Диссертация (1103504), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Принимая во внимание выражения для обратных канонических преобразований Φ−t = Φ∗t , Ψ−t = −ΨTt , получим следующие уравненияḣth˙!Φt ΨtΨt Φt=t!htht!,(ḣt , ht ) − (ht , h˙t )iγ̇t == iIm (ḣt , ht ).2Отсюда следуют интегральные выраженияhtht!=eGt−IGhh!Z,tiγt = iIm(ḣs , hs )ds =012Ztdet0ḣt ḣtht ht!ds.Покажем, что последний интеграл можно переписать в алгебраической форме:1iγt =2I − Gt − e−GtG2hh!,h−h64!!,eGt ≡Φt ΨtΨt Φt!.(2.50)Из симплектического свойства канонических преобразований (2.15) следует0 I−I 0Φt ΨtΨt Φt!!T0 I−I 0!0 I−I 0eGt =!!!!ΨtΦtΦt ΨtΦTt Ψ∗t==−Φt −ΨtΨt ΦtΨTt Φ∗t!!!Φt Ψt0 IΦT−t Ψ∗−tT= e−G t=∗T−I 0Ψt ΦtΨ−t Φ−t0 I−I 0!0 I−I 0!,.Поэтому из (2.4) следует2 Im (hs , h˙s ) = detseGt − IG!hh,e−GT t!heGt − I=Ghs!!!0 Ih=−I 0hhs ḣsh h˙!,!0 I−I 0hheGtI − e−GtGhh!!!h−h,=!!.Интегрирование данного равенства по s на отрезке [0, t] приводит к алгебраическому выражению для γt :tZγt = Im0I − Gt − e−GtG21(hs , h˙s ) ds =2hh!,h−h!!.(2.51)Далее, собирая результаты (2.46), (2.48) и (2.51), получаем алгебраическое выbражение для est = h0|eiHt |0i, а также, как следствие, для состояния ψz =1 †††eSt − 2 (a ,Rt a )−(Gt ,a ) |zi и нормального символа NA,B,h (z, z) = hz|ψz i.Теорема 7.

(об алгебраической форме сжатия)1. Для всякой симметричной матрицы A, эрмитовой матрицы B и комплексного вектора-столбца h, вакуумное среднее унитарной группы eitH ,порождаемой оператором (2.1), равноstitHe = h0|e|0i = eiInd(0,t)+iγt − 12 (ht ,ht )− 12 (ht ,(ht −ht ))1Znd xite−√2(ht ,x)−(x,(I+ρ∗t )−1 x)pπ n/4 det(I + ρ∗t ) det Φt1−1eiInd(0,t)+iγt − 2 ((ht ,(ht −ρt ht ))+itTr B)eiInd(0,t)+iγt − 2 Tr B− 2 (h−t ,Φt√√==det Φtdet Φtht )(2.52),где ρt = ρ∗t , ht и γt определены по формулам (2.4) и (2.51).1†††2. Состояние ψz = eSt − 2 (a ,Rt a )−(Gt ,a ) |zi является единичным вектором впространстве ⊗n1 `2 , est и его образ в L2 (Rn ) равен гауссовой функцииψt (x) =GG12−1eSt√t√tpe 2 |x| −(x+ 2 ,(I−Rt ) (x+ 2 )) ∈ L2 (Rn ),nπ 4 det(I − Rt )65(2.53)1где Gt = Φ−1t (ht − z), St = st + (z, f t − 2 (z − ρt z)) и ft = ht − ρt ht .3.

Нормальный символ сжатия равен1defNA,B,h (z, z) = hz|eiHt |zi = exp Indt + st − |z|2 − (z, Rt z)−21−(vt , z) + +(z, (Φ−1−I)z)+ρz)+(f,z).(z,ttt2(2.54)Совпадение выражений (2.35), (2.45), (2.52) было проверено численно. Тестирующие модули доступны для пользователей Wolfram Mathematica по адресу [117].2.7Скалярное произведение и нормальные символы композиции обобщенных сжатых состоянийПолезным следствием Теоремы 6 является возможность вычисления скалярdefного произведения обобщенных сжатых состояний вида |A, B, hi|t = eiHt |0i =Ut |0i. С этой целью удобно перейти к приведенной форме сжатого состоянияпо аналогии с параграфом 1.5, выражающей сжатое состояние исключительночерез операторы рождения.Справедливость формулы2|zi = e− |z|2 − 12 (z,M z)+(a† −M a,z)|0iдля любой симметричной размера (n×n) матрицы M и z ∈ C n , следует из формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа. Выбирая матрицу M = ρt и используяравенство (2.34), получаем приведенную форму состоянияiHte2|zi = e− |z|2 − 12 (z,ρt z) iHt (a† −ρt a,z)e2=e− |z|2 − 12 (z,ρt z)+(f t ,z)+((ΦTt )−1 a† ,z) iHtee|0i =St −(a† ,ξt )− 21 (a† ,Rt a† )|0i = e(2.55)|0i,2|z|1где ξt = gt − Φ−1t z, St = st + (f t , z) + 2 (z, ρt z) − 2 .

Из формулы (2.55) естественным образом следует формула нормального символа оператора eiHt :def2−11NA,B,h (z, z) = e−|z| hz|eiHt |zi = est − 2 (z,Rt z)−(z,gt )+(z,(Φtb66−I)z)+ 12 (z,ρt z)+(f t ,z)). (2.56)Используя формулу приведенного состояния (2.55) и изоморфизм междупространствами `n2 и L2 (Rn ), можно вычислить среднее значение и дисперсию††a−a√ соответствующе√гауссовского распределения наблюдаемых x̂ = a+aиp̂=2i 2го состоянию (2.55), а также построить координатное и импульсное представления обобщенного сжатого состояния, которые позволяют свести вычислениескалярных произведений обобщенных сжатых состояний к вычислению гауссовых интегралов.defЛемма 6.

Образом состояния |A, B, hi = eiH2 t |0i ∈ `n2 в пространстве L2 (Rn )при изоморфизме (1.32) является функция12eSt e 2 |x|defF`2 →L2 |A, B, hi = eiH2 t |0i = ψt (x) =−(x+ √ξt2 ,(I−Rt )−1 (x+ √ξt2 ))n4pπdet(I − Rt )∈ L2 (Rn ).(2.57)Поскольку ||Rt || 6 1, то ветвь корня выбирается так, как это определено впункте 1.6.Доказательство.Доказательство повторяет пункт 1.6Следствие 5.

Аналогичная формула справедлива для состоянияF`2 →L2 e−iH2 t |0i = ψt0 (x) =St0e eξ0ξ0 t120 −1√t(x+ √))2 |x| −(x+ 2 ,(I−Rt )2πn4pdet(I −Rt0 )∈ L2 (Rn ).(2.58)Вычисление нормы ||ψt ||2L2 сводится к интегрированию гауссовской функции ψ t (x)ψt (x). При этом следует отметить, что из свойства симметричностиматрицы Rt = RtT и коммутационных соотношений (2.8) вытекают равенства:I − Rt Rt = |Φt |−2 ,det(I − Rt Rt ) = det(I − Rt Rt ) = det|Φt |−2 .По аналогии с пунктом 1.7 главы 1 введем матрицуdefΩt = (I − Rt )−1 + (I − Rt )−1 − I = (I − Rt )−1 (I − Rt Rt )(I − Rt )−1 == Ωt = ΩTt = Ω∗t ,67обратная к которой будет равнаTT∗∗Ω−1t = (Φt − Ψt )(Φt − Ψt ) = (Φt − Ψt )(Φt − Ψt ).Поскольку ψ t (x)ψt (x) является гауссовской плотностью с корреляционной матрицей Ωt > 0, то||ψt ||2L2Z=−12e2Re St −Re (ξt ,(I−Rt )n|ψt (x)| d x =Gt )+ 21 (Re (I−Rt )−1 Gt ,Ω −1 Re (I−Rt )−1 Gt )qdet(I − Rt Rt )== 1.Аналогично, определив Gk = gk − Φ−1Sk = sk + (f k , zk ) + (zk ,ρ2k zk ) , Rk =k zk ,Φ−1k Ψk , где k принимает значение 1 или 2, а также введя новую матрицу Y =(I −R1 )−1 G1 +(I −R2 )−1 G2 , получаем скалярное произведение двух обобщенныхсжатых состоянийhψ1 , ψ2 i|L2 = eσ12Z−1√1− (x+ √12 Ω−112 Y ),Ω12 (x+ 2 Ω12 Y )eσ12qdn x = q,nπ 2 det(I − R1 ) det(I − R2 )det(I − R1 R2 )eΩ12 = ΩT12 = (I − R1 )−1 + (I − R2 )−1 − I = (I − R1 )−1 (I − R1 R2 )(I − R2 )−1 ,111σ12 = S 1 + S2 − (G1 , (I − R1 )−1 G1 ) − (G2 , (I − R2 )−1 G2 ) + (Y, Ω12 Y ).222(2.59)Формула скалярного произведения (2.59) понадобится, в частности, для вычисления скалярного члена нормально упорядоченной формы композиции сжатий.Рассмотрим композицию U21 = U2 U1 из двух унитарных операторов U1 =bbb1, Hb 2 вида (2.1).

Действиеe−iH1 t1 , U2 = eiH2 t2 , порождаемые гамильтонианами Hоператора Uk на операторы рождения и уничтожения a† , a, как было показано68ранее, может быть представлено в терминах матриц Φk и Ψk по формуле (2.2):!a1= U1a†1!a2a†2!aU1∗ =†a!a1a†1= U2U2∗ ==!!!ah1Φ1 Ψ1,+Ψ1 Φ1h1a†!!!a1h2Φ2 Ψ2=+Ψ2 Φ2h2a†1!!!Φ12 Ψ12ah12+,Ψ12 Φ12a†h12где новые канонические преобразования порождаемые унитарным операторомэволюции U12 выражаются через канонические преобразования операторов U1и U2 следующим образомΦ12 Ψ12Ψ12 Φ12!h12=h12!!=Φ2Ψ2Φ2 Ψ2Φ1Ψ2 Φ2Ψ1!!Ψ2h1+Φ2h1Ψ1Φ1!h2h2!,.Проверим, что матрицы Φ12 и Ψ12 удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям (2.8):Таким образом, по аналогии с (2.9), справедливо выражение1††††−11U12 = es12 e− 2 (a ,R12 a )−(g12 ,a ) e(a ,(Φ12 −I)a) e 2 (a,ρ12 a)+(f 12 ,a) ,(2.60)где элементы разложенияR12 = Φ−112 Ψ12 ,ρ12 = Ψ12 Φ−112 ,g12 = Φ−112 ,f12 = h12 − ρ12 ,h12 ,а выражение для s12 следует из формулы скалярного произведения (2.59)s12eeσ12=q= h0|e−iH1 t1 eiH2 t2 |0i.det(I − R1 R2 )b69b(2.61)2.8Жорданова форма сжатияРассмотрим вопрос о вычислении матричной экспоненты eGt и функций(2.5), (2.51), с использованием разложения ЖорданаG = D[J1 ⊕ .

. . ⊕ Jn ]D−1 ,J = J1 ⊕ . . . ⊕ Jn ,где D — квадратная матрица размера матрицы G, а Jk — жорданова клетка kго собственного значения λk матрицы G. Матричная экспонента поэтому будетравнаetG = D[etJ1 ⊕ . . . ⊕ etJk ]D−1 = DetJ D−1 .Здесь важно отметить то, что матрицы D не зависият от времени, а матрицыetJk имеют простую структуру:λk 0def Jk =  0 ···01λk0···00 ... 01 ...

0....... . . ..···.00 λk → eJk t = eλk t ∆k ,1t 0def ∆k =  0 ···01t22!...1 ......0...··· ···000tn−1(nk −1)!tn−2(nk −2)!.......1В таком случае выражениеF(1)tZsJ(t) = De ds D0−1eGt − I=G(2.62)корректно определено для вырожденных и невырожденных матриц G. ЖордаJ t(1)новы клетки Jk генерируют верхние треугольные матрицы Fk (t) = e kJk−I :Jk−1−λ−2. .

. −(−λk )−nkλ−1kk 0λ−1. . . −(−λk )−nk +1k=......0 0−100...λkt 2!1 t2 3!1 t3 . . .1 2 0 tt ...(1)2!Fk (t)=... 0 0λk =00 000F1 (t)0...0tG 0F2 (t) . . .0  −1e−I,= D.. ...D ,G0.  000. . . FK (t)1 nktnk !Pj−i (−λk t)m1λk ttnk −1 1−e(1)(nk −1)!m=0m! , (F (t))ij =,..kj−i+1(−λ)k.t(2.63)70(1)(1)в случае i ≥ j; иначе (Fk )i,j = 0. Матрицы Fk также являются корректλ tно определенными в вырожденном случае, поскольку e kλk−I → t при λk → 0.Данное наблюдение позволяет строить h(t) и h(t) по формулам (2.4) с использованием (2.63).Жорданово разложение может быть использовано схожим образом для выGteJk t −I−Jk t(см.(2.51)),посколькуалгебраическаяформакорчисления e −I−Gt2GJk2ректно определена, как в случае вырожденной матрицы G, так и в случае невырожденной G:F(2)tZ(t) = DZτsJdτ0e ds D−10eGt − I − Gt,=G2(2)Fk (t)Более того, получаем аналитическое выражение дляжение Жордана:λ2k 2λk 102 0 λk 2λk 1..Jk2 = .

...0 000... ............00...,12!−t3!12!.........используя разло-Jk−2λ−2−2λ−3...+nk (−λk )−nk −1kk 0λ−2. . . +(nk − 1)(−λk )−nkk=.....0. 0−200...λk(2)F1 (t)0(2)0F2 (t)eGt − I − Gt= D2G0000eGt −I−Gt,G2. . . λ2keJk t − I − Jk t=.(2.64)Jk2(−t)k−2k!(−t)k−3(k−1)!.........00......FK (t)(2), −1D ,(2.65)0 для вырожденных клеток (λk = 0),где= −t2 ..00.λk =010 0 ...2!P(2)(−1)j−i+1(j−i+1−m)(−λk t)mа (Fk (t))ij = λi−j+2 j − i + 1 + λk t − eλk t j−iдля невырожденныхm=0m!(2)Fk (t)k(2)(2)при условии i ≥ j; иначе, (Fk (t))ij = 0. Треугольные матрицы Fk (t) коррект(2)tj−i+1но определены, поскольку (Fk (t))ij → (j−i+1)!при λk → 0.Полученные формулы позволяют строить корректно определенные алгебраические представления для h(t), h(t), γt и st в (2.5), (2.51), Теореме 7.В качестве интерактивных тестов аналитических выражений для J, F , ислучайно генерируемой матрицы G см.

[117].Вычисление матричной экспоненты eGt может быть получено также и дру71гими способами, например, одним из методов изложенных в работе [90].2.9Ковариационные матрицы квадратурных компонент,неравенство Шредингера-Робертсона и теорема ВилльямсонаВ этом разделе вводятся квадратурные компоненты, определяющиеся чере熆a−a√ ,√иpb=операторы рождения и уничтожения следующим образом: xb = a+a2i 2и необходимые для анализа энтропийных и информационных характеристикмногомодовой системы.

Вычислим динамику их средних значений, а также ковариационной матрицы в течении времени t, предполагая, что система в начальный момент времени находилась в вакуумном состоянии. Из определенияканонических преобразований (2.2) и равенства a|0i = 0 следуют выражениядля средних значений квадратур:h0|(at + a†t )|0i1√hbxt i = h0|e xbe|0i == √ (ht + ht ),22†h0|(at − at )|0i1√hbpt i = h0|eiHt pbe−iHt |0i == √ (ht − ht ).i 2i 2iHt−iHt(2.66)Для вычисления ковариационных матриц нам понадобится выражениеha†t ⊗ at i = h0|Ut a† ⊗ aUt∗ |0i = Ψt ΨTt + ht hTt ,(2.67)из которого следуют следующие формулы:1hxbt ⊗ xbt i = [(Φt + Ψt )(Φ∗t + ΨTt ) + (ht + ht )(ht + ht )T ],21h pbt ⊗ pbt i = [(Ψt − Φt )(ΨTt − Φ∗t ) − (ht − ht )(ht − ht )T ],21hxbt ⊗ pbt i = [(Φt + Ψt )(ΨTt − Φ∗t ) + (ht + ht )(ht − ht )T ],2i1h pbt ⊗ xbt i = [(Φt − Ψt )(Φ∗t + ΨTt ) + (ht − ht )(ht + ht )T ].2i(2.68)Элементы симметричной ковариационной матрицы V определяются по фор-72муле:1Vij = h{Qi , Qj }i − hQi ihQj i,2(2.69)где Qi элементы вектора Q = (bx1 , xb2 , .

Характеристики

Список файлов диссертации