Маломодовое приближение в задаче звёздного динамо (1103654), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Áûë ïðîâåäåí ñðàâíèòåëüíûéàíàëèç òåîðåòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ ñ ðåçóëüòàòàìè àñòðîíîìè÷åñêèõ íàáëþäåíèé.Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ äèññåðòàöèè, âûíîñèìûå íàçàùèòó1. Ðàçðàáîòàí ìåòîä ìàëîìîäîâîãî ïðèáëèæåíèÿ, áàçèðóþùèéñÿ íà àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèé çâåçäíîãî äèíàìî íåñêîëüêèìè ñïåöèàëüíî îòîáðàííûìè ìîäàìè.
Ïðè ýòîì êà÷åñòâåííûå ñâîéñòâà óðàâíåíèé ñîõðàíÿþòñÿ. Ìåòîä ïðèìåíåí ê íåñêîëüêèì âàæíûì çàäà÷àì àñòðîôèçèêè.2. Íà îñíîâàíèè àíàëèçà êîíå÷íîìåðíûõ çàäà÷ ïîêàçàíî, ÷òî â ïîëíîñòüþ êîíâåêòèâíûõ çâåçäàõ îæèäàåòñÿ öèêëè÷åñêàÿ àêòèâíîñòü, ïðè6÷åì âîëíà, õàðàêòåðèçóþùàÿ ðàñïðîñòðàíåíèå òîðîèäàëüíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ, áóäåò ñòîÿ÷àÿ.3. Óñòàíîâëåíî, ÷òî ìàëîìîäîâàÿ àïïðîêñèìàöèÿ â êèíåìàòè÷åñêîé è íåëèíåéíîé ìîäåëè äàåò áîëüøîå ðàçíîîáðàçèå ðåæèìîâ â ðàçíûõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ îáëàñòÿõ, êîòîðûå âîñïðîèçâîäÿò îñíîâíûå ñâîéñòâà ñîëíå÷íîãî è çâåçäíîãî äèíàìî.Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòüÍàêîïëåííûé îïûò àñòðîôèçè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé ïîêàçûâàåò, ÷òî àñòðîíîìè÷åñêèå íàáëþäåíèÿ íóæäàþòñÿ â ïëàíèðîâàíèè.
Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïîëåçíûì íà êà÷åñòâåííîì óðîâíå ïîíÿòü, êàêèå èìåííî âåëè÷èíûìû äîëæíû íàáëþäàòü. Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â äèññåðòàöèè, ìîãóò áûòüïðèìåíåíû äëÿ èññëåäîâàíèÿ çàäà÷ àñòðîôèçèêè â Ãîñóäàðñòâåííîì Àñòðîíîìè÷åñêèì èíñòèòóòå èì. Ï.Ê. Øòåðíáåðãà, Ôèçè÷åñêîì èíñòèòóòå èì.Ï.Í. Ëåáåäåâà, Èíñòèòóòå çåìíîãî ìàãíåòèçìà, èîíîñôåðû è ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàäèîâîëí èì. Í.Â. Ïóøêîâà Ðîññèéñêîé Àêàäåìèè íàóê è äðóãèõàñòðîíîìè÷åñêèõ èíñòèòóòàõ.Âêëàä àâòîðàÎñíîâíûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷åííûå â äàííîé äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå áûëè âïåðâûå ïîëó÷åíû àâòîðîì. Ïîñòàíîâêîé çàäà÷è, îáñóæäåíèåì è àíàëèçîì íàó÷íûõ ðåçóëüòàòîâ çàíèìàëñÿ Ä.Ä. Ñîêîëîâ. Âî âòîðîé ãëàâå äèññåðòàöèè ñ öåëüþ îçíàêîìëåíèÿ áûëè ïðèâåäåíû ñ êîììåíòàðèÿìè ðåçóëü-7òàòû àñòðîíîìè÷åñêèõ íàáëþäåíèé, ïðîàíàëèçèðîâàííûõ Ñ.À.Ëàìçèíûì èÀ.À.Åðìàøîì.Àïðîáàöèÿ ðàáîòûÐåçóëüòàòû ðàáîòû äîêëàäûâàëèñü íà ñëåäóþùèõ êîíôåðåíöèÿõ:• Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ International Astrophysical Union Symposium259, Santiago, Tenerife, Spain, November 3-7, 2008,• XV ìåæäóíàðîäíàÿ íàó÷.
êîíô. ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è ìîëîäûõ ó÷åíûõ "Ëîìîíîñîâ Ìîñêâà, 2008,• XI Ïóëêîâñêàÿ ìåæäóíàðîäíàÿ êîíô. ïî ôèçèêå Ñîëíöà Ôèçè÷åñêàÿïðèðîäà ñîëíå÷íîé àêòèâíîñòè è ïðîãíîçèðîâàíèå åå ãåîôèçè÷åñêèõïðîÿâëåíèé, ÃÀÎ ÐÀÍ, Ïóëêîâî, ÑÏá, 2007,• 16-ûå ìàòåì. ÷òåíèÿ Ðîññèéñêîãî Ãîñóäàðñòâåííîãî Ñîöèàëüíîãî Óíèâåðñèòåòà, Ðóçà, 2007,• 17-ûå ìàòåì. ÷òåíèÿ Ðîññèéñêîãî Ãîñóäàðñòâåííîãî Ñîöèàëüíîãî Óíèâåðñèòåòà, Ðóçà, 2008.ÏóáëèêàöèèÏî òåìå äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíî 9 ðàáîò (5 ñòàòåé â ïå÷àòíûõ íàó÷íûõ æóðíàëàõ, 2 ñòàòüè â ñáîðíèêàõ òðóäîâ êîíôåðåíöèé è 2 òåçèñà êîíôåðåíöèé).  æóðíàëàõ èç ñïèñêà ÂÀÊ ÐÔ îïóáëèêîâàíî 4 ñòàòüè.8Ñòðóêòóðà è îáú¼ì äèññåðòàöèèÄèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç òèòóëüíîãî ëèñòà, îãëàâëåíèÿ, ââåäåíèÿ, òðåõãëàâ, çàêëþ÷åíèÿ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû.
Îáú¼ì äèññåðòàöèè ñîñòàâëÿåò 130ñòðàíèö.  íåé èìååòñÿ 28 ðèñóíêîâ.  ñïèñêå ëèòåðàòóðû 68 íàèìåíîâàíèé.Êëþ÷åâûå ñëîâàÄèíàìî, äèíàìî-÷èñëî, αω -äèíàìî, α−ýôôåêò, äèôôåðåíöèàëüíîå âðàùåíèå, áàòòåðôëÿé-äèàãðàììà, òîðîèäàëüíîå è ïîëîèäàëüíîå ìàãíèòíîåïîëå, êîíâåêòèâíàÿ çîíà, ìàãíèòíàÿ ñïèðàëüíîñòü, êðóïíîìàñøòàáíîå ìàãíèòíîå ïîëå.ÊÐÀÒÊÎÅ ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈÈÂî ââåäåíèè êðàòêî îïèñàíû îñíîâíûå èäåè äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû èïðåäëîæåííûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ çàäà÷ çâåçäíîãî äèíàìî. Îïèñûâàþòñÿöåëè äèññåðòàöèè, å¼ îñíîâíûå íàó÷íûå ðåçóëüòàòû è îáëàñòè èõ ïðèìåíåíèÿ. Ðàññêàçûâàåòñÿ î äîêëàäàõ è ïóáëèêàöèÿõ àâòîðà, ïîñâÿù¼ííûõ âîïðîñàì, èññëåäóåìûì â äèññåðòàöèè.
Ïðèâîäèòñÿ êðàòêîå ñîäåðæàíèå äèññåðòàöèè ïî ãëàâàì. ïåðâîé ãëàâå îïèñûâàåòñÿ ïðèìåíåíèå ìåòîäà ìàëîìîäîâîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ äâóõ ìîäåëåé - ìîäåëè, îïèñûâàþùåé ãåíåðàöèþ ìàãíèòíîãîïîëÿ â ïîëíîñòüþ êîíâåêòèâíûõ çâåçäàõ, ïðåäëîæåííîé Ðýäëåðîì è ìîäåëè ãåíåðàöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â çâåçäàõ ñ òîíêîé êîíâåêòèâíîé îáîëî÷êîé,ïðåäëîæåííîé Ïàðêåðîì.9Ïðîöåññ ãåíåðàöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïîëíîñòüþ êîíâåêòèâíûõ çâåçäàõìîæíî îïèñàòü óðàâíåíèåì∂B= Rα rotαB + Rω rot[V × B] + ∆B.∂t(2)Çäåñü B - êðóïíîìàñøòàáíîå ìàãíèòíîå ïîëå, α - àëüôà-ýôôåêò, V - ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü äèôôåðåíöèàëüíîãî âðàùåíèÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω,Rα = α0 R/β è Rω = ΩR/β (R - ðàäèóñ çâåçäû) - áåçðàçìåðíûå ÷èñëà,àíàëîãè÷íûå èçâåñòíîìó â ãèäðîäèíàìèêå ÷èñëó Ðåéíîëüäñà, õàðàêòåðèçóþò èíòåíñèâíîñòü èñòî÷íèêîâ ãåíåðàöèè - α-ýôôåêòà è äèôôåðåíöèàëüíîãî âðàùåíèÿ, ñîîòâåòñòâåííî.
Ìàãíèòíîå ïîëå â ïðîñòðàíñòâå îêðóæàþùåìçâåçäó îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò â âàêóóìíîì ïðèáëèæåíèè (∆B = 0). çàäà÷å äèíàìî èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ðåøåíèÿ, óáûâàþùèå íà ïðîñòðàíñòâåííîé áåñêîíå÷íîñòè. Çäåñü ìû ðàññìàòðèâàåì ò.í. êèíåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó, â êîòîðîé ñâîéñòâà òå÷åíèÿ (V, α è β ) ñ÷èòàþòñÿ çàäàííûìè. Òîãäà èíòåðåñóþùàÿ íàñ çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ çàäà÷åé íà ñîáñòâåííûåâåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, òàê ÷òî ðåøåíèå èùåòñÿ â âèäå B(r, t) =B(r)eγt , ãäå γ - êîìïëåêñíàÿ ñêîðîñòü ðîñòà, åå ìíèìàÿ ÷àñòü îïðåäåëÿåòïåðèîä öèêëà.
Åñëè äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü γ ïîëîæèòåëüíà, òî ìû èìååìäåëî ñ ñàìîâîçáóæäåíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ, à åñëè îòðèöàòåëüíà - òî ñ çàòóõàíèåì. Çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ èìååò, âîîáùå ãîâîðÿ, ìíîãîñîáñòâåííûõ ðåøåíèé, ìû èíòåðåñóåìñÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé ñ íàèáîëüøèì Re γ (ëèäèðóþùåé ìîäîé).Åñòåñòâåííî, ñêîðîñòü ðîñòà çàâèñèò îò Rα è Rω . Åñëè Rα è Rω ðàâíûíóëþ, òî ñêîðîñòü ðîñòà ñîâïàäàåò ñî ñòàðøåé ìîäîé ñâîáîäíîãî çàòóõàíèÿ.Åñëè Rω è Rα äîñòàòî÷íî âåëèêè, òî, êàê ïîêàçûâàåò îïûò ïðÿìîãî ÷èñëåí10íîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, âîçíèêàþò ðàñòóùèå (ñ îñöèëëÿöèÿìè) ñîáñòâåííûåðåøåíèÿ, ò.å. âîçíèêàåò ÿâëåíèå äèíàìî. Íà ïëîñêîñòè Rα , Rω âîçíèêàåòíåêîòîðàÿ ëèíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîðîãó ãåíåðàöèè. Íà ýòîé ëèíèè ìàãíèòíîå ïîëå ìàðãèíàëüíî óñòîé÷èâî.
Íà ïðàêòèêå èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò íàõîæäåíèå ïîðîãà ãåíåðàöèè è ñòðîåíèÿ ðàñòóùåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ âáëèçèýòîãî ïîðîãà.Ïîðîã ãåíåðàöèè ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèÿì, ïðè êîòîðûõ ãåíåðèðóþùèåýôôåêòû (ñïèðàëüíîñòü è äèôôåðåíöèàëüíîå âðàùåíèå) íåâåëèêè, îíè ëèøüâ ñîñòîÿíèè êîìïåíñèðîâàòü äèññèïàòèâíûå ïîòåðè (ëàïëàñèàí). Ìîæíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå èñêîìàÿ êîíôèãóðàöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ õîðîøîàïïðîêñèìèðóåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé íåñêîëüêèõ ñòàðøèõ (ìåäëåííååâñåãî óáûâàþùèõ âî âðåìåíè) ìîä ñâîáîäíîãî çàòóõàíèÿ. Íà ýòîì è îñíîâàíïðåäëàãàåìûé ìåòîä.Ìû èùåì ðåøåíèå â âèäå B(r, t) =PN(0)(i)i=1 B (r) exp (γi t),ãäå i - íîìåðñîáñòâåííîãî ðåøåíèÿ.
Ïðè ýòîì ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî îñåñèììåòðè÷íûå ìîäû, îáëàäàþùèå äèïîëüíîé ñèììåòðèåé, ò.å. àíòèñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî ýêâàòîðà.  ãàëàêòè÷åñêîì äèíàìî, îäíàêî, ïðåîáëàäàþò êîìïîíåíòû ñ êâàäðóïîëüíîé ñèììåòðèåé.  ñëó÷àå íàøåé ìîäåëè çâåçäíîãîäèíàìî, ìû ïðîâåðèëè, êâàäðóïîëüíûå êîìïîíåíòû íå ó÷àñòâóþò â ïðîöåññå ãåíåðàöèè.Ìû âûáèðàåì íåñêîëüêî ïåðâûõ ìîä ñâîáîäíîãî çàòóõàíèÿ, ðàññìàòðèâàåì ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â ïðîñòðàíñòâå ìàãíèòíûõ ïîëåé, íàòÿíóòîåíà ýòè ìîäû, è ïðîåêòèðóåì óðàâíåíèå äèíàìî ñðåäíèõ ïîëåé (2) íà ýòîïîäïðîñòðàíñòâî.11 ðàìêàõ íàøåãî àíàëèçà íàì íóæíî íàéòè ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâîìîä, êîòîðûå êà÷åñòâåííî ïðàâèëüíî îïèñûâàþò ïðîöåññ ãåíåðàöèè. Îòòàëêèâàÿñü îò îïûòà äåòàëüíîãî ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ìû îæèäàåì, ÷òîïåðâîé âîçáóæäàåòñÿ îñöèëëèðóþùàÿ ìîäà.
Ïîýòîìó ìû áåðåì âíà÷àëå îäíó ìîäó è ïðîåêòèðóåì íà íåå óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ïðîöåññ ãåíåðàöèè.Ïîëó÷àåòñÿ îäíîìåðíàÿ ñïåêòðàëüíàÿ çàäà÷à, êîòîðàÿ, êàê îêàçûâàåòñÿ,èìååò òîëüêî çàòóõàþùåå ðåøåíèå. Ïîòîì ìû äîáàâëÿåì ê íàøåìó áàçèñóñëåäóþùóþ ïî ñòåïåíè óáûâàíèÿ ìîäó, à èìåííî äóáëåò. Âîçíèêàåò ñïåêòðàëüíàÿ çàäà÷à äëÿ ìàòðèöû 3 × 3, êîòîðàÿ, êàê âûÿñíÿåòñÿ, òàêæå íåèìååò îñöèëëèðóþùèõ ðàñòóùèõ ðåøåíèé.
Ïîòîì ìû ïîñëåäîâàòåëüíî äîáàâëÿåì ê íåé ñëåäóþùèå ìîäû, ïîêà íå ïîëó÷èì êàðòèíó â êîòîðîé ïåðâîéâîçáóæäàåòñÿ îñöèëëèðóþùàÿ ìîäà. Ýòî ïðîèñõîäèò ïðè ÷èñëå ìîä N = 8.Ïîòîì ìû äîáàâèëè â ñïåêòð åùå îäíó ìîäó è âûÿñíèëè, ÷òî êàðòèíà óñòîé÷èâà.Âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî ïîëó÷èâøàÿñÿ êàðòèíà ñàìîâîçáóæäåíèÿ ìàãíèòíîãîïîëÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíà è åå îïèñàíèå òðåáóåò îòíîñèòåëüíî áîëüøîãî ÷èñëà ìîä. Ìû ïîëàãàåì, ÷òî îò÷àñòè ýòà ñëîæíîñòü ÿâëÿåòñÿ èñêóññòâåííîéè íåêîòîðûå èç èñïîëüçîâàííûõ ìîä íà ñàìîì äåëå ïðàêòè÷åñêè íå ó÷àñòâóþò â ñàìîâîçáóæäåíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïðÿìûì ïåðåáîðîì, óñòðàíÿÿèç èçó÷àåìîãî íàáîðà îòäåëüíûå ìîäû è ñâÿçè ìåæäó íèìè, ìû íàõîäèì,êàêèå èç ìîä è ñâÿçåé ìåæäó íèìè âàæíû äëÿ ïîëó÷åíèÿ êà÷åñòâåííî ïðàâèëüíîé êàðòèíû (ò.å.
âîçáóæäåíèÿ îñöèëëèðóþùåãî ðåøåíèÿ). Îêàçàëîñü,÷òî ïîëîèäàëüíûé ñèíãëåò P3 è äóáëåò T2,P4 íå âëèÿþò íà ïðàâèëüíîñòüêàðòèíû, òàêèì îáðàçîì äëÿ ïîëó÷åíèÿ êà÷åñòâåííî âåðíîé êàðòèíû ãåíåðàöèè äîñòàòî÷íî âçÿòü íå 8, à 5 áàçèñíûõ ôóíêöèé: P1, T1, P2, T3, P5.12Ïîäñòàâëÿÿ â èñõîäíîå óðàâíåíèå (2) ðåøåíèÿ â èñêîìîì âèäå ïîëó÷àåìçàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ âåêòîðà C, ñîñòàâëåííîãî èç êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïî äàííûì ìîäàì äëÿ ìàòðèöû(5 × 5):(γE − M )C = Ŵ C.(3)Çäåñü E - åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, M - äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìèMii = γi .Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû Ŵ ñîñòîÿò èç ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèéâèäàZWij =B∗i L̂Bj ,ãäå âåêòîðû Bi ïðè èçìåíåíèè èíäåêñà i ïîñëåäîâàòåëüíî ïðîáåãàþò â ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå âñå ìîäû çàòóõàíèÿ (çâåçäî÷êà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå).
Îïåðàòîð L̂ îïèñûâàåò èñòî÷íèêè ãåíåðàöèè è èìååòL̂ = Rω rot [V × ·] + Rα rot (α·) .Çäåñü òî÷êîé îòìå÷åíî ìåñòî, êóäà íóæíî ïîäñòàâèòü ìîäó, íà êîòîðóþäåéñòâóåò îïåðàòîð.Ïðè âû÷èñëåíèè Wij ìû âûáðàëè ïàðàìåòðû V = 1 − exp(−r), α =r cos θ. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ìîäåëè èññëåäîâàëèñü ðàçëè÷íûåáëèçêèå ðàñïðåäåëåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî âðàùåíèÿ è α-ýôôåêòà. Ðåçóëüòàòû äåéñòâèòåëüíî îêàçûâàþòñÿ óñòîé÷èâûìè è äëÿ êðàòêîñòè ìûîãðàíè÷èâàåìñÿ ëèøü îñíîâíîé ìîäåëüþ.13Åñëè ìû îãðàíè÷èâàåìñÿ ïåðâûìè N = 5 ìîäàìè çàòóõàíèÿ, òî óðàâíåíèÿ äèíàìî èìåþò N = 5 ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîîòâåòñòâóþùèõ èìñîáñòâåííûõ ôóíêöèé.
Ïðè ìàëûõ Rα è Rω ýòè ðåøåíèÿ çàòóõàþò, ò.å. èõñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ èìåþò îòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè. Ïî ìåðå ðîñòà Rα è Rω ïîÿâëÿþòñÿ ðàñòóùèå ìîäû ñ Re γ > 0. Äëÿ óïîðÿäî÷åíèÿñîîòâåòñòâóþùèõ ðåçóëüòàòîâ ìû ïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ïðè ðåàëèñòè÷åñêèõRα , êîòîðûå âñåãäà íåâåëèêè, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ïðîèçâåäåíèåì D = Rα Rω (ò.í. αω -äèíàìî). Ïîýòîìó ìû ôèêñèðóåì Rα = 0.5(ýòî çíà÷åíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðåàëèñòè÷åñêèì) è ìåíÿåì Rω .Çàôèêñèðîâàâ Rα , ðåøàÿ çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ïðè êàæäîì Rω ïîëó÷èì íàáîð ñêîðîñòåé ðîñòà γi , à òàêæåñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîáñòâåííûå âåêòîðû C1 , C2 , C3 , C4 è C5 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
