Диссертация (1103995), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Более того, параболическое приближение дает результаты, близкие к точным, ина границе его области применимости. На Рис. 4.4 представлены результаты численного моделирования при 0 = 200, = −10, in = 0.3 , т.е. из трех условий хорошо выполнено√︀√только условие ≫ 1, а 4 0 in ∼ 1 и || /0 ∼ 1. Несмотря на это, формула (4.28) даетхорошее совпадение с точным решением. На Рис. 4.5 представлены результаты моделирования при 0 = 200, = −30, in = 0.3.
Как и следовало ожидать, с увеличением значенияимпеданса точность параболического решения падает.4.10. Рассмотрение задачи в точной постановке. СимметризацияВернемся к задаче для уравнения Гельмгольца (см. раздел 4.1).Вследствие того, что импедансы обеих сторон полосы равны, задача может быть разделена на симметричную и антисимметричную:˜sc (, ) = a (, ) + s (, ),(4.44)93706050k0 |S(θ, θ in )|403020100-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5θРис. 4.4. Модуль диаграммы направленности при 0 = 200, = −10, in = 0.3.
Сплошная линия соответствует результатам точного счета, прерывистая — результатам вычисления с помощьюформулы (4.28)706050ink0 |S(θ, θ )|403020100-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5θРис. 4.5. Модуль диаграммы направленности при 0 = 200, = −30, in = 0.3. Сплошная линия соответствует результатам точного счета, прерывистая — результатам вычисления с помощьюформулы (4.28)94гдеa (, ) = −a (, −),s (, ) = s (, −)– симметричная и антисимметричная составляющая поля.Падающая волна также симметризуется:1in,s = [exp{0 ( cos in − sin in )} + exp{0 ( cos in + sin in )}],21in,a = [exp{0 ( cos in − sin in )} − exp{0 ( cos in + sin in )}].2Задачи для a и s могут быть сформулированы как задачи со смешанными граничнымиусловиями в полуплоскости > 0.
Граничные условия для a следующие:[︂]︂− a (, +0) = 0 sin in exp{0 cos in }|| < ,a (, 0) = 0,(4.46)|| > .Для s имеем следующие граничные условия:]︂[︂− s (, +0) = exp{0 cos in } s (, +0) = 0,(4.45)|| < ,(4.47)(4.48)|| > .Ниже симметричная и антисимметричная задачи исследуются по отдельности (параллельно). В обоих случаях исследуется поле только в верхней полуплоскости ( > 0).Диаграмма направленности рассеяного поля является суммой симметричной и антисимметричной частей:˜ in ) = s (,˜ in ) + a (,˜ in ),˜ ,((4.49)где последние две величины определены аналогично с (4.6).4.11.
Локальное поведение поля вблизи вершинyr-r+f-af+aРис. 4.6. Локальные координатыx95Пользуясь условиями Мейкснера (условиями конечности энергии), выпишем локальноепредставление поля вблизи вершин (ряд Мейкснера). Введем локальные цилиндрическиекоординаты (± , ± ) (см. Рис. 4.6). Рассмотрим полное поле вантисимметричном случае,т.е. рассмотрим функцию = a + in,a .
Ряд Мейкснера для антисимметричной части поляимеет вид [106](, ) =∑︁ ∑︁(4.50)(0 ) log (0 ), (),±где = ± , = ± , , () = ,(± ). Данный ряд подставляется в уравнение Гельмгольцаи в граничные условия. Кроме того, некоторые члены данного ряда являются запрещенными в соответствии с условием Мейкснера, сформулированном выше. В результате имеемследующее асимптотическое разложение поля = (0 )1/2 sin(/2) −−Теперь рассмотрим2(0 )3/2 cos(3/2)302(0 )3/2 log(0 ) sin(3/2) + (log2 (0 )(0 )5/2 ).30симметричный случай, т.
е. функцию = +sin,s(4.51). Имеем следующуюасимптотику:=− log(0 ) cos() + sin() + ((0 )2 log2 (0 )).0 (4.52)Отметим, что константы и в (4.51) и (4.52) остаются неопределенными. Кроме того,обе константы принимают разные значения на разных вершинах, т.е. всего имеется четыренезависимых константы ± и ± .4.12. Вывод функциональной задачи Винера—Хопфа—Фока4.12.1. Антисимметричный случайРассмотрим область Ω, изображенную на Рис.
4.7. Область Ω ограничена осью , двумямалыми дугами (радиуса → 0), опоясывающими вершины, и большим полукругом радиуса → ∞. Рассмотрим пару решений уравнения Гельмгольца (1.1) в Ω. Первое решение – a(антисимметричная часть рассеяного поля), второе – уходящая плоская волна : = (, , ) = exp { ( + ())} ,√︁() ≡ 02 − 2 ,(4.53)(4.54)где – действительное число. Ветвь квадратного корня выбирается так, что при || < Re[0 ]значения квадратного корня близки к положительным действительным.
По непрерывности,96значения квадратного корня при || > Re[0 ] близки к положительным мнимым (действительная ось проходит под точкой 0 в соответствии с принципом предельного поглощения).Отметим, что является решением уравнения Гельмгольца при любом значении параметра . Применим теорему Грина к этой паре функций в области Ω:nRWWeyen-ax aРис.
4.7. Контур ΩZ [︂]︂a a− = 0.(4.55)ΩТак как рассеяное поле a удовлетворяет условиям излучения, интеграл по большой дугестремится к нулю при → ∞. Интегралы по малым дугам стремятся к нулю при → 0 всоответствии с локальными асимптотиками поля вблизи вершин. Остается интеграл вдоль.Введем величины:−Zˇ− () =[︂−]︂Za aa (, +0) − = ,−∞ˇ0 () =Z [︂(4.56)−∞]︂a (, +0)(, +0) a(, +0) − (, +0) ,(4.57)−ˇ+ () =∞Z [︂∞]︂Zaa (, +0) a− = .(4.58)В соответствии с (4.55) выполняется следующее функциональное уравнение для всех действительных :ˇ− () + ˇ0 () + ˇ+ () = 0.Выражение (4.57) может быть преобразовано с помощью (4.45):Zˇ0 () = ( − ())a (, +0) +−(4.59)970 sin in(exp{( − * )} − exp{−( − * )}) , − *(4.60)где* = −0 cos in .Определим величины0 sin in− () ≡ ˇ− () −exp{−( − * )} − *(4.61)Za (, +0) 0 () ≡ ( − ())(4.62)−+ () ≡ ˇ+ () +0 sin inexp{( − * )}.
− *(4.63)В соответствии с (4.59) новые функции удовлетворяют уравнению− () + 0 () + + () = 0.(4.64)ˇ , = −, 0, + являются Фурье-образами, взятыми по некоторой части дейФункции ствительной оси. Таким образом, могут быть использованы стандартные теоремы для анаˇ и, следовательно, функций :лиза функций Свойство 1. Функция − (),определенная с помощью (4.61) и (4.56), может бытьаналитически продолжена с действительной оси в нижнюю полуплоскость , включающуюточку = −0 , и является регулярной во всех точках нижней полуплоскости, кроме точки = * , где она имеет полюс.
В этом полюсе функция − имеет вычет, равный −0 sin in .Свойство 2. Аналогично, функция + (),определенная с помощью (4.63) и (4.58),может быть аналитически продолжена в верхнюю полуплоскость, включающую точку = 0 ,и является регулярной во всех точках верхней полуплоскости.Свойство 3. Функция´0 () = ( − ())−1 0 ()(4.65)является регулярной на всей комплексной плоскости .Свойство 4. Применяя лемму Ватсона [104] к интегральным формулам (4.56), (4.57),(4.58) получим следующие оценки роста при || → ∞ в области априорной регулярностинеизвестных функций:+ () = ( −1/2 ),Arg[−/2 ] ≤ /2,(4.66)− () = ( −1/2 − ),Arg[/2 ] ≤ /2,(4.67)0 () = ( −1/2 − ),Arg[−/2 ] ≤ /2,(4.68)980 () = ( −1/2 ),Arg[/2 ] ≤ /2,(4.69)Введем разрезы 1 и 2 , идущие от −0 и 0 к бесконечности (см. Рис.
4.8). Разрезы идут√︀вдоль линий, соответствующих значениям квадратного корня ± 02 − 2 при действительных . Легко видеть, что функция 0 может быть продолжена на всю плоскость с разрезамиРис. 4.8. Разрезы 1 и 21 и 2 . Кроме того, с помощью выражений− () = −0 () − + (),+ () = −0 () − − ()функция − может быть продолжена на всю комплексную плоскость с разрезом 2 , а функция + может быть продолжена на всю комплексную плоскость с разрезом 1 .
Более того,можно построить риманову поверхность функций (− , + , 0 ) и показать, что все точки ветвления имеют второй порядок и координату ±0 .С помощью описанных выше свойств можно сформулировать функциональную задачудля функций ± :Задача 1. Найти функции + (),− (), регулярные на комплексной плоскости с разрезами1 и 2 , такие что∙ функция − регулярна в нижней полуплоскости за исключением полюса = * , вкотором она имеет вычет, равный −0 sin in ;∙ функция + регулярна в верхней полуплоскости;∙ Функция ´0 () ≡ ( − ())−1 0 () регулярна на всей комплексной плоскости (здесьфункция 0 определена как 0 ≡ −(+ + − ));∙ функции + , − , ´0 удовлетворяют условиям роста (4.66), (4.67), (4.68), (4.69).99После того, как функциональная задача сформулирована, можно забыть о первоначальной природе неизвестных функций и исследовать функции + (), − (), являющиеся решением Задачи 1.Допустим, что решение функциональной задачи найдено.
Опишем процедуру, устанавливающую связь между решением функциональной задачи и антисимметричной частью диа˜ in ). Применим теорему Грина (4.55) к области Ω с функциямиграммы направленности a (,a и in,a (, ). Интеграл по большой полуокружности стремится к константе, связанной сдиаграммой направленности, и может быть вычислен с помощью метода перевала. В результате получается следующее выражение:˜ in ) = sin ˜ ´0 (−0 cos()).˜ a (,(4.70)´0 неявным образом зависит от in .Отметим, что 4.12.2.
Функциональная задача в симметричном случаеВ симметричном случае, аналогично с (4.61), (4.62), (4.63) введем функции − (), + (),0 ():−Zexp{}s (, +0) −− () =−∞Z ( − ())0 () =()exp{−( − * )}, − *s (, +0)exp{},(4.71)(4.72)−∞Zexp{}s (, +0) ++ () =exp{( − * )}. − *(4.73)Выполняется следующее функциональное уравнение:− () + 0 () + + () = 0.(4.74)Условия роста имеют вид:+ () = ( −1 ),Arg[−/2 ] ≤ /2,(4.75)− () = ( −1 − ),Arg[/2 ] ≤ /2,(4.76)0 () = ( −1 − ),Arg[−/2 ] ≤ /2,(4.77)0 () = ( −1 ),Arg[/2 ] ≤ /2.(4.78)Функциональная задача для функций ± может быть сформулирована следующим образом:100Задача 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
