Диссертация (1103954), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Следовательно, если �˜i (0) ∈ Γi (�) для некоторого 1 6 � 6 5, то из монотонности системы сле-дует, что �iτ (w̃(0)) 6 �iτ (Ψ(�)) < 0. Теперь предположим, что �˜6 (0) = Ψ6 (�) и �˜i (0) < Ψi (�)для 1 6 � 6 5. Нелинейный член в правой части �6τ таков, что �6τ (w) < 0, если w > 0 и�6 > � 0 . Таким образом, вследствие выполнение принципа максимума для рассматриваемого решения, w̃ удовлетворяет �˜6 (�) < � 0 для � > 0. В частности, �˜6 (0) = Ψ6 (�) 6 �0 .Аналогичное обращение к монотонности системы может быть применено, чтобы показать,что �6τ (w̃(0)) < 0. Этот факт завершает доказательство утверждения 1.3.1.Как следует из уравнений (1.3.18)–(1.3.19), Fτ имеет две положительные устойчивые стационарные точки, и монотонна в � (1.3.17).
Следовательно, автоволновая задача:(1.3.34)Du′′ + �τ u′ + Fτ (u) = 0, u(±∞) = w± ,имеет единственное с точностью для некоторого переноса в пространстве решение, котороемы обозначим как (�τ , uτ ).Оценки монотонных решений типа пульс в �µ1 могут быть получены при дополнительномограничении на положительность скорости �τ . Следующий результат был доказан в [126] иостается верным в нашем случае, благодаря утверждению 1.3.1.Теорема 1.3.3. При выполнении условий(1.1.6)положим также, что�τ > 0для всех� ∈ [0, 1]. Тогда существует некоторая константа � > 0 такая, что для всех � ∈ [0, 1] и длявсех монотонных решенийwсистемы(1.3.20),удовлетворяющих(1.3.3),верна следующаяоценка:‖w‖Eµ1 6 �.Полное доказательство этой теоремы приведено в [126], приведем здесь основную егоидею.
Решения уравнения (1.3.20) равномерно ограничены в C(R+ )-норме в силу предположения 1.3.1. Однако этого недостаточно, чтобы сделать вывод о том, что решения равномерно74ограничены во взвешенном пространстве �µ1 . Действительно, если существует последовательность uk решений, которые сходятся к w− на любом ограниченном интервале (и к w+ = 0 набесконечности), то эта последовательность равномерно ограничена по равномерной норме,но не во взвешенном пространстве. Поясним, почему такая ситуация невозможна.
Предположим, что такая последовательность существует. Рассмотрим тогда последовательностьфункций vk (�) = uk (� + ℎk ), где ℎk — некоторое действительное число, выбранное такимобразом, что ||uk (ℎk )|| = ||w− ||/2 (где ||.|| обозначает евклидову норму в R6 ). Так как по-следовательность uk (�) сходится к w− равномерно на каждом ограниченном интервале (наположительной полуоси), то ℎk → ∞ при � → ∞. Следовательно, функции vk (�) определе-ны для � > −ℎk . Выбирая локально сходящуюся подпоследовательность последовательностиvk (�), получаем функцию v0 (�), определенную на всей оси и удовлетворяющую (1.3.34) с�τ = 0. Этот вывод противоречит условиям теоремы.1.3.2.3Отделимость монотонных решений.Предположим, что все монотонные ре-шения системы (1.3.20)–(1.3.21) равномерно ограничены в пространстве �µ1 (условия теоремы 1.3.3 гарантируют выполнение этого свойства, и их выполнение будет проверено в разделе 1.3.3.1).
Мы хотим показать отделимость решений (1.3.20)–(1.3.21), монотонно убывающихна бесконечности для всех компонент и далее обозначаемых как wM (�), от решений (1.3.20)–(1.3.21), не удовлетворяющих этому свойству и далее обозначаемых как wN (�). Последниемы будем называть немонотонными решениями.Предположим, что все монотонные решения (1.3.20)-(1.3.21) равномерноограничены в пространстве �µ1 . Тогда существует константа � > 0 такая, что для всех� ∈ [0, 1] для любого монотонного решения wM (�) и любого немонотонного решения wN (�)системы (1.3.20)-(1.3.21), выполняетсяТеорема 1.3.4.||wM − wN ||Eµ1 > �.(1.3.35)Доказательство. Начнем с доказательства двух промежуточных результатов.Предположим, что w — некоторое решение системы (1.3.20) для 0 6 � 6 1,удовлетворяющееw(�) ∈ � для � ∈ R+ , w′ (0) = 0.(1.3.36)Тогда либо все компоненты w положительны для всех � > 0, либо все они тождественноравны 0.Лемма 1.3.2.75Доказательство.записано в видеКаждое уравнение системы (1.3.20) (или, аналогично, (1.3.6)) может быть(1.3.37)где � — положительная константа и � (�) > 0 для всех � > 0.
Тогда можно доказать, что либо�(�) > 0 для всех � > 0, либо �(�) ≡ 0. Покажем, что все компоненты решения равноправныс точки зрения реализации одного из вариантов. Другими словами, если одна из компонентрешения тождественно равна нулю, то все остальные компоненты тоже тождественно равнынулю.Предположим, что �1(�) ≡ 0. Тогда из первого уравнения (1.3.6) следует, что � (�) ≡ 0.Тогда из второго и третьего уравнений (1.3.6) мы можем заключить, что �2(�) ≡ �3(�) ≡ 0,так как единственные ограниченные решения этих уравнений — убывающие экспоненты, идля удовлетворения граничных условий необходимо, чтобы эти функции были тождественнонулевыми. Из следующих двух уравнений мы получаем �4(�) ≡ �5(�) ≡ 0.
Таким образом,лемма доказана для случая �1(�) ≡ 0. Аналогичные рассуждения применимы для случая�2 (�) ≡ 0 или �3 (�) ≡ 0.Если �4(�) ≡ 0, то из четвертого уравнения (1.3.6) мы можем заключить, что �3(�) ≡ 0,что возвращает нас к рассмотренному случаю. Если �5(�) ≡ 0, то из пятого уравнения (1.3.6)мы можем сделать вывод, что �4(�) ≡ 0, что возвращает нас к предыдущим рассуждениям. Наконец, если � (�) ≡ 0, то из первого уравнения (1.3.6) следует, что �1(�) ≡ 0, и мывозвращаемся к аналогичному случаю.�� ′′ − �� + � (�) = 0, � ′ (0) = 0,Лемма 1.3.3.
Существует некоторый векторненоq>0такой, что для всех(Fτ )′ (0)q < 0.Доказательство.Для � ∈ [0, 1] матрица (Fτ )′(0) принимает вид⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜(Fτ )′ (0) =⎜⎜⎜⎜⎜⎝−�10000�1 �10−�2000�2 �200−�300�3 �300�4 �4−�400000�5 �5−�500000�6 � τ�6 �3 �4 �5 � τ − �� ∈ [0, 1]выпол-⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.⎟⎟⎟⎟⎠(1.3.38)Мы хотим выбрать положительный вектор q = (�1, . . . , �6) такой, что (Fτ )′(0)q < 0, то естьдолжны выполняться следующие неравенства:�i �6 < �iдля � = 1, 2, 3, �4�3 < �4, �5�4 < �5, �6�τ �5 < (� − �6�3�4�5� τ )�6.(1.3.39)76Для� = 1выполнено�τ = 0и существование действительных�i > 0 ,удовлетворяю-щих (1.3.39), немедленно следует из (1.3.15).
Проверим, что аналогичное свойство сохраняется для� ∈ [0, 1).Из последних четырех неравенств (1.3.39) мы получаем:�6 <� − �6 �3 �4 �5 � τ�6 ,�3 �4 �5 �6 �τ(1.3.40)в то время как первые два неравенства остаются неизменными. Таким образом, искомые�iсуществуют тогда и только тогда, когда1<Для� − �6 �3 �4 �5 � τ.�3 �4 �5 �6 �τ� ∈ [0, �1 ] выполнено �τ = 1, � τ = 0 и неравенство (1.3.41) верно в силуфункция в правой части возрастает привсех(1.3.41)�� ∈ [�1 , 1),(1.3.15). Так както неравенства также выполнены и дляиз этого интервала.Мы хотим доказать неравенство (1.3.35). Проведем доказательство от противного и положим, что существует некоторая последовательность монотонных решенийторая последовательность немонотонных решений||wM,k − wN,k ||Eµ1 → 0wN,k (�)приwM,k (�) и неко-такие, что:� → ∞.(1.3.42)Так как монотонные решения равномерно ограничены и рассматриваемый оператор являетсясобственным, то множество{wM,k , � ∈ N}относительно компактно в�µ1 .Следовательно,существует некоторая подпоследовательность монотонных решений, которую мы дальше дляпростоты будем также обозначать какчто предельная функцияŵ(�)более того, она удовлетворяетwM,k ,сходящаяся к некоторой функцииявляется решением системы (1.3.20) для некоторогоЛемма 1.3.4.
Предельная функцияположим, что(Fτ0 )′ (0)q < 0.ŵположительна: для любогоПроверим сначала, чтоwM,k (0) → 0.ŵ(0) ̸≡ 0.Fτ (w)гарантирует, что для любогоw ∈ �ε = [0, �q], w ̸= 0�ε .Следовательно, для некоторого�0,q>0и ее производных, для значений� выполнено Fτ (�q) < 0.сходится кŵ(�).Проводя доказательство от противного,к �0 и достаточно маленькогоwM,k (0)� = �0 ;� > 0, ŵ(�) > 0.Из леммы 1.3.3 следует, что существует векторВследствие непрерывностицательна. Так какЯсно,ŵ(�) > 0, ŵ(�) ∈ �, ŵ′ (�) 6 0 для � > 0, ŵ′ (0) = 0, ŵ(∞) = 0.В двух следующих леммах более точно сформулированы свойства функцииДоказательство.ŵ(�).��близкихТогда свойство монотонности (1.3.17)хотя бы одна компонентавыполненоFτ (w)отри-� wM,k (0) попадает в︀︀�iτk wM,k (0) < 0.
Значит,то для достаточно большогои некотороготакой, что77из (1.3.20) можно заключить, что �iM,k ′′(0) > 0 и �iM,k (0) не может убывать, что противоречит (1.3.21). Таким образом, ŵ(0) отлична от 0. В силу леммы 1.3.2 этот факт влечет засобой положительность ŵ.Лемма 1.3.5. Предельная функцияŵубывает: для всех� > 0, ŵ′ (�) < 0.Напомним, что функция ŵ удовлетворяет (1.3.20) для некоторого � = �0.Предположим, что �ˆi′ (�0) = 0 в некоторой точке �0 > 0 и для некоторого �.
Дифференцируя�-ое уравнение системы (1.3.20) для � = �0 , получаем, что �(�) = −�ˆi′ (�) удовлетворяет:Доказательство.6︁��iτ0��iτ0(ŵ)� = −(ŵ)�ˆj′ .−�� −��i��jj=1,j̸=i(1.3.43)′′Здесь �(�) > 0, �(�0) = 0 для �0 > 0 и из (1.3.17) следует, что правая часть (1.3.43) неотрицательна. Тогда теорема положительности гарантирует, что � ≡ 0. Следовательно, с учетомзначения предела на бесконечности, �ˆi(�) ≡ 0, что противоречит лемме 1.3.4.Рассмотрим теперь последовательность немонотонных функций wN,k , сходящуюся к монотонной функции ŵ при � → ∞. Без потери общности мы можем предположить, чтопервые компоненты решения немонотонны. Тогда существуют значения �k > 0 такие,что �1N,k ′(�k ) = 0 и с точностью до некоторой подпоследовательности выполнено либо�k → �* > 0, либо �k → ∞, либо �k → 0 при � → ∞.Если �k → �* для некоторого �* > 0, то �︀1′ (�*) = 0 и мы получаем противоречие с леммой 1.3.4.
Далее, утверждается, что для достаточно большого � > 0 и достаточно большого� выполнено(wN,k )′ < 0 на [�, ∞[.(1.3.44)Отсюда следует, что �k не может стремиться к бесконечности.В самом деле, вновь рассмотрим положительный вектор q, определенный в лемме 1.3.3.Тогда (Fτ )′(0)q < 0. Значит, существует �0 > 0 и � > 0 такие, что (Fτ )′(w)q < 0 для � > �0и ||w|| 6 � (где ||.|| означает евклидову норму в R6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
