Диссертация (1103995), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Для этого запишем его в следующем виде:1 (1 , 2 ) =2∞Z(︃exp {0 (1 − 2 )1 } erfc(︁1 )︁2 +2√︂0 )︃1 ,(4.30)0где erfc() – дополнительная функция ошибок (см. определение (2.88)). Интегрируя (4.30) почастям, получим120 (1 − 2 )(︃ (1 , 2 ) =(︃ √︂(︃ √︂)︃)︃)︃0 0 22exp{−0 1 }erfc 1− exp{−0 2 }erfc 2.(4.31)Формулы (4.28) и (4.31) дают выражение диаграммы направленности в однократных квадратурах. Это и есть приближенное решение задачи дифракции на импедансном отрезке припадении под малым углом в параболическом приближении. Отметим, что это решение имеетрасщепленный вид, то есть все функции, кроме элементарных, зависят только от или отin .4.6.
Оптическая теорема для параболической задачиВажным инструментом проверки решения дифракционной задачи служит оптическаятеорема, связывающая полное сечение рассеяния и амплитуду рассеяния вперед. Появлениеотрицательных величин в полном сечении рассеяния должно свидетельствовать о неправильности решения. Кроме того, полное сечение рассеяния является важной характеристикой дифракционного процесса. Ниже будет введено понятие полного сечения рассеяния и выведенаоптическая теорема для параболического уравнения.Будем называть полным сечением рассеяния величинy∞Z|sc (, )|2 ,Σ=(4.32)−∞вычисленную для некоторого справа от рассеивателя. Пользуясь формулой (0.3), легкопоказать, что результат вычисления данного интеграла не зависит от , при Im[] → 0. Этоследует из равенства Парсеваля и того факта, что модуль Фурье-образа функции (, ) тождественно равен 1.
С помощью (4.21), принимая во внимание равенство Парсеваля, сечение88Рис. 4.2. Область интегрирования Ω для вывода 4.35рассеяние может быть выражено через диаграмму направленности:0Σ=2∞Zin|(, )|2 .(4.33)−∞Приступим к выводу оптической теоремы. Выразим коэффициент рассеяния вперед (−in , in )через поле на сторонах отрезка. Применим теорему Грина параболического уравнения (см.Главу 1, раздел 1.2.7, утверждение 1.1) c функциями = sc , = ¯in по области Ω, изображенной на Рис. 4.2. Здесь ¯in – комплексно сопряженная плоская волна:{︂}︂(in )2inin¯ = exp 0 + 0 .2(4.34)После несложных алгебраических преобразований получим:20 (−in , in ) =ZZ[(, +0) + (, −0)] ¯in − 0 in−[sc (, +0) − sc (, −0)] ¯in .(4.35)−Здесь были учтены условия излучения, граничные условия (4.3), формула (0.3), и были взятыпределы → 0 и → ∞.Аналогичным образом можно получить комплексно сопряженное выражение:in in¯20 (−, ) =89Рис.
4.3. Область интегрирования Ω для вывода оптической теоремыZZin− ¯[¯(, +0) + ¯(, −0)] − 0 in−[¯sc (, +0) − ¯sc (, −0)] in .(4.36)−Далее, применим теорему Грина с функциями = sc , = ¯in по области Ω, изображеннойна Рис. 4.3. Устремляя → 0 и → ∞, принимая во внимание условия излучения и тотфакт, что рассеянное поле слева от полосы равно нулю, а также учитывая формулы (4.35)и (4.36), получим:Zinin(︀)︀|(, +0)|2 + |(, −0)|2 Σ = −2Re[(− , )] + 2Im[](4.37)−Таким образом, оптическая теорема доказана. Второй член в формуле (4.37), взятый со знаком минус, называется сечением поглощения и представляет собой энергию, поглощеннуюполосой. Сумма сечения поглощения и полного сечения рассеяния называется сечением экстинкции (см. [102, 103]).904.7.
Поверхностная волна, бегущая вдоль отрезкаВернемся к форме решения (4.24) и (4.26). ЧленZ0sp1 (, ){︀in 2}︀= exp 0 ( ) /2−∞2exp{− ′ }( + , − ′ ) ′in − 0 отвечает за поверхностную волну и поверхностную полутень (т. е. зону формирования поверхностной волны) в области − < < , > 0. Перепишем его в виде{︀}︀exp 0 (in )2 /2 ×in − 0 [︃ √︃]︃}︂{︂ 2 ( + )+ erfc −(0 − ( + ))× exp 2020 ( + )sp1 (, ) =(4.38)Для простоты будем считать, что Im[] = 0. Рассмотрим случай Re[] < 0. Таким образом, рассматривается не поглощающая энергию граница, представляющая собой сосредоточенную массу.
Также будем считать, что |0 | ≪ |( + )|, т. е. будем анализировать полевблизи отрезка. Для функции erfc(z) справедлива асимптотическая формула:⎧⎪⎨2 + −2 /( √),Re[] → −∞,erfc(z) =⎪⎩−2 /( √),Re[] → ∞.(4.39)Константа в этой формуле связана с вкладом от перевальной точки [104]. При положительных импедансах контур интегрирования в (4.39) проходит через точку перевала и, следовательно,sp1 (, ){︂ 2}︂{︀}︀2 ( + )in 2exp 0 ( ) /2 exp ≈+ + − 0 in2{︀}︀2+exp 0 (in )2 /2 ( + , ).in − 0 (4.40)Первый член в (4.40) представляет собой поверхностную волну, а второй – краевую волну,убывающую как ( + )−1/2 вдоль полосы.
При Re[] > 0 (сосредоточенная упругость) следует пользоваться второй асимптотикой из (4.39), т. е. в выражении для поля присутствуеттолько краевая волна, а поверхностная волна не возбуждается. При ( + ) ∼ 0 / 2 имеемпереходную область между асимптотиками – зону полутени. Длина полутени вдоль оси имеет порядок 0 / 2 .4.8. Случай идеальных граничных условийВ случае идеальных граничных условий формула (4.28) сильно упрощается. Будем обозначать символом диаграмму направленности в случае граничных условий Неймана, а в91случае граничных условий Дирихле – символом .
Тогда решение может быть записано вследующем виде:^ in ) ∓ (−,^ , = (,in )(4.41))︀{︀}︀ (︀^ in ) = − exp 0 (in )2 /2 + 0 2 /2 (−, in ) + (, −in )(,(4.42)Верхний знак в (4.41) соответствует граничному условию Неймана, нижний — Дирихле.Симметричность формулы (4.41) связана с тем, что в случае идеальных граничных задача дифракции может быть сведена с помощью метода отражений к задаче дифракции на^ in ).
Решение данной задаразветвленной поверхности, с диаграммой направленности (,чи строится в Приложении А с помощью метода формулы расщепления. Метод формулырасщепления также приводит к формулам (4.41, 4.42).Необходимо отметить, что построенное решение (4.41, 4.42) совпадает с решением, полученным в [42], с точностью до замены sin → ,cos → 1, справедливой для малыхуглов падения и рассеяния. Это достаточно удивительный факт, поскольку автор [42] пользовался совершенной другой техникой (комбинацией геометрической и физической теорийдифракции), а также прибегал к весьма искусственному приему для получения формулы,удовлетворяющей теореме взаимности.
Метод, использованный в [42], существенно «тоньше»метода, использованного в настоящей работе, поскольку ГТД и ФТД позволяют правильнонаходить диаграммы направленности краевых волн, рассеянных под любыми углами. В тоже время, явным достоинством метода параболического уравнения является простота описания полутеневых зон.
Кроме того, формулы (0.3,4.14-4.17) позволяют при необходимостибез труда выписать равномерную асимптотику поля. Методы ГТД и ФТД позволяют строить приближенные решения точно поставленной задачи дифракции, в то время как методпараболического уравнения позволяет получить точное решение приближенно поставленнойзадачи.Посчитаем полное сечение рассеяния в идеальном случае. Вычисляя (4.41) в точке(−in , in ) и устраняя неопределенности, получим:{︀}︀ 1 √︀40 , (−in , in ) = − exp 0 (in )2 − ( 20 in ∓ √)×220 in(︃(︃)︃(︃ √︂)︃)︃√︂00× erfc −in− erfc in.(4.43)Как и раньше, верхний знак соответствует граничным условиям Дирихле, нижний – граничным условиям Неймана.
Подставляя (4.43) в (4.37) и вычисляя действительную часть,√легко получить выражения для сечений рассеяния. При малых значениях in сечение92рассеяния в случае условий Неймана стремится к нулю. В случае условий Дирихле, при ну√︀левом угле падения, имеем Σ = 4 2/0 . Данный результат совпадает с первым членомиз разложения, полученного в [105].4.9. Численная проверка формулы (4.28)Для проверки корректности результатов, полученных выше, было произведено численное моделирование.
Сравнение производилось с решением, полученным с помощью методаграничных интегральных уравнения (см. Приложение Г).Известно, что параболическое приближение хорошо работает при√40 in ≪ 1 и 0 ≫ 1[100]. Первое условие следует из того факта, что при переходе к параболическому прибли˜ 2 /2. Таким образом, реальный набег фаз волн, дифрагирожению cos ˜ заменяется на 1 − ()ванных на полосе, отличается на величину порядка 0 ˜4 . В случае импедансных граничных√︀условий также важным параметром является число || /0 . В параболическом приближении учитываются только волны, бегущие слева направо, то есть не учитывается поверх√︀ностная волна, отраженная от вершины (, 0). При || /0 ≪ 1 поверхностная волна неуспевает развиться, и вкладом от отраженной волны можно пренебречь.Было проведено множество численных экспериментов в диапазоне параметров, удовлетворяющих этим ограничениям, и везде формула (4.28) давала хорошее совпадение с точнымрешением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
