Диссертация (1103954), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Так как � — полином третьей степени с отрицательнымкоэффициентом при главном члене, то� <0при � ∈ (0, �¯), � > 0 при � ∈ (�¯, � −), � < 0 при � ∈ (� −, ∞).Стоит также заметить, что(1.3.13)(1.3.14)В самом деле, как следует из определения (1.3.11), � (� ) 6 −�� < 0 для � > � 0. Такженапомним, что мы считаем выполненным (1.1.6), что подразумевает следующее ограничениена значения параметров�(0) = �6 �3 �4 �5 − � < 0.(1.3.15)Таким образом, нули функции F = (�1, .
. . , �6) не изменяются, если мы заменим �6 на следующую функцию� − < � 0.︂��6 [��5 + ��5 (� )] (1 + � [��1 + ��1 (� )]) 1 −�0︂− ��,680 6 � 6 1, � = 1 − � .гдеТо же касается замены�6на︂��6 [��5 + ��5 (� )] (1 + � [��1 + ��1 (� )]) 1 −�0при условии, что функция� = �(�)� > 0, supp � ⊂ (�¯, � − ).дляВ самом деле, в этом случае, уравнение на корни функции� (� ) > 0,Fτ = (�1 , . . . , �5 , �6τ ),�6τгде�F� (� )имеет отличную формуудовлетворяет (1.3.16).
Тогда нули функ-задана (1.3.9) или (1.3.10), совпадают с нуляминости, эти функции обладают ровно тремя корнями в1.3.1.3(1.3.16)где к ней добавляется некоторый неотрицательный член.Всюду далее мы будет полагать, что функцияции− �� + �(� ),такова, что�(�) > 0только в области︂R6+ : w− , w̄иF.В част-w+ .Монотонность системы и устойчивость ее стационарных точек.Так какзадана (1.1.3), то��i(w) > 0��jдля�, � = 1, . . . , 6, � ̸= �,при условии, что� ∈ � = {w = (�1 , .
. . , �5 , � ), �k > 0для1 6 � 6 5, 0 6 � < �0 }.Это свойство монотонности остается верным и для гомотопиифункции выражения для�1τ , . . . , �5τFτ .В самом деле, для этойнеизменны, а для последней компоненты свойство по-ложительности производных легко проверяется. Таким образом, для всехмонотонна в�:��iτ(w) > 0��jдля� ̸= �Рассмотрим далее устойчивость особых точекнули функции лежат в�,Fτдлявw ∈ �.R6+ .� ∈ [0, 1]система(1.3.17)Заметим, что благодаря (1.3.14),так что внедиагональные элементы матрицы Якоби в этих точ-ках неотрицательны. Таким образом, из теоремы Фробениуса-Перрона следует, что главноесобственное значение (с.з.) матрицы, то есть с.з.
с максимальной вещественной частью, действительно.Мы также можем утверждать, что устойчивость корней правой части не изменяется приизменении�.Точнее, для всех корней знак главного с.з. не меняется при изменениисамом деле, обозначим черезw*(Fτ )′ (w* )�,члены, содержащиенекоторые корниFτвR6+ .�.ВПри расчете матрицы Якобиисчезают вследствие (1.3.16). Таким образом, якобиан си-стемы не меняется при изменении�от0до �1 . Далее, рассматривая ядро этой матрицы для69� ∈ [�1 , 1],можно показать, чтоker(Fτ )′ (w* ) = ker F′ (w* )для� ∈ [0, 1].Таким образом, ее определитель удовлетворяет следующему свойству:det(Fτ )′ (w* ) ̸= 0 ⇔ det F′ (w* ) ̸= 0 ⇔ det(F1 )′ (w* ) ̸= 0, � ∈ [0, 1].Если эти определители отличны от нуля, то знак главного с.з.
не может измениться приизменении�,и устойчивость нулей останется неизменна.По построению гомотопии, для� �(� ),� = 1, �61 (w)зависит только от�заданных (1.3.11). Таким образом, знак главного с.з. матрицысо знаком главного с. з. матрицы⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜1 ′*(F ) (w ) =⎜⎜⎜⎜⎜⎝(F1 )′ (w* ),и�61 (w) = � (� ) =(Fτ )′ (w* )совпадаетимеющей вид:−�10000�1 �10−�200000−�30000�4 �400�5 ��4*−�40�5 (�5 + ��2* )−�500000⎞⎟�2 �2 ⎟⎟⎟�3 �3 ⎟⎟⎟.0 ⎟⎟⎟0 ⎟⎠∂P(w* )∂TПерестановкой строк и столбцов эта матрица сводится к диагональной матрице матрицеdiag(��/��, −�1 , −�2 , −�3 , −�4 , −�5 ),то есть с.з.(� 1 )′ (w* )равны−�i , 1 6 � 6 5,и� ′ (� * ).Таким образом, верна следующая теорема:Теорема 1.3.2.Существует взаимно однозначное соответствие между стационарнымирешениями системы (1.3.6)w*и корнями�*многочленами (1.3.8). Главное собственное значение матрицыно) тогда и только тогда, когда� (� ),(Fτ )′ (w* )определяемое отношения-положительно (отрицатель-� ′ (� * ) > 0 (� ′ (� * ) < 0).Напомним, что, в силу предположения (1.1.6), для� * = � + , �¯и�−выполнено� ′ (� + ) < 0, � ′ (�¯) > 0, � ′ (� − ) < 0.Таким образом, можно заключить, что дляFτ (w± ) = 0,с.з.
матрицы(Fτ )′ (w± )Fτ (w̄) = 0,� ∈ [0, 1]:имеют отрицательные действительные части, (1.3.18)матрица(Fτ )′ (w̄)имеет положительное с.з.(1.3.19)701.3.2Функциональные пространства и оценки решенийДля доказательства существования решений типа пульс в рассматриваемой системе необходимо перейти к рассмотрению взвешенных пространств.1.3.2.1Операторы и пространства.Мы рассматриваем системуDw′′ + Fτ (w) = 0,где для� ∈ [0, 1]нелинейный членFτопределен, как было описано выше. Мы хотим иссле-довать решения (1.3.20), определенные на полуосиw(�) > 0для(1.3.20)�>0и такие, что:� ∈ R+ , w′ (0) = 0, w(∞) = 0.Для задания класса функций введем пространство Гельдерафункций класса� -го� k+α (R+ ), состоящее из вектор-� k , непрерывных и ограниченных на полуоси R+порядка и такие, что их производныедля экспоненты с показателем� ∈ (0, 1).� -го(1.3.21)вместе с их производнымипорядка удовлетворяют условию ГельдераНорма в таком пространстве совпадает с обычнойнормой Гельдера:||� ||C k+α = ||� ||C k + max |�β � |C 0+α ,|β|=kгде||� ||C k = max sup |�β � (�)|, |� |C 0+α = sup|β|6k x∈R+x̸=y∈R+Положим|� (�) − � (�)|.|� − �|α� 1 = {w ∈ � 2+α (R+ ), w′ (0) = 0}, � 2 = � α (R+ ).Далее, введем взвешенные пространства�µ1и�µ2 ,где�(�) =√1 + �2 ,с соответствующиминормами:‖w‖Eµi = ‖w�‖E i , � = 1, 2.Принимая во внимание (1.3.20), рассмотрим операторAτ (w) = Dw′′ + Fτ (w),(1.3.22)действующий из �µ1 в �µ2 .
Тогда оператор, линеаризованный вокруг любой функции из �µ1 , является фредгольмовым и имеет нулевой индекс. Нелинейный оператор является собственнымна замкнутых ограниченных множествах. Таким образом, прообраз компактного множествав�µ2компактен в любом замкнутом ограниченном множестве в�µ1 .71В данном разделе мы рассматриваем решения (1.3.20)-(1.3.21), убывающие на R+, то есть решения типа пульс. Преждевсего, получим оценку в �∞ для этих решений.1.3.2.2Оценки априори для монотонных решений.Предположим, что система (1.3.20) имеет решение w(�), определенное для � > 0 и удовлетворяющее (1.3.3). ТогдаУтверждение 1.3.1.w(�) 6 w−для � > 0,(1.3.23)где w− — максимальный корень F. В частности, w(�) ∈ � для всех � > 0.Доказательство.
Напомним, что координаты w− равны �i(� −), 1 6 � 6 5, и � −, где � − —максимальный корень � . Сформулируем промежуточный результат.Существует гладкая функция Ψ(�) = (�1(�), . . . , �6(�)), определенная для� > 0 такая, чтоΨ(0) = w− , �i′ (�) > 0 для � > 0, �i (�) → ∞ при � → ∞,(1.3.24)Fτ (Ψ(�)) < 0 для � > 0 и � ∈ [0, 1].В частности, Ψ(�) > w− для � > 0.Лемма 1.3.1.Доказательство.
Рассмотрим функцию Ψ0 с координатами:�i0 (�) = �i (� − + �), � = 1, . . . , 5, �60 (�) = � − + �.Видно, чтодля � > 0, �i0(�) → ∞ при � → ∞,и, так как � < 0 на (� −, ∞), то (см. (1.3.13)),Ψ0 (0) = w− , (�i0 )′ (�) > 0�i (Ψ0 (�)) = 0, �6τ (Ψ0 (�)) = � (� − + �) < 0при � > 0 и � ∈ [0, 1].(1.3.25)(1.3.26)(1.3.27)Далее, рассмотрим следующую модификацию функции Ψ0:�i (�) = �i (� − + �i �)для � = 1, .
. . , 5, �6(�) = � − + �6�,(1.3.28)где �i, � = 1, . . . , 6 — некоторые положительные коэффициенты. При выполнении условия� i > �6для � = 1, 2, 3, �3 < �4, �2 < �5, �4 < �5,(1.3.29)выполнено следующее неравенство:�i (Ψ(�)) < 0для � > 0 и � = 1, . . . , 5.(1.3.30)72Остается исследовать знак �6τ (Ψ(�)). В соответствие с определениями (1.3.9) и (1.3.10) для�6τ , можно заключить, что для w > 0 и � > �0 выполнено �(� ) = 0 и �6τ (w) < 0. Следовательно, �6τ (Ψ(�)) < 0 для � > �*, где �* = (�0 − � −)/�6. Рассмотрим теперь это неравенствона ограниченном интервале 0 < � < �*. Для этой цели выберем �i = 1 + ��i, � = 1, . .
. , 6, где� > 0 достаточно мал и константы �i > 0 выбраны таким образом, чтобы условие (1.3.29)было выполнено для любого �. Отметим, что �* зависит от �, но мы можем пренебречь этойзависимостью, выбрав � достаточно маленьким. Тогда�i (�) = �i0 (�) + ���i1 (�), �i1 (�) > 0для � > 0,где �i1(�) — некоторые ограниченные положительные функции на интервале 0(некоторые из них — константы). Таким образом,6 � 6 �*�6τ (Ψ(�)) = �6τ (Ψ0 (�)) + ��� τ (�),где � τ (�) — ограниченная функция для � ∈ [0, �*] и � ∈ [0, 1]. Здесь �6τ (Ψ0(�)) < 0 наинтервале (0, �*] в силу (1.3.27).
Более того, производная функции � → �6τ (Ψ(�)) в точке� = 0 имеет вид(�6τ ∘ Ψ)′ (0) = ∇�6τ (w− ).(Ψ0 )′ (0) + �∇�6τ (w− ).Ψ1 (0) = � ′ (� − ) + �∇�6τ (w− ).Ψ1 (0),(1.3.31)где � ′(� −) < 0. Из этих свойств немедленно следует, что �6τ (Ψ(�)) < 0 на (0, �*] для всех� ∈ [0, 1], если � достаточно мал.Вернемся к доказательству утверждения 1.3.1.
Пусть w̃ обозначает некоторое решениесистемы (1.3.20), удовлетворяющее (1.3.3). Тогда для доказательства (1.3.23), достаточнопоказать, чтоw̃(0) 6 w− .(1.3.32)Рассмотрим функцию Ψ, заданную в лемме 1.3.1. Для � > 0 введем множествоℰ(�) = {w| 0 6 w 6 Ψ(�)},с граничными гиперплоскостями, обозначенными какΓi (�) = {w| �i = Ψi (�), 0 6 �j 6 Ψj (�), � = 1, . . . , 6, � ̸= �}.Заметим, что для 0 6 �1 6 �2 выполнено ℰ(�1) ⊂ ℰ(�2).Проведем доказательство от противного и положим, что (1.3.32) не выполнено, что эквивалентно w̃(0) ∈/ ℰ(0).
Ясно, что для достаточно больших � > 0 будет выполнено w̃(0) < Ψ(�)73и w̃(0) ∈ ℰ(�). Выберем минимальное значение переменной �, для которой w̃(0) ∈ ℰ(�). Тогдадля некоторого � мы получим �˜i (0) > �i− и �˜i (0) ∈ Γi (�). Утверждается, что(1.3.33)�iτ (w̃(0)) < 0.Предположим, что это неравенство выполнено. Так как �˜i′ (0) = 0 и �˜i′ (�) < 0 для � > 0,мы также имеем �˜i′′ (0) 6 0. Таким образом, мы получаем противоречие в знаках в �-омуравнении системы (1.3.20).Остается проверить выполнение условия (1.3.33). Вернемся к свойству монотонности (1.3.17) и отметим, что для 1 6 � 6 5 оно выполнено при условии, что w > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
