Диссертация (1103913), страница 12
Текст из файла (страница 12)
24. Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà z îò âðåìåíè. Ñïëîøíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ãåíåðàòîðó ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, âñòðîåííîìó â ÿçûê Visual C++, ïóíêòèðíàÿ âñòðîåííîìó â ÿçûê Visual Basic.ãäå Cn ïåðåõîäíàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ ïðè Kn > 0 èìååò âèä:(Cn =√√√ )cos Kn− Kn sin Kn,√√√1 sin KncosKnKnà ïðè Kn ≤ 0 :(Cn =√√ch −Kn√√ 1sh−Kn−Kn)√−Kn sh −Kn.√ch −KnÒîãäà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü âûðàæåíî ÷åðåç íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:y(n) = y(0)C1 C2 ...Cn .Òàêèì îáðàçîì, ïîèñê ðåøåíèÿ äëÿ t = 1, 2, ..., n, ...
ìîæåò áûòü ñâåäåí êâû÷èñëåíèþ ýëåìåíòîâ ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû, îïðåäåëÿåìîé âûðàæåíèåì:(C(n) =c11 c12)c21 c2283= C1 C2 ...Cn .300250200150100500050010001500tÐèñ. 25. Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà θ îò âðåìåíè. Ñïëîøíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ãåíåðàòîðó ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, âñòðîåííîìó â ÿçûê Visual C++, ïóíêòèðíàÿ âñòðîåííîìó â ÿçûê Visual Basic.Ãðàôèê äëÿ îäíîãî èç ýëåìåíòîâ äàííîé ìàòðèöû ïîêàçàí íà ðèñ. 23 Îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàñòóò ñõîäíûì îáðàçîì. Îòìåòèì, ÷òî ìû ïðèìåíÿëè äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äâà ðàçëè÷íûõ ñòàíäàðòíûõ ãåíåðàòîðà ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë,âñòðîåííûõ â ïàêåò Microsoft Visual Studio.
Îäèí èç íèõ âñòðîåí â ÿçûê ïðîãðàììèðîâàíèÿ Visual C++, âòîðîé â ÿçûê ïðîãðàììèðîâàíèÿ Visual Basic.Îáà ãåíåðàòîðà äàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë ñ ïåðèîäîìïîâòîðåíèÿ 232 , ÷òî âïîëíå äîñòàòî÷íî äëÿ íàøèõ öåëåé. Òåì íå ìåíåå, õîòåëîñüïðîâåðèòü, äåéñòâèòåëüíî ëè äàííûå ãåíåðàòîðû äàþò ïðèåìëåìûå ðåçóëüòàòû.Ìîæíî âèäåòü, ÷òî ýëåìåíò c11 ðàñòåò ñî âðåìåíåì ýêñïîíåíöèàëüíî, à ðåçóëüòàòû ñëàáî çàâèñÿò îò èñïîëüçóåìîãî ãåíåðàòîðà.Ïîñêîëüêó îïðåäåëèòåëü êàæäîé èç ìàòðèö Cn ðàâåí íóëþ, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ:C(n) = Z(n)D(n)U (n),84ãäå Z(n) âåðõíåòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà:(Z(n) =)1 z(n)01,D(n) äèàãîíàëüíàÿ:(D(n) =)exp(−θ(n))00exp(θ(n)),à U (n) îðòîãîíàëüíàÿ:(U (n) =cos φ(n)sin φ(n))− sin φ(n) cos φ(n).Ñîãëàñíî òåîðåòè÷åñêèì ïðåäñêàçàíèÿì [54], ôóíêöèÿ z(n) äîëæíà èìåòü íåêîòîðûé ïðåäåë ïðè n → ∞, çàâèñÿùèé îò êîíêðåòíîé ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíûõ÷èñåë, êîýôôèöèåíò t(n) äåìîíñòðèðîâàòü ðîñò, áëèçêèé ê ëèíåéíîìó, à óãîëφ ñîâåðøàòü íåêîòîðîå áëóæäàíèå ïî îêðóæíîñòè.
Ãðàôèêè äëÿ z(n) è θ(n)ïîêàçàíû íà ðèñ. 2425.5. Ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü äèíàìîÎïèñàííûå âûøå ïðîñòûå ïðåäñòàâëåíèÿ, ðàçðàáîòàííûå äëÿ ïðîñòîãî îäíîìåðíîãî îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ìîãóò áûòü ðàçâèòûè äëÿ óðàâíåíèé äèíàìî â ïëàíàðíîì ïðèáëèæåíèè.  òîì ñëó÷àå, åñëè èñïîëüçîâàòü áåçðàçìåðíûå åäèíèöû èçìåðåíèÿ (ðàññòîÿíèÿ èçìåðÿþòñÿ â ãàëàêòè÷åñêèõ ðàäèóñàõ R, ò.å. 0 < r < 1; âðåìåíà èçìåðÿþòñÿ â åäèíèöàõ h2 /η )è ïîëîæèòü |r ∂Ω∂r | ≈ 1, òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (8)-(9) ìîæåò áûòü çàïèñàíà âôîðìå [13, 46]:∂Brπ2∂ 1 ∂= −Rα Bφ − Br + λ2 { ((rBr ))};∂t4∂r r ∂r∂Brπ2∂ 1 ∂= −Rα Bφ − Br + λ2 { ((rBr ))}.∂t4∂r r ∂r853020100-2-1012Ðèñ. 26. Ïîâåäåíèå πn (θ) äëÿ ðàçëè÷íûõ θ ïðè p = 0.5.
Ñïëîøíàÿ êðèâàÿ ïîêàçûâàåò ñëó÷àé n = 20, ïóíêòèðíàÿ n = 50, øòðèõïóíêòèðíàÿ n = 100.Åñëè ìû áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî çâåçäîîáðàçîâàíèå ëîêàëüíîå ÿâëåíèå, õàðàêòåðèçóåìîå ñòîõàñòè÷åñêèìè çàêîíîìåðíîñòÿìè, òî êîýôôèöèåíòû, õàðàêòåðèçóþùèå ðàáîòó ìåõàíèçìà äèíàìî, äîëæíû ïðèíèìàòü ñëó÷àéíûå çíà÷åíèÿ.Íàïðèìåð, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíè îïèñûâàþòñÿ ìàðêîâñêèìè ïðîöåññàìè èâåäóò ñåáÿ êàê êóñî÷íî-ïîñòîÿííûå ôóíêöèè âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâà [46].Äëÿ ïðîñòîòû ïîëîæèì, ÷òî êîýôôèöèåíò, îòâå÷àþùèé çà äèôôåðåíöèàëüíîå âðàùåíèå, ïîñòîÿíåí è ðàâåí Rω = 10, à ñëó÷àéíîñòü çàêëþ÷åíà ëèøü â êîýôôèöèåíòå, îòâå÷àþùåì çà àëüôà-ýôôåêò (ýòî âïîëíå ðàçóìíî ñ ó÷åòîì òîãî,÷òî çâåçäîîáðàçîâàíèå ìåíÿåò â ïåðâóþ î÷åðåäü ìåëêîìàñøòàáíûå äâèæåíèÿñðåäû) [46]:0.1 ñ âåðîÿòíîñòüþ p;Rα =1 ñ âåðîÿòíîñòüþ (1 − p).(39)Âåðîÿòíîñòü p õàðàêòåðèçóåò èíòåíñèâíîñòü ïðîöåññîâ çâåçäîîáðàçîâàíèÿ (èëèæå äðóãèõ ÿâëåíèé, ìåíÿþùèõ ïàðàìåòðû ìåæçâåçäíîé ñðåäû).
Êàê ïðàâèëîìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî p ∼ κ (ñì. ïîäðîáíåå íèæå â 6).Ïðè ýòîì, Rα ïîñòîÿííà íà ïîëóèíòåðâàëàõ âðåìåíè 0 ≤ t < ∆t, ∆t ≤ t <862∆t, ..., n∆t ≤ t < (n + 1)∆t, ...  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ áðàëîñü ∆t = 0.01.Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ áåñêîíå÷íî òîíêîãî äèñêà è ïðåíåáðåæåì äèôôóçèåéâ ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè [105]. Òîãäà λ = 0 è óðàâíåíèÿ äèíàìî çàïèøóòñÿâ ôîðìå:dBrπ2= −Rα Bφ − Br ,(40)dt4dBφπ2= −Rω Br − Bφ .(41)dt4Ñðàçó îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå Rα = 0.1 äèíàìî-÷èñëî D = 1, ïîýòîìó ìàãíèòíîåïîëå ìîæåò ëèøü çàòóõàòü ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. Íàïðîòèâ, ïðè Rα = 1 D = 10è ìàãíèòíîå ïîëå äîëæíî äåìîíñòðèðîâàòü ðîñò.
Òåì íå ìåíåå, ïîêà íå áóäåìîãðàíè÷èâàòüñÿ ñëó÷àåì äâóõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé Rα è ïîëó÷èì ðÿä ðåçóëüòàòîâ, âåðíûõ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:R ñ âåðîÿòíîñòüþ p1 ; 1Rα = ...RN ñ âåðîÿòíîñòüþ pN ,(42)ãäå p1 + ... + pN = 1.Ââåäÿ âåêòîð-ñòðîêó:B = (Br , Bφ ),ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü óðàâíåíèÿ â ìàòðè÷íîé ôîðìå [105]:(2− π4−Rωd(Br , Bφ ) = (Br , Bφ )2dt−Rα − π4)Ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ â òî÷êàõ tn = n∆t ìîæåò áûòü âûðàæåíî ÷åðåçðåøåíèå íà ïðåäûäóùåì øàãå tn−1 = (n − 1)∆t [54]:( 2 )πB(n∆t) = B((n − 1)∆t) exp − ∆t An ,4ãäå An ìàòðèöà ïåðåõîäà îò îäíîãî øàãà ê äðóãîìó:√(√(√))Rωch Rα Rω ∆t− Rα sh Rα Rω ∆t.An = √(√)(√)Rα− Rω sh Rα Rω ∆tch Rα Rω ∆t87(43)1010B101010101010-1-2-3-4-5051015tÐèñ. 27. Ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè (40)(41)äëÿ ðàçëè÷íûõ p. Ñïëîøíàÿ êðèâàÿ ïîêàçûâàåò ñëó÷àé p = 0.20, ïóíêòèðíàÿ p = 0.40, øòðèõïóíêòèðíàÿ p = 0.60.Òîãäà äàííûé ïðîöåññ ìîæíî ïðîäîëæèòü è âûðàçèòü ðåøåíèå ÷åðåç ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö ïåðåõîäà:( 2 )πB(n∆t) = B(0)A1 ...An exp − t .4Ââåäåì óãîë θ, õàðàêòåðèçóþùèé íàïðàâëåíèå âåêòîðà ìàãíèòíîãî ïîëÿ [40,46]:Bφ.(44)BrÄëÿ êàæäîãî ìîìåíòà âðåìåíè tn = n∆t óãîë θ áóäåò èìåòü íåêîòîðóþ ïëîòtg θ =íîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ πn (θ).
Ïëîòíîñòü â ñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè tn+1 =(n + 1)∆t ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà:∫ +π/2πn (θ) =p(θ, χ)πn−1 (χ)dχ.−π/2(45)Ôóíêöèÿ p(θ, χ) íàçûâàåò ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòüþ [40]. Êàê ïðàâèëî, âû÷èñëåíèå äàííîãî èíòåãðàëà êðàéíå ñëîæíî è âîçìîæíî ëèøü ÷èñëåííî. Íî â íà88øåì ñëó÷àå äèñêðåòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âçàèìîñâÿçü ìåæäó ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü íàéäåíà ÿâíî.Òåîðåìà 2. Ïóñòü â óðàâíåíèè (40)(41) êîýôôèöèåíò Rω ïîñòîÿíåí, àRα ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êóñî÷íî-ïîñòîÿííóþ ôóíêöèþ, ïðèíèìàÿ íà îòðåçêàõ(n − 1)∆t ≤ t < n∆t ñëó÷àéíîå çíà÷åíèå, îïèñûâàåìîå (42).
Ïóñòü, êðîìåòîãî, íà êàæäîì øàãå îïðåäåëåíà ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ óãëà θ, çàäàííàÿïî ôîðìóëå (44). Òîãäà ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íà êàæäîì ñëåäóþùåì øàãåìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå:πn (θ) =∑pi πn−1 (gi (θ))|Di (gi (θ))|,iãäå:)(√)sh Ri Rω ∆t + sin θ ch Ri Rω ∆t cos θ√gi (θ) = arctg (√)) ,(√Ricos θ ch Ri Rω ∆t + sin θ Rω sh Ri Rω ∆t√RωRi(√(46)(√) RRiωDi (χ) = shRi Rω ∆t (cos2 (χ) +sin2 χ)−RiRω√(√) (√)Rω− shRi Rω ∆t chRi Rω ∆t sin(2χ)(+Ri√(√)Ri2+) + chRi Rω ∆t .(47)RωÄîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ íà÷àëà îòìåòèì, ÷òî óãîë χ îïèñûâàåò ñîîòíîøåíèå2ìåæäó êîìïîíåíòàìè ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà (n − 1)-ì øàãå:tg χ =Bφ ((n − 1)∆t).Bφ ((n − 1)∆t)Åñëè ìû ðàññìîòðèì ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå χ = χ0 , òî ïåðåõîäíàÿ ïëîòíîñòü p(θ, χ0 ) ñîîòâåòñòâóåò ïëîòíîñòè óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè pχ0 (θ).
Åñëè êîýôôèöèåíòû îïèñûâàþòñÿ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì (42), òîp(θ, χ0 ) = pχ0 (θ) =∑i89pi δ(η − fi (χ0 )),ãäå δ(.) äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà, à fi ôóíêöèÿ, ñâÿçûâàþùàÿ çíà÷åíèÿ óãëîâ íà (n − 1)-ì è n-ì øàãå. Âû÷èñëèì äàííóþ ôóíêöèþ. Åñëè ââå-√Br2 (n∆t) + Bφ2 (n∆t), òî Br (n∆t) = Bn cos θ è√Bφ (n∆t) = Bn sin θ. Àíàëîãè÷íî Bn−1 = Br2 ((n − 1)∆t) + Bφ2 ((n − 1)∆t), òîñòè äëèíó âåêòîðà Bn =Br ((n − 1)∆t) = Bn−1 cos χ è Bφ ((n − 1)∆t) = Bn−1 sin χ.
Èñïîëüçóÿ ïåðåõîäíóþìàòðèöó (43), ïîëó÷èì:{Bn cos θ = Bn−1cos χ ch{Bn sin θ = Bn−1(√√− cos χ òàêîì ñëó÷àå√}√))Rω (√Rα Rω ∆t − sin χshRα Rω ∆t;Rα})(√)Rα (√shRα Rω ∆t + sin χ chRα Rω ∆t.Rω)(√)(√Rα Rω ∆t + sin χ ch Rα Rω ∆t√tg θ =(√)(√) ,Rωcos χ ch Rα Rω ∆t − sin χ Rα sh Rα Rω ∆t− cos χRαRωshà äëÿ ôóíêöèè ïåðåõîäà äëÿ äàííîãî i ïîëó÷èì:(√)(√)sh Ri Rω ∆t + sin χ ch Ri Rω ∆t − cos χ√fi (χ) = arctg (√)(√) .Rωcos χ ch Ri Rω ∆t − sin χ Ri sh Ri Rω ∆t√RiRωÄëÿ èíòåãðàëà (45) ìû ïîëó÷àåì:∫πn (θ) =+π/2−π/2(∑)pi δ(θ − fi (χ)) πn−1 (χ)dχ.iÑîãëàñíî ïðàâèëàì âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ îò äåëüòà-ôóíêöèé, ìû ïîëó÷àåì:πn (θ) =∑piiπn−1 (χi ),|fi′ (χ)|ãäå χi îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîáðàæåíèé:θ − χi = 0.90 ñâîþ î÷åðåäü χi âûðàæàåòñÿ ÷åðåç θ ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé ôóíêöèè:χi = gi (θ).Âîîáùå ãîâîðÿ, ôóíêöèÿ gi ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ê fi . Òåì íå ìåíåå, ìû âû÷èñëèì åå íåìíîãî èç àëãåáðàè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé.
Îáðàòíàÿ ìàòðèöà ê Anâûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:√(√RωRαsh Rα Rω ∆t(√)ch Rα Rω ∆tA−1n =)) ch Rα Rω ∆t√(√) .RαRα Rω ∆tRω sh(√Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð B íà ïðåäûäóùåì øàãå ìîæåò áûòü âûðàæåí ïîôîðìóëå:B((n − 1)∆t) = B(n∆t)A−1n .Êîìïîíåíòû âåêòîðà íà ïðåäûäóùåì øàãå áóäóò âûãëÿäåòü òàê:{Br ((n − 1)∆t) = B√cos θ}()()√√RωshRα Rω ∆t + sin θ chRα Rω ∆t;Rα}√())(√√RαRα Rω ∆t + sin θshRα Rω ∆t.cos θ chRω{Bφ ((n − 1)∆t) = BÒîãäà óãîë χ, õàðàêòåðèçóþùèé ïîëå íà (n − 1)-ì øàãå, îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì:χ = arctgBφ ((n − 1)∆t)= fi (θ),Br ((n − 1)∆t)ãäå fi ñîîòâåòñòâóåò Rα = Ri :)sh Ri Rω ∆t + sin θ ch Ri Rω ∆t cos θ√gi (θ) = arctg (√(√)) .Ricos θ ch Ri Rω ∆t + sin θ Rω sh Ri Rω ∆t√RωRi(√)Òîãäà ïëîòíîñòü áóäåò èìåòü âèä:πn (θ) =∑pii91πn−1 (gi (θ)).|fi′ (gi (θ))|(√Îñòàëîñü âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ fi (χ) :fi′ (χ) =ãäå1,Di (χ)(√) RRiωDi (χ) = shRi Rω ∆t (cos2 (χ) +sin2 χ)−RiRω√√(√(√) (√))RωRi2− shRi Rω ∆t chRi Rω ∆t sin(2χ)(+) + chRi Rω ∆t .RiRωÈíà÷å ãîâîðÿ,∑πn (θ) =pi πn−1 (gi (θ))|Di (gi (θ))|,2iãäå ôóíêöèè gi è Di èìåþò âèä (46) è (47).
Òåîðåìà äîêàçàíà.Âîçìîæíîñòü ÿâíîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (45) äàåò âîçìîæíîñòü ñóùåñòâåííî ñîêðàòèòü îáúåì âû÷èñëåíèé ïðè èññëåäîâàíèè ïîâåäåíèÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè πn (θ). Êàê ïðàâèëî, â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ äàííûé èíòåãðàëñ÷èòàåòñÿ ÷èñëåííî, ÷òî òðåáóåò èñïîëüçîâàíèÿ ñîâðåìåííûõ ñóïåðêîìïüþòåðîâ [40].  òî æå âðåìÿ, íàø ìåòîä ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü êðàéíå áûñòðûå âû÷èñëåíèÿ è òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ âïîëíå ïî ñèëàì è äëÿ ïåðñîíàëüíîãîêîìïüþòåðà.Ïðè áîëüøèõ n ôóíêöèÿ πn (θ) èìååò íåêîòîðûé ïðåäåë:lim πn (θ) = π∞ (θ).n→∞Ìîæíî çàêëþ÷èòü (ñì. ðèñ.), ÷òî ïðè n → ∞ ôóíêöèÿ èìååò ñâîèì ïðåäåëîìäåëüòà-ôóíêöèþ (çàìåòèì, ÷òî ïðè íåïðåðûâíîé ïåðåõîäíîé ïëîòíîñòè p(θ, χ)ïðåäåë òîæå áóäåò íåïðåðûâíûì).
Ïîëîæåíèå åå ïèêà θ = θmax îïðåäåëÿëîñüïóòåì ÷èñëåííûõ âû÷èñëåíèé. Äàëåå, ìîæíî ïîêàçàòü [40], ÷òî ñêîðîñòü ðîñòàòèïè÷íîãî ðåøåíèÿ ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî ôîðìóëå:γ=π21< ln |wAn | > − ,∆t492ãäå w = (cos θ, sin θ) è óãîë α èìååò ðàñïðåäåëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå π∞ (α). Âñëó÷àå äåëüòîîáðàçíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ:γ=èëè:1π2ln |(cos θmax , sin θmax )An | − ,∆t4)√)()√1Rωγ=ln |pi cos θmax chRi Rω ∆t − sin θmaxshRi Rω ∆ter +∆tRii()√()()∑√√Riπ2+pi − cos θmaxshRi Rω ∆t + sin θmax chRi Rω ∆teφ | − .Rω4∑((√iÝòî âûðàæåíèå ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â ôîðìå:(())2√()()√√1Rωpi cos θmax ch+γ=ln(Ri Rω ∆t − sin θmaxshRi Rω ∆t∆tRii(())2√()()∑√√Ri+pi − cos θmaxsh)1/2 −Ri Rω ∆t + sin θmax chRi Rω ∆tRω∑iπ2− .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
