Диссертация (1103995), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Дляуравнения видаX̃( ) = K̃( )X̃( )(2.38)аналогичным образом можно ввести левую упорядоченную экспоненту OEℎ̃ .Перечислим очевидные свойства упорядоченной экспоненты:∙ Пусть ℎ′ является контуром ℎ, проходимым в обратном направлении. Тогда(︀ )︀−1OE[K()]=OE[K()]′ℎℎ(2.39)(︀)︀−1OEℎ′ [ K( )] = OEℎ [ K( )](2.40)∙ Пусть ℎ является конкатенацией двух контуров ℎ1 и ℎ2 , причем сначала проходитсяконтур ℎ1 , а затем ℎ2 .
ТогдаOEℎ [K( ) ] = OEℎ1 [K( ) ] OEℎ2 [K( ) ] ,(2.41)OEℎ [ K( )] = OEℎ2 [ K( )] OEℎ1 [ K( )] .(2.42)2.7. OE—уравнениеПокажем, что спектральное уравнение (2.28) может быть дополнено двумя условиямипри = +∞ и = −∞:⎛¯0,0 ¯0,1⎞⎛1 0⎞⎠=⎝⎠,¯¯1,0 1,10 1⎛⎞¯0,0 ¯0,1⎠ = T(),lim ⎝→−∞¯¯1,0 1,1lim ⎝→+∞(2.43)(2.44)58где⎞− exp{0 }⎠.T() = ⎝− exp{0 }1⎛1(2.45)Для этого вычислим явно величины ¯0,0 , ¯1,0 , ¯0,1 , ¯1,1 при → ±∞ с помощью (2.29 - 2.32)и (2.33). Действительно˜lim +1,→∞+1Zlim ˜+1, = − exp{0 2 /2}(2.46)= 0,( − 0, ) exp{−0 ( − )} =→−∞−∞(2.47)√−/4= lim − √→−∞+1 − −Z 2/(20 )2κ κ = −1.−∞Учитывая, что ˜, = 1 получаем пределы (2.43) и (2.44) при условии, что все остальныечлены (т.е.
˜, (), > + 1) стремятся к нулю при || → ∞. Это следует из того, что2 - норма членов ˜, (), > + 1 конечна и растет с ростом не более чем степеннымобразом. Подробное доказательство последнего утверждения может быть найдено в [2].Таким образом, функция C() удовлетворяет следующему уравнению:√︀*OE2 + 2) Π−1 ( * )] = T()[Π()C((2.48)для любого при Im[] ≥ 0, контур представляет собой действительную ось, проходимуюв отрицательном направлении. В левой части рассматривается как немая переменная, а как параметр.Уравнение (2.48) будем назвать ОЕ—уравнением.
ОЕ—уравнение представляет собойзадачу подбора неизвестного коэффициента обыкновенного матричного дифференциального уравнения по известным граничным условием. ОЕ—уравнение (2.48) образует однопараметрическое семейство по параметру . Наличие такого семейства позволяет построитьчисленное решение уравнения путем подбора неизвестного коэффициента C() при каждомзаданном значении параметра .2.8. Эволюционное уравнение 1 типаВведем матрицу:⎛D(, * ) = ⎝*0,0 (, ) =∞∑︁=10,0 0,11,0 1,1⎞⎠,{︀}︀0,2 exp 0 (2 − 0 )2 /2 ,(2.49)(2.50)59*1,0 (, ) =∞∑︁{︀}︀0,2+1 exp 0 (2+1 − 0 )2 /2 ,(2.51)}︀{︀1,2+2 exp 0 (2+2 − 1 )2 /2 ,(2.52){︀}︀1,2+1 exp 0 (2+1 − 1 )2 /2 .(2.53)=0*0,1 (, ) =∞∑︁=0*1,1 (, ) =∞∑︁=1Легко видеть, чтоC=1 D.0 (2.54)Утверждение 2.5.
Вектор-строка из диаграмм направленности ( (), ()) удовлетво01ряют следующему обыкновенному дифференциальному уравнению по параметру * :(0 , 1 ) = (0 , 1 )Π( * )D̃(, * )Π−1 ( * ), *где⎛(2.55)⎞00,1⎠.D̃(, * ) = ⎝−1,00(2.56)Для доказательства этой теоремы воспользуемся формулой (2.13). В качестве параметра возьмем * . Получим∑︁ (, ) (, )( − ), (, ) − =−,*=+1где = 1 для нечетных и = 0 для четных .
В частности,∞∑︁0 (, )0,2+1 2+1 (, ),=− *=0(2.57)∞∑︁1 (, )1 (, )=(,)−.1,2+22+2 *=0(2.58)Переходя к диаграммам направленности, получим:{︂}︂∞∑︁02*= −1 exp{−0 }0,2+1 exp 0 (2+1 − 0 ), *2=0{︂}︂∞∑︁12*= 0 exp{0 }1,2+2 exp 0 (2+2 − 1 ). *2=0(2.59)(2.60)Последняя пара уравнений может быть переписана в виде (2.55). Теорема доказана.Как и в случае спектрального уравнения, эволюционное уравнение может быть записанов более общем виде для величин ¯, (, ).60Утверждение 2.6. Справедливо обыкновенное дифференциальное уравнение⎛¯0,0 ¯0,1⎞⎛¯0,0 ¯0,1⎞√︀ ⎝⎠=⎝⎠ Π( * )D̃( 2 + 2)Π−1 ( * ), * ¯1,0 ¯1,1¯1,0 ¯1,1(2.61)Для доказательства данного утверждения вернемся к (2.57)–(2.58). Домножим правуюи левую часть на− exp{0 ( − )2 /2 − 0 ( − )}, = 0, 1и проинтегрируем по линии = − 0, −∞ < < .
В результате получим∞∑︁ ˜()=−0,2+1 exp{0 (2+1 − 0 )2 /2 − 0 * }˜,2+1,0 *=0(2.62)∞∑︁ ˜,1 () =1,2+2 exp{0 (2+2 − 1 )2 /2 + 0 * }˜,2+2 *=0(2.63)Введем величины:, () = , exp{0 ( − )2 /2}.(2.64)Уравнения (2.62) - (2.63) могут быть переписаны в виде∞∑︁ ˜2+1,0 ˜,2+1 () exp{−0 * }()=−,0*=0(2.65)∞∑︁ ˜()=2+2,1 ˜,2+2 () exp{0 * },1 *=0(2.66)Заметим, что функции ˜, и коэффициенты , удовлетворяют условиям периодичности˜, () = ˜+2,+2 (),, () = +2,+2 ().Кроме того, правые части уравнений имеют сверточный характер.
Эти обстоятельства позволяют применить к уравнениям (2.65) и (2.66) дискретное преобразование Фурье. Домножим(2.65) и (2.66) на exp{0 ( − )} для произвольного с Im[] ≥ 0 и просуммируем повсем . В результате получим⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞¯¯¯¯0¯ ⎝ 0,0 0,1 ⎠ ⎝ 0,0 0,1 ⎠0,1⎠ Π−1 ( * ),=Π( * ) ⎝*¯¯¯¯1,0 1,11,0 1,1−¯1,0 0где¯1,0 (, ) =∞∑︁(2.67)2+1,0 () exp {0 (2+1 − 0 )} ,(2.68)2+2,1 () exp {0 (2+2 − 1 )} .(2.69)=0¯0,1 (, ) =∞∑︁=061Кроме того, сравнивая (2.51)–(2.52) с (2.68)–(2.69), получаем⎞⎛√︀0¯0,1⎠ (, ) = D̃( 2 + 2),⎝−¯1,0 0(2.70)откуда и следует (2.55). Теорема доказана.2.9. Эволюционное уравнение 2 типаУтверждение 2.7. Матрица D(, ) удовлетворяет следующему уравнению:*(︂D *)︂где=−02 * ⎛Ξ=⎝[︁]︂DD̃, Ξ +, D̃ ,]︁0 00 1[︂(2.71)⎞⎠,(2.72)[·, ·] – коммутатор:[A, B] = AB − BA,(2.73)A и B – произвольные матрицы.Будем называть (2.71) эволюционным уравнением 2 типа.Для доказательства рассмотрим уравнения (2.28) и (2.61), выписанные относительноматрицы (¯, ) при = 0 и воспользуемся очевидным свойством:⎛⎞⎛⎞¯¯¯¯ ⎝0,0 0,1 ⎠ ⎝0,0 0,1 ⎠=.
* ¯1,0 ¯1,1 * ¯1,0 ¯1,1(2.74)Раскрывая скобки в данном равенстве и исключая величины ¯, , получим матричное уравнение1 0 *(︂)︂[︂]︂)︁1D −1 (︁D−1+ΠΠ=ΠD̃ΠΠ, D̃ Π−1 .0 (2.75)Домножая уравнение слева на Π−1 и справа на Π, а также учитывая, чтоΠ−1Π= −0 Ξ, *Π−1Π = 0 Ξ, *(2.76)получаем (2.71). Теорема доказана.Интегрируя эволюционное уравнение 2-го типа при * = 0, имеем⎛⎞2()0D(, 0) ⎝0,1⎠.=*20−(0,1 )(2.77)62Выражение для 0,1 (, 0) может быть определено с помощью (2.52):0,1 (, 0) =∞∑︁{︀}︀0,2+1 exp 0 (2+1 )2 /2 ,(2.78)=0Величины 0, при * = 0 представляется следующими вложенными интегралами:(2.79)0, =∞Z∞Z. .
. (, 1 ) (, 2 − 1 ) . . . (, − −1 ) ( − , − ) 1 . . . .00Интегралы вида (2.79) вычислены явно в [98].√︂010, =.2 ( + 1)3/2Получаем√︂0,1 (, 0) =∞0 ∑︁2 =1(︃(2.80)220 /2 0 −3/2(2)3/2)︃(2.81)Из (2.77) следует, что D̃(, 0) = 0. *(2.82)Таким образом матрица D̃ при *√︀0 / ≪ 1 дается следующим выражением:(︂(︁)︁2 )︂√︀** 0 /D̃(, ) = D̃(, 0) + ,где⎞00,1 (, 0)⎠.D̃(, 0) = ⎝−0,1 (, 0)0(2.83)⎛(2.84)2.10. Асимптотическая оценка коэффициента 0Введем следующее обозначение: = *√︀0 /.(2.85)Вернемся к рассмотрению эволюционного уравнения 1 типа (2.55).
Будем искать решение ввиде разложения по малому параметру : (, * ) = (0) () + (1) () + 2 (2) () + ..., = 0, 1,(2.86)где (0) — решение классической задачи Вайнштейна (случай * = 0), которое вычисляетсяявно и имеет следующий вид [7]:{︃ 0 = exp −∞1 ∑︁ erfc(2=1√︀−/20 )}︃,(2.87)63где erfc(z) — дополнительная функция ошибок:2erfc() = √∞Z2− .(2.88)Подставляя (2.83) и (2.86) в (2.55) и приравнивая члены при одинаковых степенях , получимв первом приближении: = 0 − (−1) 0,1 (, 0) 0 () + ...(2.89)Подставляя (2.89) в формулу расщепления (2.14), легко видеть, что линейный член по не дает вклада в коэффициент отражения 0 .
Такой результат представляется очевидным сточки зрения симметрии задачи, так как при замене * на − * геометрия задачи не меняется.Чтобы определить квадратичную поправку по к диаграммам направленности, необходимо воспользоваться соотношением (2.82), полученным с помощью эволюционного уравнения второго типа. А именно, в силу (2.55),(︃)︃D̃2(0 , 1 ) = (0 , 1 )Π D̃2 + * + 0 [D̃, Ξ] Π−1 .( * )2(2.90)Заметим, что интерес представляет значение второй производной при * = 0, что дает Π = I,где⎛I=⎝1 00 1⎞⎠(2.91)– единичная матрица Кроме того,D̃ = [D, Ξ].Учитывая (2.90) и (2.82), во втором приближении имеем = 0 − (−1) 0,1 (, 0) 0 () −)︀ 2 (︀(0,1 (, 0))2 − 0 0,1 (, 0) 0 () + ...0 2(2.92)Подставляя выражение для диаграмм направленности в формулу расщепления, получимследующее выражение для коэффициента отражения 0 :0 =( 0 ())2 (1 + 0,1 (, 0) 2 )+ ( 2 ).220 При малых формула (2.93) принимает следующий вид:(︂ )︂ √︂(︂ )︂ √︂√10 30 0 = −1 − (1 − ) − (1 + )2−5/2 (2 2 − 1) 2 + ( 2 ),22где∞∑︁1() ==1(2.93)(2.94)64– дзета-функция Римана.Аналогично результату Л.
А. Вайнштейна, из (2.94) следует, что высокочастотные мо√︀ды, близкие к частоте отсечки, в волноводе со смещенными стенками при * 0 / ≪ 1имеют коэффициент отражения от торца волновода близкий к −1. Это следует из того, чтопоправка, содержащая 2 , пропорциональна .В Главе 3 с помощью метода Винера—Хопфа—Фока показывается, что коэффициент0 (, * ) стремится к −1 при произвольных * в пределе → 0.2.11.
Оценка добротности резонаторов Фабри—Перо с помощью(2.94)В качестве примера использования формулы (2.94) рассчитаем добротность резонаторовФабри—Перо, изображенных на Рис. 2.1 б), в). Будем рассматривать дифракцию на открытых концах резонаторов независимо, т. е. будем считать, что резонатор представляет собойкусок плоского волновода, открытый с обоих концов. Очевидно, что после нескольких отражений от концов волновода выживут только моды, близкие к частоте отсечки (из формулы(2.94) следует, что такие моды почти полностью отражаются с коэффициентом отражения,близким к −1). Эти моды образуют стоячие волны вида [8, 24]˜ = sin( ) cos( ),(2.95)где и – продольный и поперечный волновые вектора, определяемые из соотношенийexp{2 } = 1,(2.96)1 2 exp{2 } = 1,(2.97)где 1 и 2 – коэффициенты отражения от открытых концов резонатора, a – размеррезонатора по оси .
Угол , под которым распространяется парциальная волна, связан с и очевидным образом: = .Из условия ≪ 1 следует, что ≫ . Тогда, из (2.94) имеем следующие выражения длякоэффициентов отражения 1,2 :*1,2 ≈ −1 + (1,2),(2.98)где(︂ )︂ √︂(︂ )︂ √︂ (︁ √︁)︁2√13 −5/2* /( * ) = −(1−)−(1+)2(22−1),2265а 1* и 2* введены на Рис. 2.1.Из (2.96) и (2.97) следует, что = ln(−1 ) + ln(−2 )−, = 1, 2, 3 . . .2 =, = 1, 2, 3 . .
.(2.99)(2.100)Собственные частоты резонатора вычисляются по формуле:(2.101)2= ( )2 2 + ( )2 2 ,где - скорость звука. Представим в виде суммы мнимой и действительной части:′′′ = − .′′, отвечающая за дифракционные потери в резонаИнтерес представляет мнимая часть торе. Подставляя (2.99) и (2.100) в (2.101) и выделяя мнимую часть, получим′′=−2Re[ln(−1 ) + ln(−2 )],2 2 ′ = 1, 2, 3 . . .(2.102)Пользуясь тем, что ≫ получим′ ≈, = 1, 2, 3 .
. .Отметим, что предполагается большим, так как должно выполняться условие ≪ 1. Сучетом того, что запасенная резонатором энергия пропорциональна квадрату поля, имеем:′′ ∼ −2 ,где – время. Наконец, добротность вычисляется по формуле)︀−1′2 2 2 (︀==−Re[ln(−1 ) + ln(−2 )].(2.103)′′2/2√︀На Рис. 2.3 представлен график зависимости добротности от 1* / при = 1, = − ′ = 10, = 31.4, = 157.1, 2* = 0. Из графика следует что добротность растет сростом 1* .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
