Диссертация (1103995), страница 20
Текст из файла (страница 20)
А.3. Введемкраевую функцию Грина дипольного типа. Для этого на двулистной поверхности разместимисточники силой +1 и −1, как показано на Рис. А.4. Источники размещаются справа отточки (−, 0). Краевую функцию Грина (КФГ) на поверхности обозначим как (, ). Такимобразом, краевая функция Грина удовлетворяет уравнению(︂)︂1 2+(, ) = ( − ( + 0))() 20 2на листе 1 и уравнению(︂1 2+ 20 2)︂(, ) = −( − ( + 0))()(А.3)(А.4)на листе 2.
Специальные обозначения для поля на первом и втором листе не вводятся, таккак всегда ищется поле и диаграммы направленности на листе 1. Как было отмечено выше,поле на листе 2 может быть получено с помощью симметрии. В соответствии с формулой (0.3)КФГ может быть представлена в виде (0.11). Отметим, что диаграмма направленности ()зависит только от одной переменной, в то время как диаграмма направленности исходной^ in ) зависит от двух переменных. Вычислим () . Из формулы (0.3) следует, чтозадачи (,(, ) = (2, ), > 0,(А.5)129Лист 112Лист 221Рис.
А.2. Схема деформации разрезов двулистной поверхностиЛист 11 23 4Лист 22 14 3Рис. А.3. Альтернативное представление двулистной поверхности130Лист 1+Лист 2-Рис. А.4. К определению краевых функций Грина(, ) = −(2, ),(А.6) < 0,Подставляя (А.5) и (А.6) в (4.21), получим:√︂∞{︂}︂Z(︀)︀)︀0 2 (︀ −0 02exp 0 /2 exp () =− 0 =420(︃(︃(︀)︀1exp −0 2 /2 erfc −2√︂0)︃(︃ √︂− erfc 0)︃)︃(А.7)Приступим к выводу формулы расщепления. Рассмотрим поле на двулистной поверхности с разрезами, показанными на Рис. А.3.
Применим к полному полю (, ) исходнойзадачи оператор расщепления (0.12). Проанализируем свойства поля(, ) ≡ [](, ).(А.8)Во-первых, поле (, ) везде, кроме окрестности разрезов, удовлетворяет параболическому уравнению. Это следует из того, что оператор коммутирует с оператором уравнения.Во-вторых, поле (, ) не содержит падающей волны. Это следует из того, что[in ](, ) = 0.(А.9)Наконец, производная по в (0.12) приводит к появлению монопольных источников в концевых точках разрезов. Покажем это на примере вершины (−, 0). Рассмотрим узкую полосу в131окрестности разреза − < < − + , −∞ < < ∞. В соответствии с формулой (0.3), полев данной полосе может быть представлено в виде:∞Z(−, ′ )( + , − ′ ) ′ .(, ) = lim→0(А.10)Интегрирование проводится по положительной оси, так как поле на отрицательной полуосиравно нулю.
Применим оператор и выполним интегрирование по частям.∞Z(−, ′ )( + , − ′ ) ′ + (−, )( + , − ).(, ) = lim→0(А.11)Переходя к пределу в последнем выражении, получим∞Z(− − 0, ′ )( + , − ′ ) ′ + (− − 0, )( + , ).(, ) =(А.12)Первый член в правой части соответствует полю без источников, а второй – полю точечного монопольного источника с амплитудой (−, 0) , расположенного в точке (− + 0, 0).Аналогичная процедура может быть проделана и со второй вершиной.Вследствие единственности решения дифракционной задачи, поле (, ) есть линейнаякомбинация полей точечных источников:(, ) = (− − 0, 0)(, ) + ( − 0, 0)( − , )(А.13)Переходя к диаграммам направленности в последнем выражении, получим: 22^ in ) = exp {0 ( ) / 2} () + exp {0 / 2}( − 0, 0)(,0 ( + in )(А.14)Здесь мы учли, что(− − 0, 0) = in (−, 0).(А.15)Формула (А.14) есть формула расщепления в слабой формулировке.
В ней фигурирует неизвестная величина ( − 0, 0) . Для того, чтобы выразить это поле через диаграммунаправленности КФГ, воспользуемся теоремой взаимности. Рассмотрим задачу с точечнымисточником единичной силы, расположенным на 1 листе в точке (′ , in ′ ) ( ′ – большоеположительное число). Поле, создаваемое таким источником, асимптотически близко к полю падающей волны, умноженному на (′ , in ′ ). Устремляя ′ → ∞ и применяя теоремувзаимности (см. Приложение В, Утверждение 1.2.2), получаем, что( − 0, 0) = (in )(А.16)132Подставляя (А.16) в (А.14), получим формулу расщепления в сильной формулировке:in 22in^ in ) = exp{0 ( ) /2} () + exp{0 /2} ( ) .(,0 ( + in )(А.17)Заметим, что в силу очевидной симметрии (−) = − ()(А.18)диаграмма (А.17) не имеет особенности при = −in , однако вычисление предельного значения в этом случае требует применения правила Лопиталя.
Формулы (А.17) и (А.7) даютответ в однократных квадратурах. Легко видеть, что формула (А.17) совпадает с (4.42).133Приложение БОб эквивалентности многолистных поверхностейБудем обозначать поверхность, изображенную на Рис. 0.10, как 1 , а поверхность, изображенную на Рис. 0.11, как 2 . Проиндексируем листы поверхности 1 целыми числами ∈ Z. Пусть физический лист соответствует индексу = 0. Листу, имеющему точки ветвления при = , ( + 1) присвоим индекс .Проиндексируем также листы поверхности 2 . Пусть основной лист будет иметь индексi (букву). Нижние листы проиндексируем целыми числами так, чтобы лист, подклеенный полинии = , < 0, имел числовой индекс . Теперь точка на каждой из поверхностейхарактеризуется координатами (, ) и индексом листа.Пусть — непрерывный путь на плоскости (, ) с выколотыми точками (, 0), ∈ Z.Пусть этот путь идет из точки (1 , 1 ) в точку (2 , 2 ).
Определим преобразование индексовповерхности 1 как подстановку2 = Φ1 (1 ),где 1 , 2 принадлежат множеству индексов поверхности 1 (т. е. Z). Выписанное выше равенство верно, если после переноса точки (1 , 1 , 1 ) по пути попадаешь в точку (2 , 2 , 2 ).Аналогично определим преобразование индексов поверхности 2 , обозначив его как Φ2 .Разумеется, вместо путей достаточно рассматривать гомотопические классы путейна плоскости с выколотыми точками (, 0). Для рассмотрения всех классов достаточнорассмотреть только классы базовых путей ± , показанных на Рис. Б.1. Для путей ± легкоРис. Б.1. Пути + и −134построить явный вид подстановок Φ1,2± .
ИмеемΦ1− () = ,Φ2+ () = ,⎧⎪⎪⎪,если ̸= − 1 и ̸= ,⎪⎪⎨Φ1+ () = ,если = − 1,⎪⎪⎪⎪⎪⎩ − 1, если = .(Б.1)⎧⎪⎪⎪, если ̸= i и ̸= ,⎪⎪⎨Φ2− () = , если = i,⎪⎪⎪⎪⎪⎩i, если = .(Б.2)Назовем поверхности с заданным набором положений точек ветвления над плоскостью(, ) эквивалентными, если существует обратимое непрерывное отображение Ψ : 1 → 2 ,оставляющее координаты точек неизменными.На языке индексов листов это означает, чтодля любого диаграммаΦ11 −−−→⎮⎮⌄Ψ2⌃⎮ −1⎮ΨΦ21 −−−→ 2коммутативна.Определим преобразование Ψ в полосе < < ( + 1) следующим образом⎧⎪⎪⎪ + 1, если < ,⎪⎪⎨Ψ() = i,если = ,⎪⎪⎪⎪⎪⎩,если > .(Б.3)Непосредственной проверкой, проводимой для путей ± , убеждаемся, что это преобразование непрерывно, то есть выполняется тождество)︀(︀Φ2 (Ψ()) = Ψ Φ1 () ,где произвольный индекс поверхности 1 .(Б.4)135Приложение ВВывод интегральных формул и теоремы взаимности длядиаграмм направленности краевых функций ГринаЦелью данного приложения является доказательство формул (1.68), (1.69), (1.70) и(2.35) c помощью теоремы Грина для параболического уравнения, сформулированной в Главе1, раздел 1.2.7, Утверждение 1.1.
Все формулы будут доказаны для наиболее общего случая,рассматриваемого в Главе 3 (см. Рис. 3.1). Докажем следующее вспомогательное утверждение:Лемма. Для больших положительных , √︂{︂}︂00 2 (, ) =exp −224∞{︂ (︂)︂}︂Z ′12′×− (, ) exp 0 + ( −1/2 )22(В.1)−∞для произвольного фиксированного ′ > * .
Здесь – краевая функция Грина с источникомв -ой вершине.Доказательство. Применим формулу (1.47), подставив в качестве функцию ,авкачестве функцию(, ) = ( − , − ).Область Ω есть область точек > ′ .При больших , и небольших , ′ можно построить приближение√︂{︂}︂{︂ (︂)︂}︂00 212 ′′(, ) ≈exp −exp 0− .2242 2(В.2)Для получения окончательного ответа осталось преобразовать выражение вида∞{︂}︂Z12* (, ) exp 0 .2 2−∞Для этого воспользуемся условием излучения, т.е. заметим, что в верхней полуплоскостиполе представляется линейной комбинацией только уходящих или убывающих волн.
Преобразование Фурье выделяет в единственную плоскую волну, и появляется возможностьвычислить ее вертикальную производную. Таким образом, получаем формулу (1.70):∞Z∞{︂}︂{︂}︂Z1212* (, ) exp 0 = 0 (, ) exp 0 2 22 2*−∞−∞(В.3)136Рис.
В.1. Область Ω для вывода формулы (В.5)Подстановка полученных представлений в (1.47) дает (В.1).Утверждение В.1. Диаграммы направленности ()вычисляются по формуле{︂}︂ ∞{︂ (︂ 2)︂}︂Z0 2′′ () = exp − + 0 − (, ) exp 022(В.4)−∞для произвольного ′ > * .Выражение (В.4) следует из (В.1) при учете того, что}︂{︂12 + 0 ( − , − )(, ) ≈ exp −02 2и= − ≈ . − Формула (1.69) следует из (В.4) при = и * = 0.Утверждение В.2. Для величин ()верны представления{︂}︂ Z2 () = 1 −exp 0 ( − ) ( − 0, ) exp {0 ( − )} .2=+1∞∑︁(В.5)−∞Доказательство этого утверждения можно получить, применяя (1.47) к функциям и{︀}︀ = exp 0 (2 /2 − )(В.6)при > 0 в области, показанной на Рис.
В.1. Нижние горизонтальные участки соответствуют = − при достаточно больших . Условия излучения гарантируют, что интеграл по этимучасткам обращается в ноль в пределе → ∞.Отметим, что формулы (1.68) и (2.35) являются частными случаями формулы (В.5).137Утверждение В.3. Значения полного поля на краях экранов (− 0, ) связаны с диаграммами направленности () следующим соотношением:}︀{︀( − 0, ) = exp −0 (in )2 /2 + 0 in (in ).(В.7)Введем функцию (, ; ′ , ′ ) как функцию Грина на плоскости с экранами = , < , удовлетворяющую параболическому уравнению(︂)︂1 2+(, ; ′ , ′ ) = ( − ′ )( − ′ ). 20 2(В.8)На экранах функция удовлетворяет граничным условиям (2.3), условиям излучения и условиям в концевых точках.Очевидно, краевые функции Грина являются частным случаем : (, ) = (, ; + 0, ).Диаграммы направленности могут быть определены как (′ + , ′ + ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
