Диссертация (1103504), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Используя (2.31), получаем3P−iHt|ψ(t)i = e|ψ(0)i = ei,j=1a†i (Ψt (Φ∗t )−1 )ij a†j +s−t|0i1 ⊗ |0i2 ⊗ |0i3 ,поскольку последние два члена разложения (2.31) действуют на вакуумное состояние как единичный оператор. Согласно Лемме 5 и (3.5) следуетes−t = p11−1p== M22.∗det ΦtM22 (M11 M33 − M13 M31 )(3.7)Помимо этого, соотношения (3.5) приводят к равенству3Xa†i (Ψt (Φ∗t )−1 )ij a†j =i,j=1M12 † † M32 † †aa +aa.M22 1 2 M22 2 3Пользуясь этим выражением и (3.7), получим:1 X M12 m M32 n p m|ψ(t)i =Cm+n |mi1 ⊗|m+ni2 ⊗|ni3 ,M22 m,n M22M22defClk =l!.k!(l − k)!Используя (3.6), получаем явное выражение для вектора состояния в виде1|ψ(t)i = pcosh 2 δ1 cosh 2 δ2Xm,nm(th δ1 )th δ2 n p m−Cm+n |mi1 ⊗ |m + ni2 ⊗ |ni3 .cosh δ1Результат полностью согласуется с работой [44], основанной на методе ВеяНормана распутывания операторной экспоненты, требующего решения системы82нелинейных дифференциальных в отличие от метода канонических преобразований. Как будет показано в следующем пункте, это преимущество значительнооблегчает поиск эволюции системы в случае увеличения количества параметрических процессов.3.1.2Генерация четырех-частотного сцепленного состоянияРассмотрим квантово-оптический параметрический процесс, описываемыйгамильтонианом взаимодействияHint = i~[β(a†1 a†2 − a1 a2 ) + γ1 (a†3 a1 − a†1 a3 ) + γ2 (a†4 a2 − a†2 a4 )].(3.8)Взаимодействие (3.8), как и процесс из предыдущего пункта, может быть реализовано в апериодических нелинейных фотонных кристаллах (АНФК) [43] вполе одной волны накачки в квазисинхронном режиме и в газах [81] в поле двухразночастотных накачек.
В АНФК речь идет о процессахωp = ω1 + ω2 , ω1 + ωp = ω3 , ω2 + ωp = ω4 ,(3.9)где ωp частота накачки (накачка предполагается классической). Взаимодействия (3.9) включают один параметрический процесс преобразования частотывниз и два процесса преобразования частоты вверх.Гамильтониан взаимодействия (3.8) является частным случаем гамильтониана (2.1) со следующими ненулевыми элементами матриц A, B:A12 = A21 = β, B31 = −B13 = iγ1 , B42 = −B24 = iγ2 .Однако, несмотря на то, что матрицы A и B являются вырожденными, существует обратная матрица G−1 , которая определяет канонические преобразования (2.5), что значительно упрощает анализ рассматриваемого процесса.С помощью системы аналитических вычислений находим матричную экспо-83ненту, определяющую динамику системыeGtM11 0M 31 0= 0M 21 0M 410M220M42M 120M 320M130M3300M 230M 430M240M44M 140M 3400M210M41M 110M 310M120M3200M 220M 420M230M43M 130M 330M140 M34 0 =0 M 24 0 M 44!Φt Ψt,Ψt Φt(3.10)где элементы матрицы являются функциями от времениM11 (t) =(Γ21+γ22 )C1 (t)−(Γ22+γ22 )C2 (t)Γ2β(Γ2 S2 (t) − Γ1 S1 (t)))M12 (t) =,Γ2 22Γ22 + γ22−2 Γ1 + γ2S1 (t) −S2 (t) ,M13 (t) = γ1 ΓΓ1Γ2βγ2 (C2 (t) − C1 (t))M14 (t) =,2Γ−22222M22 (t) = Γ(Γ1 + γ1 )C1 (t) − (Γ2 + γ1 )C2 (t) ,,M21 (t) = M12 (t),M31 (t) = −M13 (t),M32 (t) = −M23 (t),M41 (t) = −M14 (t),M42 (t) = −M24 (t),βγ1 (C2 (t) − C1 (t))M23 (t) =,M43 (t) = M34 (t),Γ2 22Γ22 + γ12−2 Γ1 + γ1M24 (t) = γ2 ΓS1 (t) −S2 (t) ,Γ1Γ2 22Γ21 + γ222 −2 Γ2 + γ2M33 (t) = γ1 ΓC2 (t) −C1 (t) ,Γ22Γ21S2 (t) −2 S1 (t)M34 (t) = βγ1 γ2 Γ−,Γ1Γ2 22Γ21 + γ122 −2 Γ2 + γ1M44 (t) = γ2 ΓC2 (t) −C1 (t) .Γ22Γ21(3.11)Здесь Γ, Γ1 , Γ2 – инкременты, характеризующие темп нелинейных взаимодействий, которые выражаются через коэффициенты нелинейных связей следую-84щим образом:Γ1,2ip1 hp 2222β − (γ1 − γ2 ) ± β − (γ1 + γ2 ) , Γ2 = Γ21 − Γ22 ,=2Cj (t) = cosh (Γj t), Sj (t) = sinh (Γj t).Предположим, что в начальный момент времени частоты ωi не были воз4Nбуждены, то есть находились в вакуумном состоянии |ψ(0)i =|0ii .i=1Нас будут интересовать только действительные значения инкрементов, поскольку в этом случае реализуется режим экспоненциального роста взаимодействующих волн, а значит осуществляется эффективный энергетический обмен между взаимодействующими волнами.
Действительно, интенсивности полей пропорциональны числу фотонов в моде Ik ∝ hnk i = ha†k ak i, тогда согласноформуле (2.67):hn1 i = |M12 |2 + |M14 |2 ,hn2 i = |M21 |2 + |M23 |2 ,hn3 i = |M32 |2 + |M34 |2 ,hn4 i = |M41 |2 + |M43 |2 .(3.12)В случае действительных инкрементов функции Mij (t) растут экспоненциальноза счет sinh (Γj t) и cosh (Γj t) (см.
формулу (3.11)) и, следовательно, обеспечивают экспоненциальный рост интенсивностей; иначе гиперболические функции вформулах (3.11) заменяются на соответствующие тригонометрические, и экспоненциальный рост интенсивностей не реализуется. Таким образом, эффективный энергетический обмен возможен при выполнении следующего неравенстваβ ≥ γ1 + γ2 .(3.13)Здесь стоит отметить следующее равенство hn1 i + hn3 i = hn2 i + hn4 i.
То естьоператор N = n1 + n3 − n2 − n4 является интегралом движения системы, чтонеудивительно исходя из свойств симметрии eGt (см. (3.10)) и самого вида процессов (3.9).Поскольку в настоящем параграфе речь пойдет о динамике вакуумного состояния e−iHt |ψ(0)i, то представляют интерес только первый член разложения85(2.31) и скалярная функция s−t :R−t = −Ψt (Φt )−10 R12 0 R14 R21 0 R23 0= 0 R0 R3431R41 0 R43 0,1es−t = p.det Φ∗tЭлементы симметричной матрицы R−t можно записать через элементы матрицканонических преобразований, вычисленных аналитически по формулам (3.10)M23 M13 + M12 M33M14 M33 − M34 M13,R=R=,14412 +M M2 +M MM13M1311 3311 33M34 M11 + M14 M33M12 M13 − M23 M11, R34 = R43 = −.=22 +M MM13 + M11 M33M1311 33R12 = R21 = −R23 = R32Далее, используя формулу (2.31), находим4−iHt|ψ(t)i = eO1− 21 (a† ,R−t a† )|ψ(0)i = pe|0iidet Φ∗ti=1X1=pF (m, n, k, l)|m + ki1 ⊗ |m + li2 ⊗ |n + li3 ⊗ |n + ki4 ,det Φ∗t m,n,k,l(3.14)гдеqm Cn Cn Cm .F (m, n, k, l) = (R12 ) (R34 ) (R14 ) (R23 ) Cm+kn+k n+l m+lmnklПоскольку из коммутационных соотношений (2.8) следует справедливость ра22венства M13+ M11 M33 = M24+ M22 M44 , то определитель матрицы Φ∗ выражается через функции Mij (t) следующим образом√det Φ∗=q2 + M M )(M 2 + M M ) = M 2 + M M .(M1311 3322 4411 331324Если в (3.13) выполнено равенство β = γ1 + γ2 , то процессы (3.9) протекают√с одинаковыми инкрементами Γ1 = Γ2 = γ1 γ2 .
Введем безразмерные коэффициенты ξ1 = γβ1 , ξ2 = γβ2 и нормированное время взаимодействия η = βt. Тогдасправедливо равенствоp1pΓ1,2 t = [ 1 − (ξ1 − ξ2 )2 ± 1 − (ξ1 + ξ2 )2 ]η.286Величина ξ1 −ξ2 уменьшает инкременты связанных параметрических процессов.Следовательно, для максимальной интенсивности генерируемых полей следуетрассматривать случай ξ1 = ξ2 = ξ, ξ ∈ [0, 12 ] (последнее следует из неравенства(3.13)).Перейдем теперь к анализу энтропийных и информационных характеристикпроцесса. Как было показано в параграфе 2.9, для этого необходимо вычислитьсимплектические спектры ковариационных матриц.Элементы ковариационной (8 × 8) матрицы V с учетом (2.80) запишутсячерез функции Mij следующим образом:Vi,j =4Pk=1i+j(−1)12 Mik Mjk ,4Pk=1i, j ≤ 4,12 Mik Mjk ,0,i, j ≥ 4,в остальных случаях.Отсюда следует, что ковариационные матрицы соответствующие состояниямρ1 = Tr 234 |ψ(η)ihψ(η)|,ρ3 = Tr 124 |ψ(η)ihψ(η)|,ρ2 = Tr 134 |ψ(η)ihψ(η)|,ρ4 = Tr 123 |ψ(η)ihψ(η)|равныvi =Vi,i00 Vi+4,i+4!,i ≤ 4.Здесь под T rA подразумевается операция взятия частичного следа по пространству A.Состояние |ψ(t)i (3.14) является чистым гауссовым состоянием, а значитлюбое состояние полученное операцией взятия частичного следа является также гауссовым (но не всегда чистым).
Таким образом, можно воспользоватьсяформулой (2.76), чтобы определить энтропию гауссовых состояний ρi . Для этого необходимо найти симплектические спектры матриц vi . Согласно второму87утверждению теоремы Вилльямсона (Теорема 8), эти спектры равны:41Xνi =Mij (η)2 .2 j=1(3.15)Поскольку для любого чистого состояния |ψiAB составной системы справедливо разложение Шмидта [22, 27]ψAB =Xλi |iiA ⊗ |iiB ,iгде λi ≥ 0, тогда операторы плотности систем A, B равныρA =Xλ2i |iiAA hi|,ρB =iXλ2i |iiBB hi|,iто есть собственные числа ρA и ρB совпадают. Таким образом, из определенияэнтропии фон Неймана (2.75) следуетρAB = |ψiABAB hψ| ⇒ S(ρA ) = S(ρB ).(3.16)Далее, применяя формулу (2.76) и вычисленные симплектические спектры (3.15),получаем выражения энтропий квантовых состояний:S(ρ1 ) = S(ρ234 ) = h(ν1 ),S(ρ2 ) = S(ρ134 ) = h(ν2 ),S(ρ3 ) = S(ρ124 ) = h(ν3 ),S(ρ4 ) = S(ρ123 ) = h(ν4 ).Следует заметить, что, учитывая (3.15), мы приходим к равенствам S(ρ1 ) =S(ρ2 ), S(ρ3 ) = S(ρ4 ).
Соответствующие зависимости приведены на Рис. 3.1a.Двухчастичным состояниямρ12 = Tr 34 |ψ(η)ihψ(η)|,ρ13 = Tr 24 |ψ(η)ihψ(η)|,ρ14 = Tr 23 |ψ(η)ihψ(η)|,ρ23 = Tr 14 |ψ(η)ihψ(η)|,ρ24 = Tr 13 |ψ(η)ihψ(η)|,ρ34 = Tr 12 |ψ(η)ihψ(η)|,88510S(1)=S(2)S(13)4836S(14)S(3)=S(4)422100123400.05S(12)0.5Ηа)1.0Η1.52.0б)Рис. 3.1: a) Зависимость энтропий S(ρi ) = S(i), (i = 1, 2, 3, 4) от нормированного временивзаимодействия η. б) Зависимость энтропий S(ρij ) = S(ij), (i, j = 1, 2, 3, 4) от нормированного времени взаимодействия ηсоответствуют матрицы ковариацииVi,i Vi,j00 Vj,i Vj,j00vij = 00 Vi+4,i+4 Vj+4,j+400 Vj+4,i+4 Vj+4,j+4.Таким образом,Теореме (8) cимплектический спектр матрицы v12√4√ согласно4η +4η +4равен { 4 , 4 }, матрицы v13 p1 −2η η3η23ηη2{ e(e + e ) η + 2 ± e − e η (η + 4) }8и матрицы v14p1 −2η ηη3η3η2{ ee +e(η + 1) ± e η(1 − e η }.4Учитывая (3.16), энтропии S(ρ12 ) = S(ρ34 ), S(ρ13 ) = S(ρ24 ), S(ρ14 ) = S(ρ23 )можно вычислить по формуле (2.76), соответствующие графики приведены наРис.
3.1б.Помимо энтропий процесса вычислим условные энтропии и взаимные ин-893S(2|3)12S(4|1)2I(12)108106S(3|4)-1I(34)I(24)4S(1|2)2-200123450123ΗΗа)б)45Рис. 3.2: a) Зависимость условных энтропий S(1|2), S(1|3), S(2|4), S(3|4) от нормированного времени взаимодействия η. б) Зависимость взаимных информаций I(1|2), I(2|3), I(3|4) отнормированного времени взаимодействия η.формации процесса, определяемые по формуламS(A|B) = S(ρAB ) − S(ρB ),I(ρAB ) = S(ρA ) + S(ρB ) − S(ρAB ).Важным свойством квантовой условной энтропии в отличие от классической условной энтропии является то, что она может принимать отрицательные значения.
Следует отметить, что чистое состояние ρAB является сцепленным тогда и только тогда, когда условная энтропия S(A|B) оказываетсяотрицательной [22]. А также для произвольного состояния ρAB отрицательность условной энтропии S(A|B) является достаточным, но не необходимымусловием сцепленности. Таким образом, условная энтропия может служить индикатором сцепленности. Отсюда следует (Рис. 3.2), что осуществляется такназываемое блочное перепутывание: моды 1 и 2 сцепленны, а также моды 3, 4оказываются сцепленными, и системы A = 12 и B = 34 сцепленны, поскольку S(12|34) = −S(34) = S(12) < 0. Таким образом, имеют место квантовыекорреляций между модами, генерируемыми в результате рассмотренного процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
