Диссертация (1103995), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Данные ограничения и уравнение (3.15) образуютфункциональную задачу Винера—Хопфа—Фока [9, 99].Правую часть уравнения (3.15) удобно записать в эквивалентной форме:Ψ() + K()U() =⎛r = − ⎝1(K() − I) r, − in1− exp{− * in }(3.19)⎞⎠.(3.20)Для дальнейшего важно, что вектор r не зависит от . Как и раньше, I – единичнаяматрица 2 × 2.Определитель матрицы K равен75{︂}︂( + ) 2in 2det(K()) = 1 − exp −( − ( ) ) .20(3.21)Нули определителя есть = ±0 .
В соответствии с принципом предельного поглощения считаем, что точки 0 принадлежат верхней полуплоскости (т.е. действительнаяось обходит их снизу). Соответственно, точки −0 принадлежит нижней полуплоскости. Вчастности, точка in = ±0 in принадлежит верхней полуплоскости.3.3. Формальное решение функциональной задачиВинера—Хопфа—ФокаОтметим, что общее решение матричной задачи Винера—Хопфа—Фока неизвестно, ив данной работе оно не строится. Вместо этого с помощью метода, предложенного в [9],анализируется коэффициент зеркального отражения 0 при in → 0.Выпишем формальное решение функциональной задачи Винера—Хопфа—Фока [99]. Пустьизвестно разложение на множители (факторизация)K() = K− ()K+ (),(3.22)где K− и K+ — матрицы, неособые и регулярные, соответственно, в нижней и верхней полуплоскости. Более того, мы предполагаем, что K− → I при || → ∞ в нижней полуплоскости,K+ → I при || → ∞ в верхней полуплоскости.
Построение такого разложения составляетосновную проблему решения матричной задачи Винера—Хопфа—Фока.Домножим (3.19) на K−1− :K−1− ()Ψ() + K+ ()U() =)︀1 (︀K+ () − K−1− () r.in−(3.23)Разложим правую часть на векторные функции F+ () и F− (), регулярные и убывающие,соответственно в верхней и нижней полуплоскости:)︀1 (︀−1K()−K()r = F+ () + F− ().+− − in(3.24)В данном случае такое разложение может быть представлено явно:F+ () =)︀1 (︀inK()−K()r++ − in(3.25)F− () =)︀1 (︀in−1K()−K()r+− − in(3.26)76Перепишем уравнение (3.23) в видеK−1− ()Ψ() − F− () = F+ () − K+ ()U()(3.27)В соответствии с логикой метода Винера—Хопфа—Фока замечаем, что левая часть регулярна и убывает в нижней полуплоскости, а правая часть регулярна и убывает в нижнейполуплоскости.
Поскольку левая и правая части представляют собой одну и ту же функцию, применяя теорему Лиувилля, заключаем, что эта функция тождественна ровна нулю.Вследствии этогоK+ ()U = F+ ()(3.28)U = K−1+ ()F+ ().(3.29)иОбратим преобразование Фурье и построим 0 :10 () =2∞Z−(1, 0)K−1.+ ()F+ ()(3.30)−∞Здесь (1, 0) — вектор-строка из двух элементов.Матрица K(k) имеет нули определителя, в частности при = − для всех целых .Эти нули лежат в нижней полуплоскости, а потому достаются множителю K+ . Рассмотримточку = −0 = − in . В этой точке (матричная) функция K−1+ () имеет простой полюс.Обозначим вычет подынтегрального выражения в этой точке как[︀]︀inres (1, 0)K−1= ℎ.+ ()F+ (), = −(3.31)inr − K−1+ ()K+ ( )r, − in(3.32)Заметим, чтоK−1+ ()F+ () =поэтомуℎ=]︀[︀1in(1, 0)res K−1K+ ( in )r.+ , = −in2(3.33)Замкнем контур интегрирования в (3.30) большой дугой в нижней полуплоскости (поскольку экспоненциальный множитель убывает в нижней полуплоскости) и вычислим интеграл с помощью метода Коши (подынтегральная функция имеет только полюса и не имеетточек ветвления).
В результате функция 0 окажется представлена в виде ряда по полюсаминтегрального выражения:0 () = −∑︁[︀]︀exp{0 }res (1, 0)K−1+ ()F+ (), = −0 .(3.34)77Вклад в интеграл, соответствующий вычету в точке = in , есть −ℎ exp{0 0 }. Сравнивая(3.34)c (1.13), получаем(3.35)0 = −ℎ.3.4. Исследование коэффициента отражения в предельном случаеПрименим технику Л. А. Вайнштейна для исследования коэффициента 0 при in → 0.Сложность такого исследования представляют нули определителя матрицы K(), расположенные в = ± in . Представим матрицу K в видеK() = L− ()K̄()L+ (),(3.36)где матрица K̄() регулярна как функция двух переменных при малых и in , в частности,не имеет полюсов при = ± in .
При этом пусть матрица L− () регулярна вместе со своейобратной матрицей в нижней полуплоскости и стремится там к I при больших ||. Соответственно, пусть матрица L+ () регулярна вместе со своей обратной в верхней полуплоскостии стремится там к I при больших ||. Такие матрицы нетрудно подобрать, и ниже это будетсделано.Пусть матрицы K̄− и K̄+ осуществляют факторизацию матрицы K̄, т.е.K̄() = K̄− ()K̄+ ()(3.37)со всеми ограничениями. Тогда, очевидноK− () = L− ()K̄− (),K+ () = K̄+ ()L+ ()Матрицы L− и L+ легко конструируются:⎛⎞⎛⎞⎛⎞in101/( − − )10⎠⎝⎠⎝⎠,L− = ⎝* inin* in0 exp{− }/( − − )10 exp{ }⎛⎞⎛⎞⎛⎞101/( + − )10⎠⎝⎠⎝⎠L+ = ⎝* inin* in0 exp{ }/( + − )10 exp{− }(3.38)(3.39)in(3.40)Поясним структуру матрицы L− .
Центральный множитель подобран так, что:∙ матрица стремится к I при больших ||, определитель стремится к 1;∙ определитель матрицы имеет нули при = in и = 2 + in (оба нуля лежат в верхнейполуплоскости);78В результате умножения матрицы K слева на L−1− не просто приводит к уничтожениюнуля определителя при = in , но и гарантирует регулярность всех элементов произведенияпри этих значениях. Правый множитель нужен для того, чтобы всё произведение стремилоськ I при больших ||.−1Нетрудно явно проверить что матрица K̄() = L−1− ()K()L+ () не имеет особенностейв области малых (по сравнению с ( + )−1 ) значений . Матрицы K̄+ и K̄− при малых значения переменных и in неособые, а при малых значениях этих переменных они описываютсялинейными приращениями, например(3.41)K̄+ () = K0 + K1 + in K2 + .
. . .Вернемся к оценке 0 . Подставим (3.38), (3.39), и (3.41) в (3.33). При этом заметим, чтоinвычет res[K−1+ (), = − ] имеет вид, следующий из (3.38), (3.39), и (3.41):⎛⎞* in1exp{−}⎝in⎠ (K0 + in (K2 − K1 ) + . . .)−1 ,res[K−1+ , = − ] =2 exp{ * in }1а значение K+ ( in ) естьK+ ( in ) = (K0 + in (K2 + K1 ) + . . .)−1 ×⎛⎞1−1 + (−2 + ) + ...⎠×⎝in*−1 + (−2 − ) + ...1in*(3.42)В первом приближении по in выражение (3.33) даетℎ = − + ( in ),(3.43)0 = −1 + ( in ).(3.44)что соответствуетТаким образом, метод Л. А. Вайнштейна дает результат 0 → −1 при in → 0 и вматричном случае.3.5.
Связь метода OE—уравнения и метода Винера—Хопфа—ФокаПокажем, что спектральное уравнение (2.28) и OE—уравнение (2.48), полученные в Главе 2, могут быть выведены непосредственно из функциональной задачи Винера—Хопфа—Фока.Выпишем функциональное уравнение (3.22) в виде:K()K−1+ () = K− (),(3.45)79Заметим, чтоK = Π( * /0 )K̃Π−1 ( * /0 ),(3.46){︁}︁⎞2in )2 )− exp − ( −(20⎠,}︁{︁K̃ = ⎝(2 −(in )2 )1− exp −20(3.47)где⎛1а Π дается формулой (2.20).Все матрицы, участвующие в (3.45), зависят от двух переменных и in . Функциональные ограничения на регулярность и рост формулируются только относительно переменной .
Переменная in выполняет роль фиксированного параметра.При формулировке задачи Винера—Хопфа—Фока (глава 3, раздел 3.2) требовалось чтобы матрицы K− и K+ были регулярны и стремились к I в нижней и верхних полуплоскостяхсоответственно. Более тонкий анализ показывает, что матрица K− при || → ∞ в нижнейполуплоскости и на отрицательной действительной полуоси ведет себя какK− = I +∞∑︁ − C ( in )(3.48)=1с некоторыми неизвестными C . Аналогичное представление справедливо для K−1+ в верхнейполуплоскости и на положительной действительной полуоси. Более того, коэффициент C1быстро убывает с ростом in при 0 < Arg[ in ] < /2 и < Arg[ in ] < 3/2.Введем дифференциальный оператор= + in in . (3.49)Заметим, что[K()] = * (K()Ξ − ΞK()) ≡ * [K(), Ξ],(3.50)где Ξ дается формулой (2.72).
Из (3.45) и (3.50) следует, что*−1−1* −1K+ [K−1+ ] + K+ ΞK+ = K− [K− ] + K− ΞK− .(3.51)Из свойств матриц K−1+ и K− следует, что в правой и левой частях (3.51) стоят регулярныепо переменной матричные функции, растущие на бесконечности не быстрее константы. Потеореме Лиувилля эти матричные функции равны константе на всей комплексной плоскости . Из (3.48) следует, что эта константа равнаP( in ) ≡1 C1+ * Ξ. in inОтсюда матрицы K−1+ и K− удовлетворяют дифференциальному уравнению(︂)︂1 C1 + in in A(, in ) = A(, in ) in in + * [A(, in ), Ξ]. (3.52)(3.53)80Вместо A подставляется K−1+ или K− .Перейдем от переменных (, in ) к переменным (0 = −, 20 = ( in )2 − 2 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
