Линейный и квадратичный оптический отклик периодических квантовых ям (1103538), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Таким обра(α)зом, локальное поле Eω (α = s, p определяет поляризацию волны накачки)внутри n-го слоя удовлетворяет интегральному уравнению:!Ã(n,l)(α)Eω,α− 4iπ(ω/c2 ) ×E(α)ω (z) = T̃ω (z) ·(n,r)Ēω,αZ d/2 Z d/200000×Gω (z, z 0 ) · σ (ω) (z 0 , z 00 ) · E(α)(8)ω (z )dz dz ,−d/2−d/2(n,l)и, следовательно, определяется амплитудами прямой (Eω,α ) и обратной(n,r)(Ēω,α ) волн на, соответственно, левой и правой границах слоя.
В уравнении (8) Gω (z, z 0 ) - функция Грина волнового уравнения в бесконечном слое c(α)диэлектрической проницаемостью εqwω , а T̃ω (z) - блочный вектор:³´(α)(qw)(qw)T̃ω (z) = eω,α exp (z + d/2)ēω,α exp (d/2 − z) ,(9)(qw)(qw)где eω,α и ēω,α - вектора поляризации, соответственно, прямой и обратнойволны в среде с диэлектрической проницаемостью εqwω .Решая уравнение (8) и рассчитывая амплитуды расходящихся от слоя волн(n,r)(n,l)(Eω,α и Ēω,α ), приходим, в итоге, к матричному соотношению, связывающе--11 -му амплитуды прямой и обратной волн на противоположных границах слоя:Ã!Ã!(n,r)(n,l)»Eω,αEω,α= Mqw.(10)ω,α ·(n,r)(n,l)Ēω,αĒω,α»Матрица Mqwω,α является обобщением стандартной матрицы распространения оптического излучения в слое с локальным откликом.
Расчет поля вструктурах с чередующимися слоями с локальным и нелокальным откликомсводится к перемножению стандартных и обобщенных матриц оптическогораспространения. В §2 описаны процедура расчета коэффициента отраженияот ПКЯ-структуры, процедура расчета собственных мод в ПКЯ-структуре,и приведено сравнение результатов расчета коэффициента линейного отражения, полученных в рамках предложенного метода, стандартного методаматриц распространения и метода токовых экранов.В §3 рассматривается распространение поля на частоте второй гармоники.
В этом случае матричное уравнение, связывающее амплитуды волн начастоте 2ω, приобретает следующий вид:Ã!Ã!(n,r)(n,l)»» (n)E2ω,αE2ω,α(11)= Mqw+ Υ2ω,α ,2ω,α ·(n,r)(n,l)Ē2ω,αĒ2ω,α» (n)где обобщенный вектор нелинейных источников Υ2ω,α выражается через амплитуды волн на частоте накачки:X » (β,γ) (n,l)» (n)(n,l)S2ω,α : Eω,β Eω,γ.(12)Υ2ω,α =β,γ=s,p»(β,γ)В §3 получены соотношения, связывающие компоненты тензора S2ω,α с компонентами тензоров линейной и квадратичной проводимости слоя.Соотношение (11) позволяет рассчитывать квадратичный отклик структуры в полной аналогии со стандартным методом матриц распространения.В §3 получены выражения для амплитуд расходящихся от ПКЯ-структурыволн на частоте второй гармоники.В §4 в рамках формализма обобщенных матриц распространения и с использованием найденных в резонансном приближении тензоров линейной иквадратичной проводимости квантовых ям рассчитаны спектры интенсивности излучения второй гармоники, генерируемого ПКЯ-структурой Si − SiO2 ,для различных значений числа КЯ в структурах: 30, 40, 50 и 70.
Толщиныслоев кремния в этих структурах равны: 0.25, 0.5, 0.75 и 1 нм соответственно. На основании сравнения рассчитанных зависимостей с экспериментально-12 -Рис. 2: Спектры интенсивности излучения второй гармоники (ВГ), генерируемого ПКЯ-структурой Si − SiO2 . Рис. 2(а): аппроксимация экспериментальноизмеренных спектров. В рамках указаны параметры микроскопической модели, ∆12 и τ , которые обеспечивают наилучшее согласие. Рис. 2(б): спектрыинтенсивности ПКЯ-структур Si − SiO2 (d = 5 нм, ∆12 = 1.4 эВ, τ = 0.016 пс)с различным числом слоев N .-13 -измеренными спектрами [5]5 , были определены микроскопические параметры структур: энергия резонансных переходов в КЯ, ∆12 , и время релаксации электронной подсистемы, τ . Результаты сравнения и значения параметров микроскопической модели представлены на рис.
2(а). Рассчитанные спектральные зависимости находятся в согласии с экспериментальными даннымив области спектра вблизи резонанса.Для исследования влияния электромагнитного взаимодействия междуразличными КЯ структуры на генерацию второй гармоники квадратичныйотклик ПКЯ-структуры были рассчитаны спектры излучения второй гармоники, генерируемого ПКЯ-структурами Si − SiO2 с различным числом КЯ,которое варьировалось от 1 до 75; при этом толщина слоев кремния была одинаковой и равной 0.5 нм. Как видно из рис. 2(б), электромагнитноевзаимодействие приводит к тому, что левое (относительно положения резонанса) крыло спектра немного поднимается, а правое опускается.
Положениерезонанса немного сдвигается (для больших чисел КЯ) в красную областьспектра. “Электромагнитный” сдвиг (' 0.01 эВ) существенно меньше сдвига,обусловленного квантово-размерными эффектами (' 0.1 эВ).Глава IV посвящена параметризации линейного и квадратичного оптического отклика ПКЯ-структур.В §1 сформулированы основные задачи и перечислены основные приближения, используемые при их решении.
Главной задачей является получениесоотношений, которые связывают величины, определяющие распространениеизлучения в ПКЯ-структурах с квадратичной нелинейностью (обобщеннаяматрица распространения и обобщенный вектор нелинейных источников) снекоторым набором эффективных параметров, характеризующих микроскопические свойства отдельных КЯ в структуре. Эти параметры, во-первых,должны иметь прозрачный физический смысл, а во-вторых, должны являться наблюдаемыми величинами, которые возможно определить из спектровотклика ПКЯ-структур.Обобщенная матрица распространения и обобщенный вектор нелинейныхисточников параметризуются с точностью до членов порядка (dω/c)2 , включительно. С одной стороны, пренебрежение квадратичными членами приводит к существенной ошибке: в случае линейного отклика ошибка проявляетсяпри большом числе КЯ в структуре, а в случае квадратичного отклика ошибка проявляется уже для одной симметричной КЯ, так как отклик такой КЯ в5[5].
V. G. Avramenko, T. V. Dolgova, A. A. Nikulin et al., Subnanometer-scale sizeeffects in electronic spectra of Si/SiO2 multiple quantum wells: Interferometric second-harmonicgeneration spectroscopy, Phys.Rev.B 73, 155321 (2006).-14 -первом порядке по dω/c равен нулю. С другой стороны, члены третьего и более высоких порядков не вносят существенного вклада в оптический откликПКЯ-структур.В Главе IV (также как и в Главе III) используется предположение об однородности КЯ в плоскости, параллельной ее границам, так как это предположение лежит в основе обобщенного метода матриц распространения оптического излучения, в рамках которого и параметризуется отклик ПКЯструктуры.В §2 предложен способ параметризации линейного отклика отдельной КЯ.Для этого в тензоре линейной проводимости, σ(qx , ω, z, z 0 ), с помощью разложения (4) выделяется явная зависимость от тангенциальной компонентыволнового вектора, qx , а, следовательно, и от угла падения волны накачки θ.Этот тензор используется при расчете обобщенной матрицы оптического распространения с точностью до членов порядка (dω/c)2 , методом, описанным вГлаве III.
В итоге, в матрице распространения выделяется явная зависимостьот угла падения волны накачки:»(||)(⊥)(m)Mqwω,α (θ, ϑω , ϑω , {µω,α })=(ω,α)(⊥)M0 (θ, ϑ(||)ω , ϑω )+MαX(ω,α)µ(m)(θ),ω,α Mmm=1(13)где Mα зависит от поляризации волны накачки α = s, p. Компоненты матриц(⊥)(ω,α)(||)(θ) зависят от угла падения θ известным образом.M0 (θ, ϑω , ϑω ) и M(ω,α)mВ §2 получены явные выражения для этих матриц.(⊥)(m)(||)Параметры ϑω , ϑω и {µω,α }, где m = 1..Mα , полностью определяют линейный отклик отдельной КЯ.
Они зависят от частоты и не зависят от углападения излучения накачки. Они могут быть выражены через коэффициен(α,1)(α,0)ты, связывающие нулевой (Pω ) и первый (Pω ) моменты пространственного пространственного распределения поляризации внутри КЯ в перпендикулярном к границам раздела направлении:Z d/21(α)(α,m)Pω=z m Jω,0 (z)dz,m = 0, 1,(14)−iω −d/2(α)где Jω,0 (z) - ток внутри КЯ, со значениями компонент локального поля на(||)(⊥)(m)границах КЯ. Явные выражения параметров ϑω , ϑω и {µω,α } через компоненты тензора линейной проводимости приведены в Приложении 3.В §3 предложена параметризация линейного отклика ПКЯ-структуры как»целого.
Зная матрицу распространения Mqwω,α , можно рассчитать поле внутри-15 -ПКЯ-структуры, а также амплитуды отраженной и прошедшей через структуру волн. Таким образом, в предположении об одинаковости всех КЯ внутри(||)(⊥)(m)структуры параметры ϑω , ϑω и {µω,α }, m = 1..Mα , задают и отклик ПКЯструктуры как целого.Подход аналогичен расчету отклика реальных фотонных кристаллов, когда отклик слоев параметризуется с помощью значения эффективного коэффициента преломления слоев, причем этот параметр считается одинаковымдля “одинаковых” слоев фотонного кристалла.Параметры могут быть определены из экспериментально измеренной зависимости энергетического коэффициента отражения от ПКЯ-структуры отугла падения излучения накачки, R(θj ), j = 1...N̄ . Для определения парамет(||)(⊥)(m)ров ϑω , ϑω и {µω,α } необходимо минимизировать (по значениям параметров)квадратичную невязку:(⊥)(m)Dω(α) (ϑ(||)ω , ϑω , {µω,α })N̄i21 X h mqw2(||)(⊥)(m)=|r(θ, ϑω , ϑω , {µω,α })| − R(θj ) ,N̄ j=1 ω,α(15)(||)(⊥)(m)mqwгде rω,α(θ, ϑω , ϑω , {µω,α }) - коэффициент отражения от ПКЯ-структуры,рассчитанный методом, описанным в Главе III, с использованием матрицыраспространения (13).(m)(⊥)(||)В §3 получены численные оценки значений параметров ϑω , ϑω и {µω,α },m = 1..Mα , с использованием тензоров проводимости, найденных в двухуровневом приближении в Главе II.
Показано, что отклик ПКЯ-структуры на sполяризованное излучение накачки носит нерезонансный характер, а отклик(⊥)на p-поляризованное излучение задается единственным параметром ϑω , который по своему физическому смыслу близок к d⊥ -параметру Фейбельмана.Также показано, что учет членов разложения порядка (dω/c)2 приводит лишьк незначительному уточнению результатов расчета линейного отклика ПКЯструктур, не превышающему несколько процентов.В §4 предложен способ параметризации квадратичного отклика отдельнойКЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
