Диссертация (1103913), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ïðè ïåðåõîäåçà òî÷êó xch , êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿA(xch )B(xch ) = 1,êîðíè ¾1¿ è ¾3¿ óõîäÿò â ìíèìóþ îáëàñòü. Èññëåäóåì òåïåðü óñòîé÷èâîñòüêîðíÿ φ2 = ψ2 = 0.  òàêîì ñëó÷àå, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, êàê è ïðåæäå,îïèñûâàþòñÿ ôîðìóëîéλ = −1 ±√A(x)B(x),íî òåïåðü A(x)B(x) < 1, ïîýòîìó îáà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ îòðèöàòåëüíû.580.80.60.40.2012xÐèñ. 15. Ïåðåìåùåíèå ïåðåõîäíîãî ñëîÿ, ñîåäèíÿþùåãî ðåøåíèÿ ¾1¿ è ¾2¿, äëÿε = 0.03 ïðè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ (26). Ñïëîøíàÿ êðèâàÿ ïîêàçûâàåòìîìåíò âðåìåíè t = 10, ïóíêòèðíàÿ t = 20, øòðèõîâàÿ t = 50.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äàííîå ðåøåíèå ñòàëî óñòîé÷èâûì óçëîì.
Òàêèì îáðàçîì, âîáëàñòè x > xch åñòü òîëüêî îäèí óñòîé÷èâûé êîðåíü ¾2¿.Îñíîâíîé âîïðîñ, êîòîðûé èíòåðåñåí â ñâåòå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìàãíèòíîãîïîëÿ âî âíåøíèå îáëàñòè ãàëàêòèêè: âîçìîæíî ëè âîçíèêíîâåíèå ïåðåõîäíîãîñëîÿ ìåæäó ðåøåíèÿìè ¾1¿ è ¾3¿ è åãî äâèæåíèå âïðàâî? Êðîìå òîãî, íàñ èíòåðåñóåò ñêîðîñòü ýòîãî äâèæåíèÿ, à òàê æå ìîæåò ëè ïåðåõîäíûé ñëîé ïðîíèêíóòü çà ïðåäåëû òî÷êè ñìåíû óñòîé÷èâîñòè. Àíàëîãè÷íûå âîïðîñû âîçíèêàþòè îòíîñèòåëüíî âîçìîæíîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà, ñîåäèíÿþùåãî ðåøåíèå¾1¿ è ¾2¿.Äàëüíåéøåå èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è ïðîâîäèëîñü÷èñëåííî.
Äëÿ ýòîãî äëÿ êîýôôèöèåíòîâ A(x), B(x) è U (x) áðàëèñü ñëåäóþùèåïàðàìåòðèçàöèè:A(x) = exp(−0.3466x),B(x) = 2 exp(−0.3466x),590.80.60.40.2012xÐèñ. 16. Êîíå÷íîå ïîëîæåíèå ïåðåõîäíîãî ñëîÿ, ñîåäèíÿþùåãî ðåøåíèÿ ¾1¿ è¾2¿ ïðè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ (26). Ñïëîøíàÿ êðèâàÿ ïîêàçûâàåò ñëó÷àéε = 0.01, ïóíêòèðíàÿ ε = 0.03, øòðèõîâàÿ ε = 0.05.U (x) = exp(−x). êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé áðàëîñü ñëåäóþùåå [79]:u(0, t) = v(0, t) = 0;u(x, 0) = 0;−0.05 åñëè 0.1 < x < 0.2;v(x, 0) = 0.05 åñëè 0.3 < x < 0.4;0 ïðè âñåõ îñòàëüíûõ x.(25)Ïðèìåð ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äëÿ ε = 0.02 ïîêàçàí íà ðèñ. 13.
Êàê âèäíî, ñîâðåìåíåì ôîðìèðóåòñÿ ïåðåõîäíûé ñëîé, ñîåäèíÿþùèé ðåøåíèå ¾1¿ ïðè ìàëûõx è ðåøåíèå ¾2¿ ïðè áîëüøèõ x. Êðîìå òîãî, äàííûé ïåðåõîäíûé ñëîé ìåäëåííîäâèæåòñÿ âïðàâî (ñì. ðèñ. 14). Ýòîò ñëîé ìîæåò ïðîíèêíóòü çà ïðåäåëû òî÷êèñìåíû óñòîé÷èâîñòè; ãëóáèíà ïðîíèêíîâåíèÿ òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå ε.60Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ε âàðüèðîâàëîñü è âû÷èñëÿëàñü ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïðèâåäåíû â òàáëèöå. Ìîæíî îòìåòèòü,÷òî ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïîëÿ ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ìàëîãî ïàðàìåòðà ε. Ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ îíà àïïðîêñèìèðóåòñÿ âûðàæåíèåì:w ≈ 31ε2 .×òî êàñàåòñÿ ïåðåõîäíîãî ñëîÿ, ñîåäèíÿþùåãî ðåøåíèÿ ¾1¿ è ¾2¿, ìû ðàññìàòðèâàëè çàäà÷ó ñ óñëîâèÿìè:u(0, t) = v(0, t) = 0;u(x, 0) = 0;0.05 åñëè 0.1 < x < 0.2;v(x, 0) =0 ïðè âñåõ îñòàëüíûõ x.(26)Ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà ïîêàçàí íà ðèñ.
15. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà ïðîïîðöèîíàëüíà ïåðâîé ñòåïåíè ìàëîãî ïàðàìåòðà ε (ñì.òàáë. 1):w ≈ 1.34ε.Òàáëèöà 1. Cêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïåðåõîäíîãî ñëîÿ â äâóìåðíîé çàäà÷å,ïîëó÷åííûå ïóòåì ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.εÑëîé ìåæäó ¾1¿ è ¾3¿Ñëîé ìåæäó ¾1¿ è ¾2¿0.012.9 · 10−41.40 · 10−20.021.16 · 10−32.7 · 10−20.032.7 · 10−34.0 · 10−20.044.9 · 10−35.3 · 10−20.058.0 · 10−36.7 · 10−2Ôðîíò ïðîíèêàåò çà ïðåäåëû òî÷êè ñìåíû óñòîé÷èâîñòè, ïðè÷åì ãëóáèíàïðîíèêíîâåíèÿ ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì ε (ñì.
ðèñ. 16).61Ïîñêîëüêó ðàññìîòðåíèå äâóìåðíîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî ñëîæíûì èìíîãèå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ëèøü ÷èñëåííî, òàêæå áûëà ðàññìîòðåíà ñêàëÿðíàÿ ìîäèôèêàöèÿ äàííîé çàäà÷è, ñîõðàíÿþùàÿ åå êëþ÷åâûå îñîáåííîñòè [3, 79]:ut = γ(x)u(1 − u2 ) + ε2 uxx(27)ñ óñëîâèÿìè:u(0, t) = u0 ; u(x, t) → 0;u(x, 0) = f (x).(28)Ïîëàãàåòñÿ, ÷òî γ(x) > 0.Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà, ñîåäèíÿþùåãî ðåøåíèÿ, ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïðè ïîìîùè àñèìïòîòè÷åñêîé òåîðèè êîíòðàñòíûõ ñòðóêòóð. Äëÿ äàííîé çàäà÷è ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ:f (u) = γ(x)u(1 − u2 ) = 0. òàêîì ñëó÷àå ìû èìååì òðè ðåøåíèÿ:u(+) = 1, u(0) = 0, u(−) = −1.Ïîñêîëüêó ïðè u = u(±) fu = −2γ(x) < 0, êîðíè u(+) è u(−) áóäóò óñòîé÷èâûìè.Ïðè u = u(0) fu = −2γ(x), ïîýòîìó äàííûé êîðåíü ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâûì.Òåîðåìà 1. Ïóñòü äëÿ çàäà÷è (27) ñ óñëîâèÿìè (28) ñóùåñòâóåò ïåðåõîäíûé ñëîé, ñîåäèíÿþùèé ðåøåíèÿ u(+) = 1 è u(−) = −1 Òîãäà ñêîðîñòü åãîðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàâíà:ε2 γ ′ (x∗ )+ o(ε2 ),w=−∗2 γ(x )ãäå x∗ òî÷êà ëîêàëèçàöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ, îïðåäåëÿåìàÿ èç óñëîâèÿ:u(x = x∗ ) = 0Äîêàçàòåëüñòâî.
Äëÿ íà÷àëà ñ ïîìîùüþ ïåðåõîäà t′ = t/ε2 ïðèâåäåì çàäà÷ó ê áåçðàçìåðíîìó âèäó:ε2 ut′ = γ(x)u(1 − u2 ) + ε2 uxx62c óñëîâèÿìè:u(0, t′ ) = 0; u(x, t′ ) → 0 ïðè x → ∞.Ââåäåì ïåðåìåííóþ τ =x−x∗ε .Ðåøåíèÿ áóäåì èñêàòü â âèäå ñóìì [7]:u(−) = u(−) (x, t′ , ε) + Q(−) (τ, ε) + R(−) ïðè x < x∗ ;(+)u=u(+)′(x, t , ε) + Q(+)(τ, ε) + R(+)∗ïðè x > x .(29) äàííîì ñëó÷àå Q(±) ïîãðàíñëîéíûå ôóíêöèè, îïèñûâàþùèå ïîâåäåíèåðåøåíèå â îêðåñòíîñòè òî÷êè x∗ , R(±) õàðàêòåðèçóåò ïîâåäåíèå ðåøåíèå âáëèçèãðàíèö èññëåäóåìîé îáëàñòè. Ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ èìåþò âèä:u(−) = −1, u(+) = 1.Ïðè x < x∗ íåîäíîðîäíîñòü f âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:f = −2γ(x)Q(−) (1 + Q(−) )(2 + Q(−) ).Ïðîèçâîäíàÿ ðåøåíèÿ ïî âðåìåíè çàïèøåòñÿ òàê [7]:ut′ =∂ (−)∂τw ′(−)′(−)Q(τ)=Q(τ)=−Q .∂t′∂t′ε íóëåâîì ïîðÿäêå ïî ε ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ:Q′′(−)(τ ) − 2γ(x0 )Q(−)((−))((τ ) 1 + Q2+Q(−))= 0.Ïîõîæåå óðàâíåíèå ìîæíî ñîñòàâèòü è äëÿ Q(+) .
Òîãäà ðåøåíèÿ äëÿ ïîãðàíñëîéíûõ ôóíêöèé â íóëåâîì ïîðÿäêå èìåþò âèä:(−)Q0( √ )( √ )γγ(+), Q0 = −1 + th τ.= 1 + th τ22Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ [80]:∂Q0Φ(τ ) ==−∂τ√γ1(√ ).2 ch2 τ γ2Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ôðîíòà ìîæåò áûòü íàéäåíà ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà [80]:G(x∗ )w0 = −,m(x∗ )63(30)ãäå∗∫G(x ) =+∞fx (u0 (x) + Q0 (τ ), x∗ )τ Φ(τ )dτ,−∞∫ +∞m(x∗ ) =Φ2 (τ )dτ.−∞Ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà â ÷èñëèòåëå (30) ïîëó÷àåòñÿ ðåçóëüòàò:G(x∗ ) = −γ ′ (x∗ )∫√+∞th(τ−∞√√γτγ12′ ∗√) 2 √ (dτ=−γ(x).√2 ch (τ / 2)2 ch2 (τ / 2)3 γÈíòåãðàë â çíàìåíàòåëå (30) ðàâåí:m(x∗ ) =∫+∞−∞√12 2γ1√ dτ =.2 ch4 (τ / 2)3Òîãäà w0 = − 12 γ ′ (x0 )/γ(x0 ). Äëÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ èìååì:w = w0 + o(1),à âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíîìó ìàñøòàáó âðåìåíè t, ïîëó÷àåì:ε2 γ ′ (x∗ )w=−+ o(ε2 ).∗2 γ(x )Òåîðåìà äîêàçàíà.Òàáëèöà 2.
Cêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïåðåõîäíîãî ñëîÿ â ñêàëÿðíîé çàäà÷å,ïîëó÷åííûå ïóòåì ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.εÑëîé ìåæäó u(+) è u(−)Ñëîé ìåæäó u(+) è u(0)0.015.0 · 10−51.46 · 10−20.022.0 · 10−42.9 · 10−20.034.5 · 10−44.3 · 10−20.047.8 · 10−45.7 · 10−20.051.18 · 10−37.1 · 10−2Cêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà, ñîåäèíÿþùåãî ðåøåíèÿ u(+) è u(0) , áûëàîöåíåíà â [3]. Ñîãëàñíî äàííîé ðàáîòå, â òàêîì ñëó÷àåw ≈ 2ε√γ(x).64Ýòîò ðåçóëüòàò áûë òàêæå ïðîâåðåí ÷èñëåííî, ðåçóëüòàòû ïîêàçàíû â òàáëèöå 2. Êàê âèäíî, ïîëó÷àåòñÿ êðàéíå òî÷íîå ñîîòâåòñòâèå àñèìïòîòè÷åñêèìïðèáëèæåíèÿì.
Êðîìå òîãî, îòìåòèì, ÷òî äàííûå ðåçóëüòàòû ñîâïàäàþò òàêæåè ñ ðåçóëüòàòàìè ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ äâóìåðíîé çàäà÷è (õàðàêòåðçàâèñèìîñòè w(ε) òàêîé æå.65Ãëàâà 4. Ìàãíèòíûå ïîëÿ â ãàëàêòèêàõ ñ íåîäíîðîäíîéñðåäîé1. Çâåçäîîáðàçîâàíèå è ìàãíèòíîå ïîëå àñòðîíîìè÷åñêîé ëèòåðàòóðå äàâíî âûñêàçûâàëàñü ìûñëü î òîì, çâåçäîîáðàçîâàíèå îêàçûâàåò âëèÿíèå íà êðóïíîìàñøòàáíîå ìàãíèòíîå ïîëå ãàëàêòèê.Ýòîò âîïðîñ äàâíî îáñóæäàëñÿ è íàëè÷èå òàêîãî ìåõàíèçìà âîçäåéñòâèÿ îáû÷íîíå âûçûâàåò êàêèõ-ëèáî ðàçíî÷òåíèé [1].
Äåéñòâèòåëüíî, ñî çâåçäîîáðàçîâàíèåìòåñíî ñâÿçàíû òàêèå ÿâëåíèÿ, êàê èñòå÷åíèÿ èç çâåçä, âçðûâû ñâåðõíîâûõ è äð.Îíè ïðèâîäÿò ê óâåëè÷åíèþ êîíöåíòðàöèè èîíèçîâàííîãî âîäîðîäà. Åãî ñâîéñòâà çàìåòíî îòëè÷àþòñÿ îò õàðàêòåðèñòèê ïîäîãðåòîãî íåéòðàëüíîãî âîäîðîäà,êîòîðûé ñîñòàâëÿåò îñíîâíóþ ÷àñòü ìåæçâåçäíîé ñðåäû â ¾ñïîêîéíûõ¿ ãàëàêòèêàõ [81, 82]. Ýòîò ãàç èìååò áîëåå âûñîêóþ òåìïåðàòóðó (à çíà÷èò, è áîëüøóþäèñïåðñèþ ñêîðîñòåé òóðáóëåíòíûõ äâèæåíèé), èíóþ ïëîòíîñòü. Êðîìå òîãî,âîçðîñøàÿ äèñïåðñèÿ ñêîðîñòåé ìîæåò âûçûâàòü óòîëùåíèå ñàìîãî ãàëàêòè÷åñêîãî äèñêà [83, 84]. Âñå ýòî ìåíÿåò õàðàêòåð ìåæçâåçäíîé òóðáóëåíòíîñòè,êîòîðàÿ ñîãëàñíî òåîðèè ãàëàêòè÷åñêîãî äèíàìî ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõèñòî÷íèêîâ âîçíèêíîâåíèÿ êðóïíîìàñøòàáíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ [2].Òåì íå ìåíåå, ìåõàíèçì âëèÿíèÿ çâåçäîîáðàçîâàíèÿ íà ãàëàêòè÷åñêîå ìàãíèòíîå ïîëå äî íåäàâíåãî âðåìåíè ïðîäîëæàë îñòàâàòüñÿ íå âïîëíå ÿñíûì.
Ñíàáëþäàòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ïðîáëåìà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íà äàííûé ìîìåíò ðàäèîòåëåñêîïû ïîçâîëèëè ïîëó÷èòü òî÷íûå äàííûå î ìàãíèòíûõ ïîëÿõëèøü äëÿ íåáîëüøîãî êîëè÷åñòâà íå ñëèøêîì óäàëåííûõ ãàëàêòèê òàêèõ êàêM 31, M 33, M 51, M 87 è äðóãèõ, êîòîðûå ïî ñâîèì õàðàêòåðèñòèêàì (â òîì÷èñëå è ïî âåëè÷èíå òåìïà çâåçäîîáðàçîâàíèÿ è åãî ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè)íå ñëèøêîì ñèëüíî îòëè÷àþòñÿ îò Ìëå÷íîãî Ïóòè [85].
 ðÿäå ðàáîò äàæåîòäåëüíî îòìå÷àåòñÿ, ÷òî íàáëþäàòåëüíûå ñâèäåòåëüñòâà âçàèìîñâÿçè ìåæäóçâåçäîîáðàçîâàíèåì è ìàãíèòíûì ïîëå â ãàëàêòèêàõ íàáëþäàòåëüíî íå îáíàðóæåíû [86, 87]. Ïîæàëóé, åäèíñòâåííûì ïðèìåðîì ãàëàêòèêè, êîòîðàÿ èìå66åò îòíîñèòåëüíî âûñîêèé òåìï çâåçäîîáðàçîâàíèÿ è íàáëþäàòåëüíûå äàííûå îêðóïíîìàñøòàáíîì ìàãíèòíîì ïîëå, ÿâëÿåòñÿ NGC 253. Îäíàêî, äàííàÿ ãàëàêòèêà èìååò ìàëûå ëèíåéíûå ðàçìåðû, ïîýòîìó ìåõàíèçì äèíàìî òàì ðàáîòàåòíåìíîãî ïî-äðóãîìó è ýòîò ïðèìåð íåëüçÿ ñ÷èòàòü óäîâîëåòâîðèòåëüíûì [52].Åùå îäèí âîçìîæíûé êàíäèäàò ãàëàêòèêà NGC 6946.
Âïðî÷åì, ìàãíèòíîåïîëå äàííîé ãàëàêòèêè ñîñðåäîòî÷åíî ìåæäó ðóêàâàìè, ÷òî ìîæåò áûòü îáúÿñíåíî êàê åãî ïîäàâëåíèåì çâåçäîîáðàçîâàíèåì, ðàñïîëàãàþùèìñÿ â ðóêàâàõ, òàêè òåì, ÷òî ìàãíèòíûå ðóêàâà â äàííîì îáúåêòå âðàùàþòñÿ ñî ñâîåé ñîáñòâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ, îòëè÷íîé îò óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ ìàòåðèàëüíûõðóêàâîâ [88].Ñ òåîðåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ òðóäíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.
Óðàâíåíèÿ ãàëàêòè÷åñêîãî äèíàìî ñîäåðæàò ïàðàìåòðû, õàðàêòåðèçóþùèå äåéñòâèåäèíàìî è âêëþ÷àþùèå òàêèå âåëè÷èíû, êàê ñêîðîñòü òóðáóëåíòíûõ äâèæåíèé,ïëîòíîñòü ìåæçâåçäíîé ñðåäû, ïîëóòîëùèíà ãàëàêòè÷åñêîãî äèñêà è ò.ï. Ïðèýòîì, îíè íå ñîäåðæàò â ÿâíîì âèäå íè òåìï çâåçäîîáðàçîâàíèÿ, íè åãî ïîâåðõíîñòíóþ ïëîòíîñòü. Ïîýòîìó àâòîðîì ââîäÿòñÿ ïàðàìåòðèçàöèè ýòèõ âåëè÷èí,îïèðàþùèåñÿ íà äàííûå íàáëþäåíèé è òåîðåòè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ î ñâîéñòâàõ ìåæçâåçäíîé ñðåäû [8, 37].Äàëåå ìû ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ñïîñîáîâ èññëåäîâàíèÿ âëèÿíèÿ çâåçäîîáðàçîâàíèÿ íà ìàãíèòíîå ïîëå ãàëàêòèê. Âî-ïåðâûõ, ìîæíî ðàññìîòðåòü ïðîñòóþàïïðîêñèìàöèþ, êîòîðàÿ áûëà ïðåäëîæåíà Ñîêîëîâûì è Åôðåìîâûì ñîâìåñòíî ñ àâòîðîì äàííîé äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû è ïîäðîáíî îïèñàíà â [8].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
