Диссертация (1103995), страница 17
Текст из файла (страница 17)
4.10. Если нули не принадлежат физическомулисту с самого начала, то никакой деформации не требуется. Область значений для которой√︀нули − 02 − 2 принадлежат физической плоскости дается неравенствамиIm[] < 0,(4.113)Re[] < 0.Иными словами, значения, требующие деформации контуров 1,2 , находятся в третьем квадранте комплексной плоскости.′Обозначим контура, получившиеся в итоге, как 1,2вне зависимости от того были ли они′деформированы или нет, т. e. 1,2совпадает с 1,2 при Im[] ≥ 0 или Re[] ≥ 0 и представляетсобой деформирование контура при Im[] < 0,ЗамечаниеRe[] < 0.Положение точек ′ на Римановой поверхности функции√︀02 − 2 может быть определено из условия (4.4). А именно, граница между допустимыми и заперещенными значениями представляет собой действительную ось.
Рассмотрим функцию ′ = ′ (). Эта функция переводит действительную ось в два отрезка 1′′ = (−∞, −0 ), 2′′ = (0 , ∞) на действительной√︀′′оси. Рассмотрим Риманову поверхность 02 − 2 , разрезанную вдоль 1,2. Назовем лист, со√︀′′держащий точку 02 − 02 = 0 , физическим. Граница Im[] = 0 соответствует разрезам 1,2.Область Im[] < 0 соответствует нефизическому листу.Im[ ]Im[ ]Re[ ]Re[ ]Рис. 4.10. Пример деформации контуров 1,2′Сформулируем функциональную задачу для контуров 1,2. В соответствии с принципоманалитического продолжения соотношения (4.105), (4.106) остаются справедливыми для техже матриц (4.108), (4.107).
Таким образом, задача формулируется почти идентично:Задача 6. Найти матричную функцию U(), элементы которой заданы выражением (4.86),такую что108′∙ она регулярна на комплексной плоскости с разрезами 1,2;∙ она удовлетворяет функциональным уравнениям (4.105), (4.106) с коэффициентами(4.107), (4.108) на разрезах;∙ она удовлетворяет условиям роста (4.82), (4.83), (4.111), (4.112);∙ функции ± растут не быстрее константы вблизи точек ±0 .4.14.1.
Симметричный случайАналогично антисимметричному случаю в симметричном случае преобразования неизвестных функций на разрезах описываются парой уравнений:V () = V N1 (), ∈ 1 ,V () = V N2 (), ∈ 2 ,⎛⎞1−2/( − )⎠,N1 () = ⎝0 ( + )/( − )⎛⎞( + )/( − ) 0⎠.N2 () = ⎝−2/( − )1(4.114)(4.115)(4.116)(4.117)Переформулируем условия роста (4.92), (4.93) с помощью (4.89):− = ,1 − + ( −1 log()− ),+ = ,2 + ( −1 log() ),Arg[−/2 ] ≤ /2,(4.118)Arg[/2 ] ≤ /2.(4.119)Теперь можно сформулировать функциональную задачу для V.Задача 7. Найти матричную функцию V(), элементы которой заданы выражением (4.94),такую что∙ она регулярна на комплексной плоскости с разрезами ′ 1,2 ;∙ она удовлетворяет функциональным уравнениям (4.114), (4.115) с коэффициентами(4.116), (4.117) на разрезах;∙ она удовлетворяет условиям роста (4.90), (4.91), (4.118), (4.119);√∙ функции ± растут не быстрее чем ( 0 ∓ )−1/2 вблизи точек ±0 .1094.15.
Семейство задач Римана—Гильберта4.15.1. Предварительный шаг для антисимметричного случаяДалее следует ключевой этап данной главы. Ниже будет введено семейство задач Римана—Гильберта, к которому будут принадлежать в качестве элементов Задачи 6 и 7. Однакоперед тем как это будет сделано, необходимо переформулировать Задачи 6 и 7 так, чтобыматрицы M1,2 () и N1,2 () имели собственные значения стремящиеся к 1 при || → ∞. Легковидеть, что матрицы N1,2 уже удовлетворяют этому условию (т.е.
в симметричном случае переформулировка не требуется), а матрицы M1,2 () имеют одно собственное значение стремящееся к 1 и одно стремящееся к −1. Для того, чтобы переформулировать антисимметричнуюзадачу сделаем замену переменных:⎞⎞⎛⎞ ⎛⎛/4−1/21111^^ (0 − )0 + +^ ≡⎝ −⎠.⎠⎝⎠=⎝ −U0/4 (0 + )−1/2−2 +2^−2 ^+2(4.120)Условия роста для новых функций принимают вид:^+ () = ,2 + ( −1 ),^− () = ,1 − + ( −1 − ),^− () = −,1 − + ( −1 − ),^+ () = −,2 + ( −1 ),Arg[−/2 ] ≤ /2,(4.121)Arg[/2 ] ≤ /2,(4.122)Arg[−/2 ] ≤ /2,(4.123)Arg[/2 ] ≤ /2.(4.124)^ на левых и правых берегах разрезов ′ , ′ , приниФормулы, связывающие значения U21мают вид:где^ () = U^ Ḿ1 (),U ∈ 1′ ,(4.125)^ () = U^ Ḿ2 (),U ∈ 2′ ,(4.126)⎛Ḿ2 () = ⎝⎛Ḿ1 () = ⎝( + )/( − )02(0 + )/( − ) 11 2(0 − )/( − )0( + )/( − )⎞⎠,(4.127)⎞⎠.(4.128)^ может быть сформулирована:Теперь функциональная задача для U^ , элементы которой заданы выражением (4.120),Задача 8.
Найти матричную функцию U()такую что110′∙ она регулярна и не имеет нулей определителя на плоскости с разрезами 1,2;∙ она удовлетворяет функциональным уравнениям (4.125), (4.126) с коэффициентами(4.127), (4.128) на разрезах;∙ она удовлетворяет условиям роста (4.121), (4.122), (4.123), (4.124);^ растут не быстрее чем (0 ∓ )−1/2 вблизи точек ±0 .∙ элементы U4.15.2. Семейство задач Римана—Гильберта в антисимметричном случаеРассмотрим антисимметричный случай, т. е. Задачу 8.′как 2′ = + 0 , 1′ = − − 0 , где – контур, идущий от ∞ кПредставим контура 1,20. Здесь +0 и −0 обозначают величину на которую сдвигается контур.
Пусть (), ∈ –контур, идущий от ∞ к вдоль , т. е. () является частью . Пусть1′ () = −() − 0 ,2′ () = () + 0 .Построим семейство задач Римана—Гильберта для Задачи 8. Ключевым шагом явля′′ется замена контуров 1,2контурами 1,2(). Условия роста на бесконечности и матрицысвязи (4.127), (4.128) остаются такими же, как и в Задаче 8, меняются лишь условия роста в концевых точках контура (вследствие того, что концевые точки перемещаются из ±0в ±(0 + )). Чтобы сформулировать эти условия необходимо изучить поведение решениязадачи Римана—Гильберта вблизи одной из концевых точек. Рассмотрим в качестве примера контур 1′ (). Пусть на берегах 1′ () выполняется уравнение (4.126) с коэффициентами(4.128). Тогда, очевидно, вблизи концевой точки + 0 решение имеет вид⎧⎛⎞⎫⎨ log( − ( + ))⎬log(())010^⎝⎠U = T(, ) H() expH−1 ,⎩20log(2 ()) ⎭где T() – произвольная аналитичная матрица вблизи 0 + ,√︀ 02 − 2 + 1 () = √︀ 2, 0 − 2 − (4.129)(4.130)и2 () = 1– собственные значения матрицы Ḿ2 (),⎛⎞1 0⎠,H=⎝ 1=(0 + )(4.131)111– матрица, составленная из собственных векторов матрицы Ḿ2 (0 + ).
Ветвь квадратногокорня в точке = + 0 выбирается с помощью процедуры, описанной в разделе 4.14(см.Рис. 4.9).Подходящий выбор логарифмов в (4.129) определяет условия роста вблизи 0 + . Выберем log(2 ()) = 0 (такой выбор дает регулярную часть решения). Далее рассмотримфункцию 1 (). Очевидно, что 1 (0) = −1, 1 (∞) = 1.Введем величинуIdx = log(1 ())|∞0 ,(4.132)которую будем называть индексом задачи Римана—Гильберта. Под введенным обозначениемпонимается непрерывное изменение логарифма при проходе от 0 до ∞ вдоль контура 2′ .Очевидно, что Idx = + 2 для некотрого целого . Легко показать (см. Приложение Е), что при ограничении Im[] < 0Idx = .(4.133)Введем величину() =log(1 ()).2(4.134)Данная функция должна быть непрерывна на 2′ , а также(∞) = 0.(4.135)В соответствии с (4.133), имеем (0) = −1/2.^ ) размерности 2×2, таких что для каждогоВведем семейство матричных функций U(,^ ), рассматриваемая как функция переменной , являетсяфиксированного функция U(,решением следующей функциональной задачи:^ ), элементы которой заданы выражениемЗадача 9.
Найти матричную функцию U(,(4.120), такую что′∙ она регулярна и не имеет нулей определителя на плоскости с разрезами 1,2();∙ она удовлетворяет функциональным уравнениям (4.125), (4.126) с коэффициентами′(4.127), (4.128) на разрезах 1,2();∙ она удовлетворяет условиям роста (4.121), (4.122), (4.123), (4.124) на бесконечности;∙ вблизи точки −0 − элементы ^− ведут себя как регулярные функции, а элементы^+ ведут себя как ( − (0 + ))() Ψ1 ( + (0 + )) + Ψ2 ( + (0 + )), где Ψ1 и Ψ2 –некоторые функции, регулярные вблизи нуля;112∙ вблизи точки 0 + элементы ^+ ведут себя как регулярные функции, а элементы^− ведут себя как ( + (0 + ))() Ψ3 ( − (0 + )) + Ψ4 ( − (0 + )), где Ψ3 и Ψ4 –некоторые функции, регулярные вблизи нуля.^ ) введено математически корректно, так как единственность решенияСемейство U(,^ ) может быть доказана для любого с помощью техники, использованной в разделеU(,4.13.1.Задача 8 и Задача 9 связаны соотношением^^ ).U()= U(0,(4.136)4.15.3.
Семейство задач Римана—Гильберта в симметричном случаеВведем семейство матричных функций V(, ), таких что для каждого фиксированного функция V(, ), рассматриваемая как функция переменной , является решением следующей функциональной задачи:Задача 10. Найти матричную функцию V(, ), такую что′∙ она регулярна и не имеет нулей определителя на плоскости с разрезами 1,2();∙ она удовлетворяет функциональным уравнениям (4.114), (4.115) с коэффициентами′(4.116), (4.117) на разрезах 1,2();∙ она удовлетворяет условиям роста (4.90), (4.91), (4.118), (4.119) на бесконечности;∙ вблизи точки −0 − элементы − ведут себя как регулярные функции, а элементы+ ведут себя как ( + (0 + ))() Ψ́1 ( + (0 + )) + Ψ́2 ( + (0 + )), где Ψ́1 и Ψ́2 –некоторые функции, регулярные вблизи нуля;∙ вблизи точки 0 + элементы + ведут себя как регулярные функции, а элементы −ведут себя как ( − (0 + ))() Ψ́3 ( − (0 + )) + Ψ́4 ( − (0 + )), где Ψ́3 и Ψ́4 – некоторыефункции, регулярные вблизи нуля.Задача 7 и Задача 10 связаны соотношениемV() = V(0, ).(4.137)1134.16.
Вывод ODE14.16.1. ODE1 в антисимметричном случаеПосле того, как исходные задачи были погружены в семейство задач Римана—Гильберта, перейдем к исследованию характера зависимости семейства от параметра.^ ) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнениюДокажем, что U(,(ODE1) по параметру : ^^ ),U(, ) = R(, ) U(,(4.138) ∈ ,где R(, ) – коэффициент уравнения. Структура коэффициента дается следующим утверждением.^ ), являющаяся решением семейства функциональныхУтверждение 4.1. Функция U(,задач, поставленных в Задаче 9, удовлетворяет уравнению (4.138) с коэффициентомR(, ) =r* ()r()−, − (0 + ) + (0 + )(4.139)где r(), ∈ – не зависящая от матричная функция размерности 2 × 2; r* связана с rс помощью следующего соотношения:⎛⎞1,1 1,2⎠,r=⎝2,1 2,2⎛r* = ⎝2,2 2,11,2 1,1⎞⎠,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
