вторых,для параболического уравнения справедлива формула Грина.36Рис. 1.3. Область Ω для вывода (1.49)Утверждение 1.1 (теорема Грина). Пусть пара функций (, ) и (, ) удовлетворяютв некоторой области Ω неоднородным уравнениям)︂(︂)︂(︂1 21 2+ = (, ),−+ = ℎ(, ). 20 2 20 2Тогда выполняется равенствоZZ[(v · n) − (w · n)] = 20 [ − ℎ],(1.46)(1.47)ΩΩгде n – внешняя единичная нормаль к границе Ω, а векторные потоки v, w задаются какv = (0 , )w = (−0 , ).(1.48)Применяя теорему Гаусса–Остроградского можно легко убедиться в справедливостиданного утверждения.Применяя (1.47) с функциями = sc (, ) = exp{0 2 /2 − 0 }по области, изображенной на Рис.

1.3, и используя формулу (1.44), легко получить следующеевыражение для коэффициентов :1 = − Z0(sc ( − 0, ) − sc ( + 0, )) exp{−0 }.(1.49)−∞Нижний участок контура на Рис. 1.3 соответствует = −, при → −∞. Верхний37участок есть отрезок = * , 0 < < . Действительно, применяя теорему Грина получим:Zexp{−0 * } [* sc + 0 ] exp{0 2 /2} =0−∞Zsc ( − 0, ) exp{−0 } + 2020(1.50)Z0sc ( + 0, ) exp{−0 }.−∞0Здесь было учтено, что интегралы по отрезкам = 0, 0 < < * и = , 0 < < *компенсируют друг друга из-за периодичности. Группируя члены, а также используя (1.44)и (1.45), получаем (1.49).Заметим, что в (1.49)sc ( − 0, ) = Π−+ [−1 ]() + Π−− [−1 ]() = −1 (Π−+ [−1 ]() + Π−− [−1 ]()),<0в силу (0.3).

Кроме того,sc ( + 0, ) = 0 (),<0в силу граничных условий. В результате (1.49) сводится к (1.43).Выведем представление (1.44) с помощью формализма интеграла Френеля (и уравнения(1.39)). Обратим внимание на то, что в представлении интеграла Френеля нет координаты, поэтому целью является построение разложения0 () =∞∑︁(1.51) exp{0 }.=−∞Для вывода представления (1.51) и построения формул для воспользуемся техникой,имеющей общие черты с методом Винера–Хопфа–Фока.

Характеристики

Список файлов диссертации