Диссертация (1103913), страница 8
Текст из файла (страница 8)
B ∗ = 2v πρ, ãäå ρ ïëîòíîñòü ìåæçâåçäíîé ñðåäû. Îòìåòèì, ÷òî ïðèr = r⊙ áðàëîñü B ∗ = 5 ìêÃñ, ÷òî âïîëíå ñîîòâåòñòâóåò äàííûì íàáëþäåíèéìàãíèòíîãî ïîëÿ [2].Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ìû äîëæíû ðåøàòü çàäà÷ó íà áåñêîíå÷íîé48ïîëóïðÿìîé 0 < r < +∞. Îäíàêî ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè íåâîçìîæíî ðàññìîòðåíèå áåñêîíå÷íûõ îáëàñòåé. Êîíå÷íî, ìîæíî ââåñòè çàìåíó ïåðåìåííûõ,íî äëÿ íàøèõ öåëåé âïîëíå äîñòàòî÷íî ¾îòîäâèíóòü¿ ïðàâóþ ãðàíèöó íà î÷åíüáîëüøîå ðàññòîÿíèå îò èíòåðåñóþùèõ íàñ çíà÷åíèé r (âïëîòü äî 2530 êïê).Áûë âûáðàí îòðåçîê 0 < r < rmax , ãäå rmax = 50 êïê, õîòÿ â öåëÿõ ïðîâåðêè ðåçóëüòàòîâ òàêæå ïðîâîäèëèñü òåñòîâûå ðàñ÷åòû è äëÿ rmax = 100 êïê, êîòîðûåïðàêòè÷åñêè òàêèå æå ðåçóëüòàòû. êà÷åñòâå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé áðàëîñü:Br (t, 0) = Br (t, rmax ) = Bφ (t, 0) = Bφ (t, rmax ) = 0,à â êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ ()rBr (0, r) = −0.3B0 exp −ìêÃñ,r0)(rìêÃñ,Bφ (0, r) = B0 exp −r0ãäå r0 = 8 êïê ïîëîæåíèå ïèêà íà÷àëüíîãî ïîëÿ, B0 = 10−3 ìêÃñ åãî àìïëèòóäà. Ðåçóëüòàòû äëÿ òðåõ ðàçíûõ ìîäåëåé ìåæçâåçäíîé ñðåäû ïîêàçàíûíà ðèñ.
810. Ðàñ÷åò ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðîäîëæàëñÿ âïëîòü äî ìîìåíòà âðåìåíèt = 10 ìëðä.ëåò, êîòîðûé îòíîñèòñÿ ê ñîâðåìåííîé ýïîõå. Íà ðèñóíêàõ ïîêà√çàíî çíà÷åíèå íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ B = Br2 + Bφ2 (âåðòèêàëüíàÿêîìïîíåíòà Bz ìàëà è íå ó÷èòûâàåòñÿ ââèäó îñîáåííîñòåé ïëàíàðíîãî ïðèáëèæåíèÿ). Ìîæíî âèäåòü, ÷òî â ðàìêàõ âñåõ ìîäåëåé ìàãíèòíîå ïîëå ìîæåò ïðîíèêàòü çà ïðåäåëû öåíòðàëüíûõ îáëàñòåé ãàëàêòèêè, íà ðàññòîÿíèÿ âïëîòü äî2530 êïê. Îòìåòèì, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå ïðåèìóùåñòâåííî àçèìóòàëüíîå: óãîëìåæäó íàïðàâëåíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ è íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ ãàëàêòèêè ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíû îò 4O äî 15O .Êîíå÷íî, íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ âî âíóòðåííèõ ÷àñòÿõ ñóùåñòâåííî áîëüøå, ÷åì âî âíåøíèõ îäíàêî ñòîèò ãîâîðèòü î òîì, ÷òî îíî òàì âïîëíåñóùåñòâåííî è ìîæåò áûòü äåòåêòèðîâàíî ïðè ïîìîùè ñîâðåìåííûõ ðàäèîòåëåñêîïîâ.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïîëå ïðîíèêàåò íà ðàññòîÿíèÿ4915B(G)10505101520r2530(kpc)Ðèñ. 11. Çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ îò ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà ãàëàêòèêè âìîäåëè (â). Ñïëîøíàÿ êðèâàÿ ïîêàçûâàåò ñëó÷àé B0 = 10−3 ìêÃñ, ïóíêòèðíàÿ B0 = 10−4 ìêÃñ, øòðèõïóíêòèðíàÿ B0 = 10−5 ìêÃñ.íåñêîëüêèõ äåñÿòêîâ êèëîïàðñåê îò öåíòðà ãàëàêòèêè.  ëþáîì ñëó÷àå, îíîáîëüøå, ÷åì ìåæãàëàêòè÷åñêèé ôîí, îöåíåííûé â ðàáîòàõ Íåðîíîâà, Ñåìèêîçàè Âîâêà [4, 70]. Îòìåòèì, ÷òî â ðàìêàõ ìîäåëè (á) ñóùåñòâóåò ëîêàëüíûé ìèíèìóì íà ðàññòîÿíèè îêîëî 17 êïê îò öåíòðà ãàëàêòèêè. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òîïîëóòîëùèíà äèñêà ïîëàãàåòñÿ ïîñòîÿííîé âïëîòü äî ðàññòîÿíèÿ r = 18 êïê,ïîýòîìó äèíàìî-÷èñëî òàì íåâåëèêî.  ñâÿçè ýòèì ñêîðîñòü ðîñòà ìàãíèòíîãîïîëÿ â äàííîé îáëàñòè íåâåëèêî. Ñòîèò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî äàííàÿ äåòàëüíàâðÿä ëè èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë: âîçìîæíî, â ðåàëüíî äèñê íà÷èíàåò óòîëùàòüñÿ ïðè ìåíüøèõ çíà÷åíèÿ r.
Îäíàêî äëÿ íàñ öåííî òî, ÷òî äàæå â òàêîé¾ïëîõîé¿ ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåõàíèçìà äèíàìî ìîäåëè ìåæçâåçäíîé ñðåäû ìàãíèòíîå ïîëå äåìîíñòðèðóåò ñâîé ðîñò.Çàòåì, ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ðåçóëüòàòû, äàâàåìûå íàøåé ìîäåëüþ äèíàìî, óñòîé÷èâû ïî îòíîøåíèþ ê èçìåíåíèþ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Ðèñ. 11 ïîêàçûâàåò, ÷òî áóäåò â òîì ñëó÷àå, åñëè èçìåíèòü àìïëèòóäó íà÷àëüíîãî ïîëÿ:B0 = 10−3 ìêÃñ, B0 = 10−4 ìêÃñ, B0 = 10−5 ìêÃñ. Ðèñ. 12 ïîêàçûâàåò ñëó÷àé5015B(G)10505101520r2530(kpc)Ðèñ. 12. Çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ îò ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà ãàëàêòèêè âìîäåëè (â).
Ñïëîøíàÿ êðèâàÿ ïîêàçûâàåò ñëó÷àé r0 = 8 êïê, ïóíêòèðíàÿ B0 = 16 êïê, øòðèõïóíêòèðíàÿ B0 = 20 êïê.èçìåíåíèÿ ïîëîæåíèÿ ïèêà: r0 = 8 êïê, r0 = 16 êïê è r0 = 20 êïê.×òî êàñàåòñÿ ìåõàíèçìà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ âî âíåøíèå îáëàñòè ãàëàêòèêè, òî ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî êëþ÷åâûì ÿâëÿåòñÿ íå ðîñò ìàãíèòíîãîïîëÿ in situ âî âíåøíèõ îáëàñòÿõ ãàëàêòèê, à äðóãîé ýôôåêò.
Ïîëå ïåðâîíà÷àëüíî ãåíåðèðóåòñÿ âî âíóòðåííèõ îáëàñòÿõ ãàëàêòèêè ïðàêòè÷åñêè äî óðîâíÿ íåëèíåéíîãî íàñûùåíèÿ è çàòåì â âèäå ôðîíòà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ñòîðîíó,ïðîòèâîïîëîæíóþ öåíòðó ãàëàêòèêè. Ýòî ÿâëåíèå èçâåñòíî â ìàòåìàòè÷åñêîéôèçèêå ïîä íàçâàíèåì ýôôåêòà Êîëìîãîðîâà Ïåòðîâñêîãî Ïèñêóíîâà [50] èõàðàêòåðíî äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì ïðè ëàïëàñèàíå.Èññëåäîâàíèå ìåõàíèçìà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ âî âíåøíèå îáëàñòè ãàëàêòèêè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòäåëüíóþ çàäà÷ó è äîëæíî áûòü ðàññìîòðåíî îòäåëüíî.
Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåòñÿ òåõíèêà, ðàçðàáîòàííàÿ â àñèìïòîòè÷åñêîé òåîðèè êîíòðàñòíûõ ñòðóêòóð [7].513. Ðàñïðîñòðàíåíèå ôðîíòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ âî âíåøíèå îáëàñòèãàëàêòèêè.Ñ öåëüþ àñèìïòîòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ ðåøåíèÿ ïåðåôîðìóëèðóåì çàäà÷ó â áåçðàçìåðíîì âèäå, ñäåëàâ íåñêîëüêî óïðîùåíèé, ñâÿçàííûõ ñòåì, ÷òî ìû èñïîëüçóåì áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ îò öåíòðà ãàëàêòèêè:u2 + v 2ut = −A(x)v(1 − 2) − u + ε2 uxx ;U (x)vt = −B(x)u − v + ε2 vxxñ äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè:u(0, t) = u0 ; v(0, t) = v0 ;u(x, t) → 0; v(x, t) → 0 ïðè x → ∞;(24)u(x, 0) = f (x); v(x, 0) = g(x).Ôóíêöèÿ A(x) ñâÿçàíà ñ àëüôà-ýôôåêòîì, B(x) ñ äèôôåðåíöèàëüíûì âðàùåíèåì, U (x) çíà÷åíèå ïîëÿ, ïðè êîòîðîì ïðîèñõîäèò íàñûùåíèå ìåõàíèçìàäèíàìî.
Èñõîäÿ èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé, ëîãè÷íî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî äàííûå ôóíêöèè ïîëîæèòåëüíû è ìîíîòîííî ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ñ ðîñòîì x.Äëÿ íà÷àëà âûäåëèì ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è. Ñ ýòîé öåëüþïîëîæèì ε = 0 è ðàññìîòðèì ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ çàäà÷è (ò.å. òå, ïðè êîòîðûõ ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè ðàâíû íóëþ):u2 + v 20 = −A(x)v(1 − 2) − u;U (x)0 = −B(x)u − v.Âûðàçèì èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ v :v = −B(x)u. òàêîì ñëó÷àå:u20 = A(x)B(x)u(1 − 2 (1 + B 2 (x))) − u,U (x)52u20 = u(A(x)B(x)(1 − 2 (1 + B 2 (x))) − 1),U (x)()u220 = u A(x)B(x) − 1 − 2 A(x)B(x)(1 + B (x)) .U (x)Ó÷èòûâàÿ çíàêîîïðåäåëåííîñòü A(x) è B(x), ìîæíî ïåðåïèñàòü óðàâíåíèå âôîðìå:(0 = u U 2 (x))A(x)B(x) − 1− u2 .2A(x)B(x)(1 + B (x))√√()()A(x)B(x) − 1A(x)B(x) − 10 = u U (x)−uU(x)+u .A(x)B(x)(1 + B 2 (x))A(x)B(x)(1 + B 2 (x))Äàííîå óðàâíåíèå èìååò òðè ðåøåíèÿ√φ1 (x) = U (x)A(x)B(x) − 1,A(x)B(x)(1 + B 2 (x))φ2 (x) = 0,√A(x)B(x) − 1φ3 (x) = −U (x),A(x)B(x)(1 + B 2 (x))êîòîðûì ïðè A(x)B(x) > 1 ñîîòâåòñòâóþò ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ äëÿ ψ :√ψ1 (x) = −U (x)B(x)(A(x)B(x) − 1),A(x)(1 + B 2 (x))ψ2 (x) = 0,√B(x)(A(x)B(x) − 1)ψ3 (x) = U (x).A(x)(1 + B 2 (x))Èññëåäóåì ýòè ðåøåíèÿ íà óñòîé÷èâîñòü.
Äëÿ ýòîãî ïîëîæèì ε = 0 è â ñèñòåìåóðàâíåíèé:u2 + v 2) − u;ut = −A(x)v(1 − 2U (x)vt = −B(x)u − v53ïîëîæèì u = φi + ue, v = ψi + ve, è ñ÷èòàÿ ue è ve ìàëûìè âåëè÷èíàìè, óäåðæèìëèøü ñëàãàåìûå ïîðÿäêà ìàëîñòè íå âûøå ïåðâîãî. Äëÿ ïàðû φ1 , ψ2 ïîëó÷èìäëÿ ïåðâîãî óðàâíåíèÿ:(uet = −A(x) −U (x)√)B(x)(A(x)B(x) − 1)+ ve (1−A(x)(1 + B 2 (x))√1A(x)B(x) − 1A(x)B(x) − 12(U(x)+2U(x)ue+U 2 (x)A(x)B(x)(1 + B 2 (x))A(x)B(x)(1 + B 2 (x))√B(x)(A(x)B(x) − 1)B(x)(A(x)B(x) − 1)+U 2 (x)− 2U (x)ve))−2A(x)(1 + B (x))A(x)(1 + B 2 (x))√A(x)B(x) − 1−U (x)−ue;A(x)B(x)(1 + B 2 (x))√)(B(x)(A(x)B(x) − 1)+ ve (1−uet = −A(x) −U (x)A(x)(1 + B 2 (x))√1A(x)B(x) − 1A(x)B(x) − 1− 2 (U 2 (x)+ 2U (x)ue−U (x)A(x)B(x)A(x)B(x)(1 + B 2 (x))√√B(x)(A(x)B(x) − 1)A(x)B(x) − 1ve))−U(x)−ue;−2U (x)A(x)(1 + B 2 (x))A(x)B(x)(1 + B 2 (x))√)(1B(x)(A(x)B(x) − 1)+ve(+uet = −A(x) −U (x)A(x)(1 + B 2 (x))A(x)B(x)√2B(x)(A(x)B(x) − 1)ue+(ev−))−U (x)A(x)(1 + B 2 (x))B(x)√A(x)B(x) − 1−U (x)−ue;A(x)B(x)(1 + B 2 (x))√veA(x)B(x) − 1−+uet = U (x)A(x)B(x)(1 + B 2 (x)) B(x)−54+2B(x)(A(x)B(x) − 1)ue(ev−)) − U (x)(1 + B 2 (x))B(x)√A(x)B(x) − 1−ue;A(x)B(x)(1 + B 2 (x))B(x)(A(x)B(x) − 1)ueve−ue+2(ev−)).B(x)(1 + B 2 (x))B(x)A(x)B(x) − 11B(x)(A(x)B(x) − 1)uet = −(1 + 2)eu−(−2)ev.1 + B 2 (x)B(x)1 + B 2 (x)Äëÿ âòîðîãî óðàâíåíèÿ:√()A(x)B(x) − 1vet = −B(x) U (x)+ ve −A(x)B(x)(1 + B 2 (x))√)(B(x)(A(x)B(x) − 1)+ ve ,− −U (x)A(x)(1 + B 2 (x))√√B(x)(A(x)B(x) − 1)B(x)(A(x)B(x) − 1)vet = −U (x)−B(x)ev+U(x)− veA(x)(1 + B 2 (x))A(x)(1 + B 2 (x))uet = −vet = −B(x)eu − ve.Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì ñèñòåìó èç äâóõ óðàâíåíèé:uet = −(1 + 2A(x)B(x) − 11B(x)(A(x)B(x) − 1))eu−(−2)ev,21 + B (x)B(x)1 + B 2 (x)vet = −B(x)eu − ve.Ñîñòàâèì äëÿ íåå õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí:1B(x)(A(x)B(x) − 1)A(x)B(x) − 1+λ)(1+λ)−B(x)(−2) = 0.1 + B 2 (x)B(x)1 + B 2 (x)()A(x)B(x) − 12λ + 2λ 1 ++ 2(A(x)B(x) − 1) = 0.1 + B 2 (x)Òîãäà√()2A(x)B(x) − 1A(x)B(x) − 1±1−− 2(A(x)B(x) − 1).λ1,2 = −1 −1 + B 2 (x)1 + B 2 (x)(1 + 2Ïðîàíàëèçèðóåì ðåçóëüòàòû.
Ïðè A(x)B(x) > 1 âûðàæåíèå, ñòîÿùåå ïåðåä êîðíåì, áóäåò âñåãäà îòðèöàòåëüíûì. Ïîä êîðíåì, â ñâîþ î÷åðåäü, ñòîèò55êâàäðàò òîãî æå âûðàæåíèÿ, ÷òî ñòîèò ïåðåä êîðíåì, çà âû÷åòîì íåêîòîðîé ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíû. Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü â ëþáîì ñëó÷àåáóäåò îòðèöàòåëüíîé.Òåïåðü îïðåäåëèì, â êàêîì ñëó÷àå ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå áóäåò ïîëîæèòåëüíûì. Äëÿ ýòîãî îáîçíà÷èì:X = 1 + B 2 (x),Y = (A(x)B(x) − 1).Îòìåòèì, ÷òî ïðè A(x) > 0, B(x) > 0, A(x)B(x) > 1 äëÿ äàííûõ ïàðàìåòðîâïîëó÷àåòñÿ X > 1, Y > 0. Òîãäà ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå âûãëÿäèò òàê:Y 2YY2(1 − ) − 2Y = 1 − 2 + 2 − 2Y.XX XÄàííîå âûðàæåíèå ïîëîæèòåëüíî ïðè:1Y > X 2( + 1 +X√X +1,X√X +11Y < X 2( + 1 −.XXÂîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷èì ÷òî ïîäêîðåííîå âûðàæåíèåáóäåò ïîëîæèòåëüíûì ïðè:2A(x) >√3 + B 2 (x))1 + B 2 (x)112 + B (x)+(1 + B 2 (x))(+B(x) B(x)1 + B 2 (x)è212 + B (x)1+(1 + B 2 (x))(−A(x) <B(x) B(x)1 + B 2 (x)√3 + B 2 (x)).1 + B 2 (x) òàêîì ñëó÷àå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ1,2 áóäóò âåùåñòâåííû è îòðèöàòåëüíû.Ïîýòîìó òî÷êà ïîêîÿ (φ1 , ψ1 ) áóäåò óñòîé÷èâûì óçëîì. ñëó÷àå, åñëè√212 + B (x)1+(1 + B 2 (x))(−B(x) B(x)1 + B 2 (x)563 + B 2 (x)1)<A(x)<+1 + B 2 (x)B(x)0.80.60.40.2u0.0-0.2-0.4-0.6-0.80.00.51.0xÐèñ.
13. Ðåçóëüòàò ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ ε = 0.02 è t = 50 ïðè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ (25) Ñïëîøíàÿ êðèâàÿ ïîêàçûâàåò ïîâåäåíèå ôóíêöèè u,ïóíêòèðíàÿ ïîâåäåíèå ôóíêöèè v .2+√2 + B (x)1(1 + B 2 (x))(+B(x)1 + B 2 (x)3 + B 2 (x)),1 + B 2 (x)òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ1,2 áóäóò êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûìè, ïðè÷åì Reλ <0.
Ïîýòîìó òî÷êà ïîêîÿ (φ1 , ψ1 ) áóäåò óñòîé÷èâûì ôîêóñîì.Òåïåðü èññëåäóåì óñòîé÷èâîñòü êîðíÿ (φ2 , ψ2 ).  äàííîì ñëó÷àå, ïðåäñòàâëÿÿðåøåíèå â âèäå u = φ2 + ue, v = ψ2 + ve è ó÷èòûâàÿ ñëàãàåìûå ïîðÿäêà ìàëîñòèíå âûøå ïåðâîãî, ïîëó÷èì:uet = −eu − A(x)ev,vet = −B(x)eu − ve.Ñîñòàâèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí:(λ + 1)2 − A(x)B(x) = 0.Äëÿ λ ïîëó÷èì:λ = −1 ±√A(x)B(x).570.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8012xÐèñ.
14. Ïåðåìåùåíèå ïåðåõîäíîãî ñëîÿ, ñîåäèíÿþùåãî ðåøåíèÿ ¾1¿ è ¾3¿, äëÿε = 0.03 ïðè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ (25). Ñïëîøíàÿ êðèâàÿ ïîêàçûâàåòìîìåíò âðåìåíè t = 160, ïóíêòèðíàÿ t = 240, øòðèõîâàÿ t = 320, øòðèõïóíêòèðíàÿ t = 400.Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî A(x)B(x) > 1, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî òî÷êà ïîêîÿ (φ2 , ψ2 )ÿâëÿåòñÿ ñåäëîâîé. Òî÷êà ïîêîÿ (φ3 , ψ3 ) ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì óçëîì. Ýòî ïîêàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî òîìó, êàê èññëåäóåòñÿ óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ(φ3 , ψ3 ).Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì â òîé îáëàñòè, ãäå A(x)B(x) > 1 òðè êîðíÿ, èçêîòîðûõ äâà ÿâëÿþòñÿ óñòîé÷èâûìè, à òðåòèé íåóñòîé÷èâûì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
