Диссертация (1103504), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(2.4)):h−th−t!Z!hI − e−Gt=Ght=e−Gt dτ0!!hht= e−Gt.hht(2.30)Лемма 5. Оператор U−t = Ut∗ = e−iHt допускает нормально упорядоченноеразложение1††††∗ −1U−t = Ut∗ = e−iHt = es−t e 2 (a ,ρt a )−(a ,ft ) : e(a ,((Φt )−I)a)1: e− 2 (a,Rt a)+(a,gt ) , (2.31)где матрицы Rt , ρt , вектора-столбцы gt , ft и скалярная функция s−t разложения выражаются через матрицы прямых канонических преобразований (2.2)следующим образомTRt = Φ−1t Ψt = Rt ,−1ρt = Ψt Φt = ρt T , ft = ht − ρt ht , gt = Φ−1t ht ,Z t 1s−t = −Tr Rτ A − (g τ , Ag τ ) + (g τ , h) dτ.20Доказательство. Доказательство аналогично доказательству Леммы 4 с заменой канонических преобразований (2.2) на обратные (2.24) и гамильтониана Hна −H.
Тогда, согласно Лемме 4 и Теореме 6, оператор Ut∗ можно переписать внормально упорядоченной форме1††††U−t = e−iHt = e−iHt = es−t e− 2 (a ,R−t a )−(a ,g−t ) : e(a ,(e55C−t−I)a)1: e 2 (a,ρ−t a)+(a,f −t ) ,где элементы разложения имеют видT∗ −1 T−1R−t = R−t= Φ−1= −ρt ,−t Ψ−t = −(Φt ) Ψt = −Ψt (Φt )e−C−t = Φ−t = Φ∗t ,ρ−t = Ψ−t (Φ−t )−1 = −ΨTt (ΦTt )−1 = −Φ−1t Ψt = −Rt ,∗ −1∗Tg−t = Φ−1−t h−t = (Φt ) (Φt ht − Ψt ht ) = ht − ρt ht = ft ,f −t = h−t − ρ−t h−t = −Ψ∗t ht + ΦTt ht + Ψ∗t (Φ∗t )−1 (Φ∗t ht − ΨTt ht ) = (Φt )−1 ht = g t ,Z t 1s−t = −Tr ρ−τ (−A) + (f −τ , (−A)f −τ ) + (f −τ , h) dτ20Z t 1Tr Rτ A − (g τ , Ag τ ) + (g τ , h) dτ,=−20что и требовалось доказать.Следует обратить внимание на то, что обратные канонические преобразования образуют набор из 2n интегралов движения системы (инвариантов), поскольку!!!aa−tahψ| † |ψi = hψ0 |Ut U−tUt U−t |ψ0 i = hψ0 | † |ψ0 i,aa−ta†(2.32)где |ψ0 i и |ψi состояния системы в момент времени t = 0 и произвольныймомент времени t соответственно.
Эти инварианты позволяют строить обобщенные когерентные состояния [19].2.5Скалярный член st и проблема индексаВ параграфе 2.3 была получена формула скалярного члена st путем дифференцирования нормальной факторизации оператора eiHt . Вычислим ее альтернативным способом с использованием выражения est = h0|eiHt |0i, котороеследует из Леммы 4.
Из определения вакуумного состояния имеемh0|eiHt (a, h)|0i = 0,h0|eiHt (a† , Ba)|0i = 0,h0|eiHt (a, Aa)|0i = 0,что приводит к дифференциальному уравнению1ṡt est = − h0|eiHt (a† , Aa† )|0i − h0|eiHt (a† , h)|0i.256(2.33)defПусть bt = a† − ρt a. Тогда, используя определение матриц Φt , Ψt и явноевыражение (2.18) матрицы ρt , получим†eiHt bt e−iHt = Φt a† + Ψt a + ht − Ψt Φ−1t (Φt a + Ψt a ) − ρt ht .−1 TTTTT −1TПоскольку из (2.8) следуют равенства Φt = (Φ−1t ) +Ψt Ψt (Φt ) , Ψt = (Φt ) Ψt Φtи ft = ht − ρt ht , тоeiHt bt e−iHt = (ΦTt )−1 a† + f t .(2.34)Используя (2.34), вычислим среднее значение оператора eiHt (a† , h) в вакуумномсостоянии:h0|eiHt (a† , h)|0i = h0|eiHt (bt , h)|0i = (f t , h) est .Учитывая свойство симметричности матрицы A, вычислим аналогичную величину для оператора eiHt (a† , Aa† ):h0|eiHt (a† , Aa† )|0i = h0|eiHt (bt + ρt a, Abt )|0i = h0|eiHt (bt , Abt )|0i +†stiHt+h0|e (ρt a, Aa )|0i = e (f t , Af t ) + Tr ρt A .Таким образом, на основе полученных равенств можно переписать выражение(2.33) в виде линейного ОДУ1ṡt + (f t , h) + (f t , Af t ) + Tr ρt A = 0.2Как и следовало ожидать, оно совпадает с последним уравнением системы(2.22), полученным в Теореме 6.
Его решение можно записать в интегральнойформеZ t 1Tr ρτ A + (f τ , Af τ ) + (f τ , h) dτ,st = −20f t = ht − ρt ht .(2.35)Единственным недостатком формулы (2.35) в многомодовом случае является низкая скорость численного интегрирования следа при компьютерных вычислениях.
С другой стороны, полученное соотношение корректно определеннодля любой матрицы G, даже в случае ее вырождения. Ниже будет полученаформула удобная для численной реализации при условии det G 6= 0.57RtЧтобы представить значение интеграла 0 Tr ρτ A dτ в виде алгебраическоговыражения, можно воспользоваться формулами Фейнмана для левой и правойпроизводных операторных экспонент, след которых равен следу производнойот оператора Ct :Z 1Z 11d s(Ct +∆tĊt ) −sCtdCt−CtLee= limds ee=ds esCt Ċt e−sCt ,Ċt =∆t→0 ∆t 0dtds0Z 1Z 1Z 1ĊtR =ds e−sCt Ċt esCt , Tr ĊtR =ds Tr e−sCt Ċt esCt =ds Tr Ċt = Tr Ċt .000(2.36)Пользуясь свойствами следа Tr (X + Y ) = Tr X + Tr Y и Tr XY = Tr Y X,убеждаемся, что Tr ĊtL = Tr ĊtR = Tr Ċt .Используя уравнения (2.6), выразим производные ĊtL , ĊtR следующим образом:d−1ĊtL =Φ−1Φt = −Φ−1tt Φ̇t = −Φt (Ψt A − iΦt B) = iB − Rt A,dtd −1R−1Ċt = ΦtΦt= −Φ̇t Φ−1t = −(AΨt − iBΦt )Φt = iB − Aρt .dt(2.37)Поскольку Tr CtL = Tr CtR = Tr Ct и eTr Ct = (det eCt ) = (det Φt )−1 , то получаем алгебраические выражения следующего интеграла, являющегося частьювыражения (2.35):tZZtTr Rτ A dτ = Tr (iBt − Ct ),Tr ρτ A dτ =(2.38)00ite− 2 Tr B√=.(±) det Φt(2.39)1e− 2 Tr B − 1 (a† ,Rt a† ) (a† ,(Φ−1t −I)a) : e 2 (a,ρt a) ,= √e 2:e± det Φtb 2 = i (a† , Aa† ) + (a† , Ba) − i (a, Aa).H22(2.40)e−Rt10 2Tr ρτ A dτitiHteb2tiH|h=0 = eЗнак (±) выбирается с учетом непрерывности выражений (2.39)-(2.40) по t.R1 titЕсли значения выражения e 2 0 Tr ρτ A dτ − 2 Tr B не вычислены на отрезке [0, t], то58√локальный выбор ветвей корня (±) det Φt невозможен.С целью обеспечить непрерывность функций в (2.39)-(2.40), введем в рассмотрение определение индекса.
Схожая проблема в квазиклассической квантовой теории была решена В.П. Масловым [20], введением понятия индекса дляклассических траекторий как разности между числом положительных и отрицательных собственных значений матрицы Гессе функционала действия вдольклассических траекторий в конфигурационном пространстве, связанном с гамильтонианом, набором начальных значений и независимых переменных, связанных с квантовым гамильтонианом.√Отметим, что численное значение z вычисляемое с помощью пакета WolframMathematica (MatLab, или другим современным вычислительным пакетом поумолчанию) выбирается согласно следующему правилу:√ppiiz = { |z|e 2 φ , если φ ∈ [0, π];|z|e 2 (φ−2π) , если φ ∈ (π, 2π)}.(2.41)поэтому φ = π — это точка, в которой функция фазы не является непрерывной [116].
В тоже время функция Φt в (2.39) непрерывна в начальный момент√времени Φ0 = I. В общем случае, Arg det Φt разрывная функция (см. вторуюстроку Рис. 2.1 и первую Рис. 2.2), поскольку их значения должны принадлежать полукругу (например, полукругу [0, π] или [−π/2, π/2]), и в каждыйотдельный момент времени t мы не имеем физических или математическихпредпосылок выбора положительной или отрицательной ветви! корня.С другой стороны, матричные элементы eGt =Φt ΨtΨt Φtи правые части(2.39)-(2.40) непрерывны по t (см.
вторую и третью строки Рис. 2.2). Единственным недостатком представления (2.39)-(2.40) является численное интегрирование Tr ρτ A сходящееся очень медленно для многомодовых систем (n > 3). Поэтому, непрерывность и гладкость (2.40) может быть обеспечена нелокальныминтегральным представлением st по формуле (2.39), либо глобальной непрерывной конструкцией основанной на целочисленной переменной индекса.Конструкция аналога индекса введенного В.П.
Масловым для невырожденных (напомним, что det |Φt | ≥ 1) неэрмитовых матриц Φt может быть сформулирована в терминах полярного разложения Φt = Ut |Φt |. Индекс может бытьопределен корректно, если аргументы собственных значений унитарной матрицы Us имеют конечное число скачков на конечном временном интервале (0, t).59ImIm1.01.00.50.5AA-1.0-0.50.5Re1.00.20.40.60.81.01.2ReB-0.5- 0.5-1.0- 1.0BImImAHtL1.01.0AHtL0.5- 1.00.5- 0.50.5Re1.0- 1.0- 0.5- 0.5- 0.5- 1.0- 1.0Phase HMod 2ΠLExact phase32015215101105050-10-2-5-20246Re1.0Reconstructed phase20-40.5-5-3-4-20246-4-2Phase HMod 2ΠLExact phase0246Reconstructed phase103105251000-5-5-1-10-2-15-4-3-4-3-2-10123-10-3-2-10123-15-4-3-2-10123Рис.
2.1: Первые два ряда графиков иллюстрируют вычисление квадратного корня из комплексногочисла в системах MatLab и Wolfram Mathematica, которое обеспечивает непрерывность в верхней полуплоскости и разрывность в нижней полуплоскости. Последние два ряда рисунков демонстрируют реконструкциюнепрерывности функции фазы основанном на условии непрерывности по (mod2π) (см. (2.42) и реализациюалгоритма в [117]).60ArgDet FHtLT1ArgEvHtLT2T13T22.52.01.51.00.50.0- 0.5210-1-2-30123041234ttRe sHtLIm sHtLT1T1T2T200.5-10.0-2- 0.5-3- 1.0-4-501234012ttT1T2-0.5-1.0-1.5-2.0Рис.
2.2:123T20-2-4-6-8-10-120.004ReconstArgDet FHtLIndH0,tLT13401234Первый ряд рисунков показывают разрывный характер функций ArgDet Φt ∈ [−π, π] иitArg−Tr B2e√det Φt∈ [−π, π] в (2.39). Во втором ряду рисунков проиллюстрирована непрерывность функций− it Tr B+iπ Ind(0,t)Im st ∈ R (см.
(2.35)) и Im St , где St = Arg e 2 √det Φотличается от соответствующих графиков вtпервом ряду выражением iπ Ind(0, t), входящим в экспоненту. Следующий ряд рисунков иллюстрирует совRt− it Tr B2падение и непрерывность действительной части выражения 0 12 Tr ρτ A dτ в (2.35) и Log| e√det| в правойΦtчасти (2.39). Последние два графика изображают понятие индекса Ind(0, t), определенного по (2.42), и реконструкцию непрерывности ArgDetΦ(t) (см. первый ряд графиков).61PdefОпределим ϕ(t) = 12 k λk (t) ∈ (−π, π], где λk (t) аргументы собственныхзначений eiλk (t) матрицы Ut .
Пусть {Tk } : 0 < T1 < T2 < · · · < Tn(t) < t моментывремени 2π-скачков величины ϕ(t) из from one side of the interval (−π, π] toanother during time t (see fig. 2, panel 1). Если ϕ(t) уменьшается, то скачок из−π в π положителен, если ϕ(t) уменьшается, то скачок аргументы отрицателен(см. Рис. 2.1, 2 и 5, Рис. 2.2, 2 and 5). ТогдаdefInd(s, t) = −Xsign(ϕ(Tn + 0) − ϕ(Tn − 0)),(2.42)Tn ∈(s,t)itb2tiHe1e− 2 Tr B+iπInd(0,t) − 1 (a† ,Rt a† ) (a† ,(Φ−1t −I)a) : e 2 (a,ρt a)√:e=e 2det Φt(2.43)непрерывная функция, где квадратный корень и индекс вычисляются согласно правилам (2.41) и (2.42) соответственно. Численные примеры непрерывныхреконструкций функции фазы по правилу (2.42) показаны в последних двухстроках Рис. 2.1.В следующем параграфе получено алгебраическое представление st , допускающее быструю численную реализацию в случае det G 6= 0.2.6Алгебраическое построение скалярного члена st†Для z ∈ Cn определим нормированное когерентное состояние ψ(z) = e(z,a )−(z,a) |0i|zi.
Согласно (2.40) и определению нормального упорядочивания, нормальныйbсимвол оператора eiH2 t равенithz|eb2tiHeiInd(0,t)− 2 Tr B − 1 (z,Rt z) (z,|zi = √e 2edet Φt†Φ−1t −I z)1e 2 (z,ρt z) .†Коммутационное соотношение e−(a ,z)+(a,z) F (a† , a)e(a ,z)−(a,z) = F (a† + z, a + z)приводит к равенствуiteiInd(0,t)− 2 Tr B − 1 (z,Rt z) (z,√e 2edet ΦtΦ−1t −I z)1†e 2 (z,ρt z) = hz|eiH2 t |zi = h0|eiH2 (a +z,a+z)t |0i11b 2 −(a† ,x)+(a,x) tiH= h0|e|0i eit(z,Bz)− 2 (z,Az)+ 2 (z,Az) = est eitIm (z,h) ,b62где введены обозначения x = Az − iBz и x = Az + iBz. Так как по предположению определитель det G 6= 0, то уравнения Az − iBz = h, Az + iBz = hразрешимы относительно {z, z}:z(h, h)z(h, h)!hh= G−1!b 2 + i(a† , (Az − iBz)) − i(a, (Az + iBz))|Hz(h,h) = H.,(2.44)Принимая во внимание (2.9), (2.39) и (2.44), получаем явное алгебраическоевыражение скалярного множителя est :itstiHte = h0|ee− 2 Tr B+Qt|0i = √,det Φt11Qt = iInd(0, t) + (z, (ρt − At)z) − (z, (Rt − At)z) + (z, (Φ−1t − I − iBt)z)|z(h,h)22(2.45)Следует отметить, что показатель экспоненты Qt может быть записан в видесимметричной квадратичной формы:1Qt =2G−1hh!ρt − At(ΦTt )−1 − I − i Bt(Φt )−1 − I − iBt−Rt + At,!G−1hh!!.В результате получим алгебраическое выражение st в терминах матриц eGt ,G−1 (eGt − I), и G−2 (eGt − I − Gt), которые являются корректно определеннымив случае вырожденной и невырожденной матрицы G.bbbb 2 − (a† , h) + (a, h), имеем est = h0|eiHtДля H = H|0i = hφt |e−iH2 t eiHt |0i, гдеdefbφt = e−iH2 t |0i ∈ ⊗n1 `2 .
Используя унитарный изоморфизм между пространствами ⊗n1 `2 и L2 (Rn )1⊗n1 `22e− 2 |x|∈ L2 (Rn ),3 |0i ↔nπ4a↔x + ∂x√ ,2a† ↔x − ∂x√ ,2и разложение (2.31) приходим к|x|2iteb2t−iH−1eiInd(0,t)+ 2 Tr B 1 (a† ,ρt a† )eiInd(0,t)+ 2 −(x,(I+ρt ) x) def2p|0i =e|0i ↔ n p= φt (x), (2.46)det Φ∗tπ 4 det Φ∗t det(I + ρt )где φt (x) ∈ L2 (Rn ). Более того, ККС (2.8) приводят к двум полезным равен63ствам для определителей: det Φt det Φ∗t det(I − Rt Rt ) = 1 иdet Φt det Φ∗t det(I − Rt ) det(I − Rt ) det (I − Rt )−1 + (I − Rt )−1 − I = 1.(2.47)Покажем унитарную эквивалентность следующих векторов при изоморфизме из `2 в L2 :††ψt = e−iH2 t ei(H2 −(a ,h)+(a,h))t |0i = e−(a ,ht )+iγt −bb(ht ,ht −ht )2eiγt −↔nπ4|ht |22|0i ↔√√− 12 (x+ 2ht ,x+ 2ht ) defe= ψt (x),(2.48)φt (x)ψt (x)dn x.(2.49)где ht , ht определены по формуле (2.4) иZt(ḣs , hs )ds,γt = ImZste = hφt , ψt il2 =Rn0Дифференцируя по времени t левую часть (2.48) в представлении `2 , получаем(ht , h˙t ) − (ḣt , ht )˙†(Φ−t a + Ψ−t a , h) − (Φ−t a + Ψ−t a, h) − (a + ht , ht ) + (a , ḣt ) + iγ̇t −= 0.2††Для выполнения этого равенства коэффициенты при a, a† , и I должны совпадать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
