Диссертация (1103995), страница 13
Текст из файла (страница 13)
ВведемматрицуṼ(, ) ≡ Π( * )A(0 ,√︀(3.54) 2 + 2)Π−1 ( * ).Для этой матрицы перепишем уравнение (3.53) как√︀Ṽ(, ) = Ṽ(, )Π( * )C̃( 2 + 2)Π−1 ( * ),(3.55)где√︀C1 √︀ 2C̃( 2 + 2) = −( + 2).Уравнение (3.55) является спектральным уравнением.Выведем OE—уравнение. С учетом областей аналитичности матриц K−1+ и K− , а такжеучитывая (3.54) запишем эти функции как*K− (, in ) = OER1 [Π( )C̃(√︀2 + (( in )2 − 2 )/0 )Π−1 ( * )](3.56)√︀2 + (( in )2 − 2 )/0 )Π−1 ( * )](3.57)inR*K−1+ (, ) = OE2 [Π( )C̃(Контур 1 идет из бесконечности в точку вдоль положительной действительной полуоси,контур 2 также идет в точку , но вдоль отрицательной действительной полуоси. Учитывая(3.54), (2.39) и (2.41), а также принимая во внимание функциональное уравнение K() =K− ()K+ () получаем⎛*OER [Π( )C̃(√︀2 + 2)Π−1 ( * )] = ⎝1− exp {−}− exp {−}1⎞⎠.(3.58)Здесь контур = 1 + (−2 ) представляет собой действительную ось, проходимую в отрицательном направлении как и в (2.48).
OE—уравнение (3.58) переходит в OE—уравнение (2.48)при = .3.6. Основные результаты главы1. Для задачи дифракции на решетке, состоящей из поглощающих экранов разной высоты, была сформулирована функциональная задача Винера—Хопфа—Фока в параболическом приближении. Было построено формальное решение функциональной задачи.2. Путем анализа формального решения задачи было показано, что коэффициент генерации главного дифракционного максимума 0 стремится к −1 при угле падения стремящемся к 0.813. Спектральное уравнение и ОЕ—уравнение были получены непосредственно из функциональной задачи Винера—Хопфа—Фока.82Глава 4Дифракция на импедансной полосе4.1. Постановка задачиРассмотрим двумерную плоскость (, ).
Полоса занимает отрезок = 0, − < < (Рис. 0.1). На всей плоскости вне полосы выполняется уравнение Гельмгольца (1.1). Как ираньше, будем предполагать, что 0 обладает маленькой положительной мнимой частью всоответствии с принципом предельного поглощения. Зависимость от времени выбрана такимобразом, что волна, распространяющаяся в положительном направлении оси , имеет вид0 .
Полное поле представляется в виде суммы падающей плоской волны ˜in и рассеяногополя ˜sc :˜ = ˜in + ˜sc ,(4.1)˜in = exp{0 cos in − 0 sin in )}.(4.2)гдеЗдесь in - угол падения, принимающий значения 0 < in < /2.Полное поле должно быть непрерывным и удовлетворять на полосе граничным условиям± ˜(, ±0) = ˜(, ±0),− < < .(4.3)Здесь - импеданс полосы.
Закон сохранения или диссипации энергии требует выполненияследующего условия:Im[] ≤ 0.(4.4)Полное поле должно удовлетворять условиям Мейкснера около вершин (±, 0). А именно, “энергия” (интеграл от линейной комбинациии величин |∇˜|2 и |˜|2 ) должна быть конечнав любой ограниченной области вблизи вершин.Рассеянное поле также должно удовлетворять условиям излучения Зоммерфельда:(︂ sc)︂ ˜sc− 0 ˜= (0 (0 )−1/2 ),(4.5)√︀где = 2 + 2 . Таким образом, рассеяное поле может быть записано в виде:√︂0 0 ˜ in )˜ ,˜sc (, ) = (+ (0 (0 )−1/2 ).(4.6)2˜ in ) – диаграмма направленности рассеяного поля.˜ ,Здесь ˜ = arctan(/), (˜ in ).˜ ,Требуется найти диаграмму направленности (834.2.
Переход к параболическому приближениюПерейдем к рассмотрению дифракции высокочастотной волны при скользящем падении,то есть будем считать, что выполняются следующие условия:in ≪ 1.0 ≫ 1,(4.7)Рассматривается волновой процесс, при котором волна распространяется почти параллельнооси , а ее угловой спектр достаточно узок. При этом справедливо параболическое приближение [100]. Переход к параболическому приближению осуществляется следующим образом.Полное поле представляется в виде (1.10), а уравнение Гельмгольца заменяется параболическим уравнением (0.2).Падающая волна в параболическом приближении дается формулой (0.14).
Построим параболический аналог выражения (4.6). При фиксированных и 0 на большом расстоянииот полосы рассеянное поле представимо в виде (0.16). Будем называть (, in ) диаграммойнаправленности параболической задачи. Сравнивая (0.16) с (4.6), получим связь между диа˜ in ) и (, in ) :˜ ,граммами направленности (˜ in )˜ ,(, in ) ≈ ((4.8)Приближенный характер формулы связан с тем, что параболическое приближение справедливо только для узкой области углового спектра. Более того, формула ≈ ˜ выполняетсялишь для малых углов.4.3. Рассмотрение задачи с импедансными граничными условиямиметодом Г. Д. МалюжинцаВ монографии [101] был разработан метод, позволяющий сводить задачи с импедансными граничными условиями к задачам с условиями Дирихле.
В нашем случае метод Г. Д. Малюжинца может быть изложен следующим образом. Вместо поля (, ) рассматриваетсяполе(︂(, ) = ± [(, )] ≡)︂±− (, ).(4.9)Верхний знак для поля берется в верхней полуплоскости, а нижний – для поля в нижней.Операторы коммутируют с оператором параболического уравнения, т.е. результат удовлетворяет параболическому уравнению.
В силу (4.3) (, ) на границе удовлетворяет условиямДирихле:(, 0) = 0,− < < .84Рис. 4.1. Геометрия областей 0 , 1 , 2 , 3Таким образом, необходимо найти решение задачи дифракции для полосы с граничнымиусловиями Дирихле, а потом применить к полученному решению обратный оператор. Отметим, что необходимо отдельно искать обратный оператор +−1 в полуплоскости > 0 иобратный оператор −−1 в полуплоскости < 0.Вместо непосредственного вычисления обратных операторов, пойдем более простым путем – подберем решение, удовлетворяющее всем необходимым условиям.4.4.
Решение параболического уравненияНапомним основные свойства параболического уравнения. Во-первых, в силу того, чтов (0.2) стоит первая производная по , параболическое уравнение описывает только волны,распространяющиеся слева направо. Во-вторых, в любой области ′ < < ′′ без препятствийполе описывается интегральной формулой (0.3).
Таким образом, если будет определено поле(, ) на прямой = , ∞ > > −∞, задача будет решена. Естественно разбить плоскостьна четыре области. Назовем поле в области ∞ > > −∞, −∞ < ≤ − символом 0 , полев области ≥ 0, − ≤ ≤ символом 1 , поле в области ≤ 0, − ≤ ≤ символом 2 ,поле в области ≥ символом 3 (см. Рис. 4.1).Поле 0 (, ) представляет собой только падающую плоскую волну (0.14). Поле 1 (, )должно удовлетворять следующим условиям:{︀}︀1 (−, ) = exp 0 ( )2 /2 exp{−0 }, > 0,(︂)︂− 1 (, 0) = 0, − < < ,(4.10)(4.11)85а поле 2 (, ) условиям{︀}︀2 (−, ) = exp 0 ( )2 /2 exp{−0 }, < 0,)︂(︂− 2 (, 0) = 0, − < < ,−(4.12)(4.13)Покажем, что выражения для полей∞Z 2{︀}︀1 (, ) = exp 0 ( ) /21 ( ′ )( + , − ′ ) ′ ,(4.14)2 ( ′ )( + , − ′ ) ′ ,(4.15)−∞∞Z}︀2 (, ) = exp 0 ( )2 /2{︀−∞1 () =⎧{︀}︀in⎪⎨ exp −0 , > 0,{︀}︀ + 0 in2⎪⎩−exp 0 in +exp {} , < 0,in − 0 − 0 in⎧{︀}︀ − 0 in2⎪in⎨−exp+exp {−} , > 0,0in + 0 + 0 in2 () =⎪{︀}︀⎩exp −0 in , < 0,(4.16)(4.17)удовлетворяет условиям (4.10-4.13).
В качестве примера возьмем 1 (, ). Прежде всего,несмотря на наличие экспоненциально растущих множителей, сходимость интегралов обеспечивается малой положительной мнимой частью и, как следствие, сверэкспоненциальным убыванием функции Грина (0.4). Условие (4.10) гарантируется первой строчкой (4.16) инепрерывностью по сверточной формулы (4.14). Перейдем ко второму условию. Применимоператор + к (4.14). Заметим, что оператор + коммутирует с интегральным оператором,т. е.∞Z}︀+ [1 (, )] = exp 0 ( )2 /2{︀(︂)︂2 ( ′ )′− 2 ( ) ( + , − ′ ) ′ . ′(4.18)−∞Далее,⎧{︀}︀⎪⎨−( + 0 in ) exp −0 in ,2 ()− 2 () =⎪⎩in{︀in}︀( + 0 ) exp 0 , > 0,(4.19) < 0.Функция 1 непрерывна, поэтому (4.19) не содержит дельта-функции.
Функция (4.19) нечетна, поэтому∞Z(︂)︂2 ( ′ )′− 2 ( ) (, 0 − ′ ) ′ = 0.′(4.20)−∞Следовательно поле 1 (, ) удовлетворяет условию (4.11). Формулы (4.14-4.15) дают представления полей 1 и 2 . Используя полученные значения на линии ′ = , можно вычислитьполе 3 по формуле (0.3).864.5. Вычисление диаграммы направленности в параболическомприближенииДиаграмма направленности может быть вычислена по формуле∞Z}︀(, in ) = exp 0 2 /2sc (, ) exp{−0 }.{︀(4.21)−∞Последнее выражение следует из (0.3).
Покажем это. Поле sc (, ) при > записываетсякак∞Zsc (, ′ )( − , − ′ ) ′ =sc (, ) =−∞√︃∞Z02( − )sc{︂′ (, ) exp0 ( − ′ )22( − )}︂ ′ ≈−∞√︂exp2{︂}︂ ∞{︂}︂Z 20 ′ 0 ( ′ )22sc′+ 0 /2 (, ) exp −+ ′ .22(4.22)−∞В последнем выражении перейдем к пределу при больших , при постоянном = /.Получим (0.16) с диаграммой (4.21).Выделим в 1 и 2 рассеянные компоненты (вычитая in ). Воспользуемся тем, что для2 > 1∞Zin (1 , ′ )(2 − 1 , − ′ ) ′ ,in (2 , ) =(4.23)−∞так как удовлетворяет параболическому уравнению. ТогдаinZ01sc ( ′ )( + , − ′ ) ′ ,(4.24)2sc ( ′ )( + , − ′ ) ′ ,(4.25)}︀in 2sc1 (, ) = exp 0 ( ) /2{︀−∞∞Zsc2 (, ){︀in 2}︀= exp 0 ( ) /20in1sc () = −2sc () = − + 0 2exp{0 in } − exp{−0 in } +exp{},in − − 0 in − 0 in2exp{0 in } − exp{−0 in } +exp{−}.in + 0 + 0 in(4.26)(4.27)Теперь, используя (4.24)-(4.27) и (4.21), можно выписать диаграмму направленности:{︂}︂(in )2 + 2 (︁ + 0 inin− (−, in ) − (−, −in )(, ) = exp 0 in2 − 0 )︁ − 0 in22in− (, − ) − (, ) + (/0 , −) + (−/0 , ) , (4.28) + 0 in − 0 in + 0 inin87где√︂ (1 , 2 ) =04∞ZZ ∞{︂ (︂)︂}︂(1 + 2 )2exp 0 1 1 + 2 2 +1 2 .4(4.29)0 0Вычислим интеграл (4.29).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
