Диссертация (1103995), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Найти функции + (),− (), регулярные на комплексной плоскости с разрезами1 и 2 , такие что∙ функция − () регулярна в нижней полуплоскости за исключением полюса = * , вкотором она имеет вычет, равный −;∙ функция + () регулярна в верхней полуплоскости;∙ функция´0 ≡()0 ()( − ())(4.79)регулярна на всей комплексной плоскости (здесь 0 определено как 0 ≡ −(+ + − ));∙ функции + , − , ´0 удовлетворяют условиям роста (4.75), (4.76), (4.77), (4.78).Симметричная часть диаграммы направленности может быть получена с помощью следующей формулы:˜ in ) = (0 )−1 ´0 (−0 cos()).˜ s (,(4.80)4.13.
Вспомогательные функциональные задачиВинера—Хопфа—Фока и формула расщепления4.13.1. Вспомогательные функции. Антисимметричная задачаВ данном разделе формулируются вспомогательные функциональные задачи путем модификации Задачи 1. А именно, производятся следующие изменения. Во-первых, вводятсядве пары вспомогательных функций – (−1 , +1 ), (−2 , +2 ). С помощью вспомогательных решений строится базис для семейства исходных задач по параметру in . Во-вторых, на функции+1,2 накладываются дополнительные требования аналитичности, запрещающие им иметьполюса (т.
е. условия аналитичности становятся проще). В-третьих, допускается более быстрый рост на бесконечности (т. е. условия роста ослабляются). Наконец, строится формуларасщепления, связывающая вспомогательные решения с решением исходной задачи.Здесь стоит провести параллель с Главой 2, где в качестве базисных функций выбирались краевые функции Грина. На первый взгляд может показаться, что и для данной задачив качестве вспомогательных функций следует выбрать соответствующие Фурье-образы краевых функций Грина с источниками, помещенными в вершины (±, 0).
Действительно, вантисимметричном случае такой подход приводит к функциональной задаче, изложенной101ниже. К сожалению, в симметричном случае данная техника не приводит к формуле расщепления. Поэтому ниже используется более формальный подход, и краевые функции Грина невводятся. Однако, по крайней мере в симметричном случае, представление о краевой функции Грина делает приведенные ниже формулировки более наглядными.Задача 3. Найти функции 1,2+ (),−1,2 (), регулярные на комплексной плоскости с разрезами 1 и 2 , такие что∙ функции −1,2 регулярны в нижней полуплоскости;∙ функции +1,2 регулярны в верхней полуплоскости;∙ функции´01,2 = ( − ())−1 01,2 ()(4.81)регулярны на всей плоскости (здесь функции 01,2 определены как 01,2 ≡ −(+1,2 +−1,2 ));∙ функции +1,2 , − , ´01,2 удовлетворяют сформулированным ниже условиям роста (4.82),(4.83), (4.84), (4.85).Условия роста для данной функциональной задачи имеют следующую форму:+ () = ,2 (−/2 )1/2 + ( −1/2 ),Arg[−/2 ] ≤ /2,(4.82)− () = ,1 (/2 )1/2 − + ( −1/2 − ),Arg[/2 ] ≤ /2,(4.83)Arg[−/2 ] ≤ /2,(4.84)Arg[/2 ] ≤ /2,(4.85)´0 () = −,1 (−/2 )−1/2 − + ( −3/2 − ),´0 () = −,2 (/2 )−1/2 + ( −3/2 ),где = 1, 2, , – символ Кронекера.Запишем решение вспомогательной функциональной задачи в виде матрицы⎛⎞−1 () +1 ()⎠.U() = ⎝22− () + ()(4.86)Покажем, что решение Задачи 3 единственно.
А именно, пусть существуют два решенияU и Ū. Рассмотрим выражение J = ŪU−1 , которое может быть переписано в виде⎛⎞1,1 1,21⎠,J= ⎝2,1 2,2где = |U|,(4.87)1021,11,22,12,2⃒⃒⃒= ⃒⃒⃒⃒⃒⃒= ⃒⃒⃒⃒⃒⃒= ⃒⃒⃒⃒⃒⃒= ⃒⃒⃒⃒⃒¯−1 () ¯+1 () ⃒⃒,⃒22− () + () ⃒⃒⃒11− () + () ⃒⃒,⃒¯−1 () ¯+1 () ⃒⃒⃒22¯¯− () + () ⃒⃒,⃒22− () + () ⃒⃒⃒11− () + () ⃒⃒,⃒22¯¯− () + () ⃒где | · | обозначает определитель матрицы.Все пять определителей могут быть проанализированы следующим образом. Рассмот´0 запишем этотрим в качестве примера. Пользуясь линейной зависимостью − , + , и определитель в двух эквивалентных представлениях:⃒⃒⃒⃒⃒ 1 ´1 ⃒⃒⃒ − 0 ⃒⃒⃒= −( − ()) ⃒⃒ = −( − ()) ⃒⃒⃒⃒ −2 ´02 ⃒⃒1 ⃒⃒1´0 +⃒.2 ⃒⃒2´0 +(4.88)Первое представление может быть использовано для анализа´()≡ −( − ())−1 ()в нижней полуплоскости, а второе – для анализа той же самой функции в верхней полуплос´ аналитична в обоих полуплоскостях и растет как −1кости.
Легко видеть, что величина на всей комплексной плоскости. Таким образом, в соответствии с теоремой Лиувилля,´ ≡ −1.Аналогичному анализу может быть подвергнут каждый из четырех оставшихся определителей. В результате имеемJ() ≡ I,где I – единичная матрица, т. е. решение функциональной задачи единственно.
Заметим, чтонули определителя () совпадают с нулями функции − (), и никаких других нулей() не имеет.4.13.2. Вспомогательные функции. Симметричная задачаВ полной аналогии с антисимметричным случаем введем вспомогательные функциональные задачи для симметричного случая103Задача 4. Найти функции 1+ (),+2 (), −1 (), −2 (), регулярные на всей комплекснойплоскости с разрезами 1 и 2 , такие что∙ функция − регулярна в нижней полуплоскости;∙ функция + регулярна в верхней полуплоскости;∙ функции´0 ≡ −()(− + + ) ( − ())(4.89)на всей комплексной плоскости;∙ функции + , − , ´0 удовлетворяют сформулированным ниже условиям роста (4.90),(4.91), (4.92), (4.93).Условия роста для данной функциональной задачи имеют следующий вид:+ () = ,2 + ( −1 ),Arg[−/2 ] ≤ /2,(4.90)− () = ,1 − + ( −1 − ),Arg[/2 ] ≤ /2,(4.91)´0 () = −,1 − + ( −1 − ),Arg[−/2 ] ≤ /2,(4.92)´0 () = −,2 + ( −1 ),Arg[/2 ] ≤ /2.(4.93)Запишем решение функциональной задачи в виде матрицы⎞⎛−1 () +1 ()⎠.V() = ⎝22− () + ()(4.94)Используя представления схожие с (4.87), можно показать, что Задача 4 имеет единственноерешение.4.13.3.
Формула расщепленияРассмотрим антисимметричный случай. Пусть столбец (− , + )является решениемЗадачи 1 и U() является решением Задачи 3 в матричной форме (4.86). Подберем функции1 () и 2 (), такие что⎛(− (), + ()) = (1 (), 2 ()) ⎝−1 ()+1 ()−2 ()+2 ()⎞⎠.(4.95)Используя правило Крамера имеем1 =1,2 =2,(4.96)104где⃒⃒⃒ − () + ()1 = ⃒⃒⃒ −2 () +2 ()⃒⃒⃒⃒,⃒⃒⃒⃒ 1⃒ − () +1 ()2 = ⃒⃒⃒ − () + ()⃒⃒⃒⃒.⃒⃒(4.97)Определитель был вычислен в разделе 4.13.1 (см. формулу 4.88). Определители 1 ,2 могут быть исследованы по аналогии с , а именно существует два представления длякаждого определителя, позволяющие проанализировать их поведение в нижней и верхнейполуплоскости:⎛1 = −( − ()) ⎝⎛2 = −( − ()) ⎝− ´0−2´02−1´01− ´0⎞⎛⎠ = −( − ()) ⎝⎞⎛⎠ = −( − ()) ⎝´0 +´02 +2´01 +1´0 +⎞⎠,(4.98)⎞⎠.С помощью данных представлений и теоремы Лиувилля легко видеть, что)︁(︁√︀22 − 0 − 1 ,1 = − *(︁)︁√︀ − 02 − 22 =2 , − *(4.99)(4.100)(4.101)где 1 , 2 – некоторые константы.
1 , 2 могут быть получены путь вычисления полюсовопределителей 1 , 2 в точке = * . Вычеты в полюсах могут быть вычислены с помощью(4.98), (4.99) или с помощью (4.100), (4.101). Сравнивая эти представления, получим√︁√︁222´(4.102)1 = 0 − * 0 (* ), 2 = − 02 − *2 ´01 (* ).Подставляя 1 и 2 в (4.97) получим формулу расщепления:)︁(* ) (︁ ´ 1´0 (, * ) =0 ()´02 (* ) − ´01 (* )´02 () . − *(4.103)В соответствии с формулой расщепления можно сконцентрировать усилия на поиске решенияЗадачи 3, а именно на поиске функций 0 (), = 1, 2.Аналогичным образом выводится формула расщепления для´0 (, * ) =симметричного случая:(︁)︁2121´´´´ (* )0 () − 0 ()0 (* ) .( − * ) 0(4.104)4.14. Формулировка матричной задачи Римана—Гильберта длявспомогательных функциональных задачСформулируем матричную задачу Римана—Гильберта для антисимметричного случая.105Сделаем несколько предварительных шагов.
Рассмотрим разрезы 1 и 2 (см. Рис. 1.2,левый). Значения на левых берегах разреза (от ±0 до ∞) будем обозначать величинами снижним индексом ; значения на правых берегах – величинами с нижним индексом .Рассмотрим обходы вокруг ±0 , идущие от точек левого берега к точкам правого берега, т. е. обходы в положительном направлении. Текущая задача заключается в описаниипреобразований матрицы U в результате таких обходов. А именно, докажем чтогдеU () = U () M1 (), ∈ 1 ,(4.105)U () = U () M2 (), ∈ 2 ,(4.106)⎛M1 () = ⎝⎛M2 () = ⎝1⎞2/( − )0 ( + )/( − )( + )/( − ) 02/( − )1Аналитическое продолжения квадратного корня () ≡⎠,(4.107)⎞⎠.(4.108)√︀02 − 2 на разрезах 1,2 определяется следующим образом. Положим в точке = 0 квадратный корень равным 0 . Теперь,продолжим корень аналитически по траекториям, изображенным на Рис.
4.9 (правый). Этитраектории идут от нуля до левых берегов разрезов 1,2 . Значения квадратного корня на 1,2определяются в результате данного аналитического продолжения. Значения, полученные налевых берегах разрезов, подставляются в M1,2 .Рис. 4.9.
(левый) Обходы вокруг 0 и −0 . (правый) Аналитическое продолжение квадратного корняДокажем (4.106). Рассмотрим контур 2 , связанный с матрицей M2 . Продолжим функциональное уравнение (4.59) следующим образом:(− ()) = −+ () − ( − ()) ´0 (),(4.109)106(− ()) = −+ () − ( + ()) ´0 ().(4.110)Далее имеем(− ()) = + () 2() (− ()) + ().
− () − () +´0 не имеют ни индекса , ни , так как они не меняют своегоОтметим, что функции + and значения в результате рассматриваемого обхода. Таким образом, доказана справедливостьвыражений (4.106) и (4.108). Аналогичным образом доказываются (4.105) и (4.107).Переформулируем условия роста (4.84) и (4.85) с помощью (4.59):− = ,1 (−/2 )1/2 − + ( −1/2 − ),+ = ,2 (/2 )1/2 + ( −1/2 ),Arg[−/2 ] ≤ /2,(4.111)Arg[/2 ] ≤ /2.(4.112)Оба выражения непосредственно связаны с аналитическим продолжением вдоль траекторий,изображенных на Рис.
4.9.Наконец, матричная задача Римана—Гильберта для U может быть сформулирована:Задача 5. Найти матричную функцию U(), элементы которой даются выражением(4.86), такую что∙ она регулярна на комплексной плоскости с разрезами 1,2 ;∙ она удовлетворяет функциональным уравнениям (4.105), (4.106) с коэффициентами(4.107), (4.108) на разрезах;∙ она удовлетворяет условиям (4.82), (4.83), (4.111), (4.112);∙ функции + () + − (), = 1, 2 имеют нули при = ′ ≡√︀02 + 2 ;∙ функции ± растут не быстрее константы вблизи точек ±0 .Четвертое условие (затрагивающее нули в ± ′ ) трудно учесть, поэтому ниже оно будет√︀исключено. Рассмотрим риманову поверхность функции 02 − 2 , разрезанную вдоль линий1,2 .
Поверхность состоит из двух листов. Будем называть физическим листом тот, которому√︀√︀принадлежит точка 02 − 02 = 0 . Рассмотрим функцию − 02 − 2 на этой поверхности. Отметим, что эта функция имеет нули только на одном листе. Если нули принадлежатфизическому листу, деформируем контуры 1,2 так, что:∙ концевые точки остаются неизменными;∙ контур 2 остается симметричным относительно нуля контуру 1 ;107∙ нули − √︀02 − 2 перестают принадлежать физическому листу.Пример такой деформации представлен на Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
