Диссертация (1103461), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Íà îñíîâå ìåòîäà ïîãðàíè÷íûõ ôóíêöèé ïîñòðîåíû àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèé ñ âíóòðåííèìè ñëîÿìè äëÿ íîâûõ òèïîâñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ çàäà÷, ñîäåðæàùèõ ìàëûé ïàðàìåòð ïðèñòàðøåé ïðîèçâîäíîé:• êðàåâàÿ çàäà÷à ðåàêöèÿ-äèôôóçèÿ-àäâåêöèÿ â ñëó÷àå áàëàíñààäâåêöèè,6• íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à ðåàêöèÿ-äèôôóçèÿ-àäâåêöèÿ â ñëó÷àå áàëàíñà àäâåêöèè,• êðàåâàÿ çàäà÷à ðåàêöèÿ-äèôôóçèÿ-àäâåêöèÿ ñ óñëîâèåì ïåðèîäè÷íîñòè ïî âðåìåíè â ñëó÷àå áàëàíñà àäâåêöèè.2. Äëÿ êàæäîé çàäà÷è äîêàçàíû òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ñïîñòðîåííîé àñèìïòîòèêîé. Ðåçóëüòàòû ïî îáîñíîâàíèþ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé ïîëó÷åíû ïóòåì ðàçâèòèÿ ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ íà çàäà÷è èññëåäóåìîãî òèïà.Ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü1.  ðàáîòå ïðîâåäåíî ðàçâèòèå ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, ïðåäëîæåííîãî À.

Á. Âàñèëüåâîé, Â. Ô. Áóòóçîâûì è Í. Í. Íåôåäîâûìíà íîâûé êëàññ çàäà÷ òèïà ðåàêöèÿ-äèôôóçèÿ-àäâåêöèÿ, äîïóñêàþùèõ ðåøåíèÿ ñ âíóòðåííèìè ïåðåõîäíûìè ñëîÿìè, ïðè óñëîâèè áàëàíñà àäâåêöèè. Èññëåäîâàíèå çàäà÷ ñ ðåøåíèÿìè âèäà êîíòðàñòíûõ ñòðóêòóð ÿâëÿåòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåîáõîäèìûì, ïîñêîëüêóâ äàëüíåéøåì îíè ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, â ÷àñòíîñòè, îòíîñÿùèõñÿ ê ìåõàíèêå æèäêîñòè è ãàçà. Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ïðåäñòàâëÿþò èíòåðåñ äëÿó÷åíûõ, çàíèìàþùèõñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì ìîäåëèðîâàíèåì ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé â îáëàñòÿõ ñ ïðîñòðàíñòâåííûìè íåîäíîðîäíîñòÿìè,âáëèçè êîòîðûõ íàáëþäàþòñÿ áîëüøèå ãðàäèåíòû õàðàêòåðèñòèêñðåäû.2. Ïðîâåäåíî îáîáùåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ íà çàäà÷è òèïà ðåàêöèÿ-äèôôóçèÿ-àäâåêöèÿ ïðèóñëîâèè áàëàíñà àäâåêöèè.

 äàëüíåéøåì èäåè, ñîäåðæàùèåñÿ âäèññåðòàöèè, ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé ó áîëåå øèðîêîãî êëàññà çàäà÷.Ïîëîæåíèÿ, âûíîñèìûå íà çàùèòó71. Èññëåäîâàíèå íîâûõ êëàññîâ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ çàäà÷ òèïàðåàêöèÿ-äèôôóçèÿ-àäâåêöèÿ, ðåøåíèÿ êîòîðûõ îáëàäàþò âíóòðåííèìè ïåðåõîäíûìè ñëîÿìè ïðè óñëîâèè áàëàíñà àäâåêöèè.2. Ðàçðàáîòêà àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé ñâíóòðåííèìè ïåðåõîäíûìè ñëîÿìè, äàþùåãî âîçìîæíîñòü îïðåäåëÿòü ëîêàëèçàöèþ ïåðåõîäíîãî ñëîÿ äëÿ ñòàöèîíàðíûõ çàäà÷ èóðàâíåíèå äâèæåíèÿ ôðîíòà â ïàðàáîëè÷åñêîì ñëó÷àå.3. Ñòðîãîå ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå ðåçóëüòàòîâ.

Äîêàçàòåëüñòâîñóùåñòâîâàíèÿ è óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé çàäà÷ óêàçàííûõ òèïîâ,èìåþùèõ ïîñòðîåííûå àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ.Êðàòêîå ñîäåðæàíèåÂî ââåäåíèè îñâåùåí êðóã âîïðîñîâ, îõâà÷åííûõ äèññåðòàöèåé,îõàðàêòåðèçîâàíû àêòóàëüíîñòü è íîâèçíà ðàáîòû, óêàçàíà åå ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü è èçëîæåíî åå êðàòêîå ñîäåðæàíèå. ãëàâå 1 ïðèâîäèòñÿ îáçîð íàó÷íûõ ðàáîò, áëèçêèõ ê òåìå äèññåðòàöèè èññëåäîâàíèþ ðåøåíèé òèïà êîíòðàñòíûõ ñòðóêòóð â ñèíãóëÿðíîâîçìóùåííûõ çàäà÷àõ. Òàêæå ïðèâåäåíà îáùàÿ ñõåìà èññëåäîâàíèÿðåøåíèÿ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííîé çàäà÷è òèïà ðåàêöèÿ-äèôôóçèÿàäâåêöèÿ ïðè ïîìîùè àñèìïòîòè÷åñêîãî ìåòîäà äèôôåðåíöèàëüíûõíåðàâåíñòâ, ñîäåðæàùàÿñÿ â ðàáîòå [22].

Âûïèñàíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è óñòîé÷èâîñòè ïî Ëÿïóíîâó êîíòðàñòíîé ñòðóêòóðû òèïàñòóïåíüêè è àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ ëîêàëüíîé îáëàñòè óñòîé÷èâîñòèðåøåíèÿ ñòàöèîíàðíîé çàäà÷è, ñîîòâåòñòâóþùåé óðàâíåíèþ (1). ãëàâàõ 24 èñëåäóåòñÿ âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè è ñâîéñòâàõ ðåøåíèé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ ðåàêöèÿ-äèôôóçèÿ-àäâåêöèÿ âèäà (1).Ãëàâà 2 ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ñóùåñòâîâàíèÿ è óñòîé÷èâîñòè8ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ñ âíóòðåííèìè ïåðåõîäíûìè ñëîÿìè ñèíãóëÿðíîâîçìóùåííîé çàäà÷è (1).Ïîñòðîåíî àñèìïòîòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêàòî÷íîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ, äîêàçàíà òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ.Ïðåäëîæåíýôôåêòèâíûéàëãîðèòìïîñòðîåíèÿàñèìïòîòè÷åñêîãîïðèáëèæåíèÿ òî÷êè ëîêàëèçàöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ, óêàçàíà ëîêàëüíàÿîáëàñòü âëèÿíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ.

Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ïîñòðîåííîéàñèìïòîòèêè èñïîëüçóåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèé ìåòîä äèôôåðåíöèàëüíûõíåðàâåíñòâ. íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðîâåäåíà ìîäèôèêàöèÿ ýòîãî ìåòîäà ïðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷àì ñ áàëàíñîì àäâåêöèè.Ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå çàäà÷è (1), èìåþùåå âíóòðåííèé ïåðåõîäíûéñëîé, îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷èε d2 u2 = A(u, x) du + B(u, x),dxdxu(0) = u(−) , u(1) = u(+) .(2)Çäåñü ε > 0 ìàëûé ïàðàìåòð. Ñ÷èòàåì, ÷òî ôóíêöèè A(u, x) èdefB(u, x) äîñòàòî÷íî ãëàäêèå â îáëàñòè Ω̄ = [0, 1]×I(u), ãäå I(u) îáëàñòüçíà÷åíèé ôóíêöèè u(x, ε). Òðåáóåìûé ïîðÿäîê ãëàäêîñòè ôóíêöèé Aè B ñâÿçàí, êàê îáû÷íî, ñ ïîðÿäêîì ñòðîÿùåéñÿ àñèìïòîòèêè è ëåãêîóñòàíàâëèâàåòñÿ.Çàäà÷à ðåøàåòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèåóñëîâèÿ.Óñëîâèå A1.du+ B(u, x) = 0 ñ äîïîëíèòåëüíûìdxóñëîâèåì u(0) = u0 èìååò ðåøåíèå u = ϕ(−) (x), à ñ äîïîëíèòåëüíûìÂûðîæäåííîå óðàâíåíèå A(u, x)9óñëîâèåì u(1) = u1 ðåøåíèå u = ϕ(+) (x), ïðè÷åì ϕ(−) (x) < ϕ(+) (x),x ∈ [0, 1] è A ϕ(−) (x), x > 0, A ϕ(+) (x), x > 0, x ∈ [0, 1].Óñëîâèå A2.

(áàëàíñ àäâåêöèè)ϕ(+)R (x)A(u, x)du ≡ 0, ïðè x ∈ [0, 1].ϕ(−) (x)Èññëåäóåòñÿ âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè è àñèìïòîòè÷åñêîì ïðèáëèæå-íèè ðåøåíèÿ ñ ïåðåõîäíûì ñëîåì â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé âíóòðåííåéòî÷êè x∗ îòðåçêà [0, 1], ãäå ïðîèñõîäèò áûñòðîå èçìåíåíèå ðåøåíèÿ u(x, ε)ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è îò ôóíêöèè ϕ(−) (x) äî ôóíêöèè ϕ(+) (x).uϕ(+)6ϕ(−)-xx∗Ïîëîæåíèå òî÷êè ëîêàëèçàöèè âíóòðåííåãî ïåðåõîäíîãî ñëîÿ x∗ çàðàíåå íåèçâåñòíî è èùåòñÿ âèäå ðÿäàx∗ = x0 + εx1 + . . . ,(3)êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè àñèìïòîòè÷åñêîãîðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ.

Ñ÷èòàåì, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèè u(x, ε) â òî÷êåx∗ ðàâíîdefu(x∗ , ε) = ϕ(x∗ ) =1 (−)ϕ (x∗ ) + ϕ(+) (x∗ ) .210(4)Äëÿ ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (2)òàêæå íåîáõîäèìî âûïîëíåíèÿ ñëåäóþùåãî òðåáîâàíèÿÓñëîâèå A3.RsA(u, x)du > 0, äëÿ âñåõ s ∈ ϕ(−) (x), ϕ(+) (x) , x ∈ [0, 1].ϕ(−) (x)Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôîðìàëüíîé àñèìïòîòèêè ðåøåíèÿ âèäà êîíòðàñòíîéñòðóêòóðû îòäåëüíî ðàññìàòðèâàåì äâå çàäà÷è: ñëåâà è ñïðàâà îò òî÷êèïåðåõîäà x∗ .εd2 U (−)dx2 (−)= A U (−) , x dUdx + B U (−) , x ,U (−) (0, ε) = u(−) ,èεd2 U (+)dx2U (−) (x∗ , ε) = ϕ(x∗ ) (+)= A U (+) , x dUdx + B U (+) , x ,U (+) (1, ε) = u(+) ,x ∈ (0, x∗ ),x ∈ (x∗ , 1),U (+) (x∗ , ε) = ϕ(x∗ ).(5)(6)Ôîðìàëüíóþ àñèìïòîòèêó ðåøåíèé êàæäîé èç ýòèõ çàäà÷ ñòðîèì ïîìåòîäó ïîãðàíè÷íûõ ôóíêöèé (ñì.

[1]) â âèäå ðÿäîâ ïî ñòåïåíÿì ε.Ïîñòðîåííûå ôóíêöèè U (−) è U (+) ãëàäêî ñøèâàåì ïðè x = x∗ (ε).Êàæäóþ èç ôóíêöèé U (−) è U (+) ïðåäñòàâëÿåì â âèäå ñóììû ðåãóëÿðíîé ÷àñòè è ôóíêöèè, îïèñûâàþùåé ïîâåäåíèå ðåøåíèÿ â îêðåñòíîñòèx − x∗ (ε)ïåðåõîäíîãî ñëîÿ, çàâèñÿùåé îò ðàñòÿíóòîé ïåðåìåííîé ξ =:εU (∓) (x, ε) = UÇäåñü U(∓)Ôóíêöèè U(∓)(x, ε) + Q(∓) (ξ, ε). ðåãóëÿðíàÿ ÷àñòü; Q(∓) ôóíêöèè ïåðåõîäíîãî ñëîÿ.(∓)è Q(∓) ñòðîèì â âèäå ðàçëîæåíèé ïî ñòåïåíÿì ε:U(∓)(∓)(∓)(x, ε) = U 0 (x) + εU 1 (x) + . . .11(7)(∓)(∓)(8)Q(∓) (ξ, ε) = Q0 (ξ) + εQ1 (ξ) + .

. .Ðåãóëÿðíûå ÷àñòè àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé ôóíêöèè U(∓)(x, ε)îïðåäåëÿþòñÿ êàê ðåøåíèÿ óðàâíåíèé(∓)d2 Uεdx2=A U(∓) dU (∓) (∓) ,x+ B U ,x ,dxx ∈ [0, 1](9)ñ äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè U (0) = u(−) è U (1) = u(+) .Êîýôôèöèåíòû àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàçëîæåíèé ôóíêöèé ïåðåõîäíîãîñëîÿ íàõîäÿòñÿ ïóòåì ïðèðàâíèâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõñòåïåíÿõ ε â óðàâíåíèè dQ1 d2 QdU1+ QA(ξ, ε)+ QB(ξ, ε),2 = A U + Q, xε dξεdξdx(10)ãäåQA(ξ, ε) = A U (x∗ + εξ, ε) + Q(ξ, ε), x∗ + εξ − A(U (x∗ + εξ, ε), x∗ + εξ),QB(ξ, ε) = B U (x∗ + εξ, ε) + Q(ξ, ε), x∗ + εξ − B(U (x∗ + εξ, ε), x∗ + εξ).ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèQ(∓) (0, ε) + U(∓)(x∗ (ε), ε) = ϕ(x∗ (ε))è óñëîâèÿìè íà áåñêîíå÷íîñòèQ(∓) (∓∞, ε) = 0.Îáîçíà÷èìU (−) (x∗ ) + Q(−) (ξ),00ũ(ξ, x∗ ) =(+)U (x ) + Q(+) (ξ),0∗0Φ(ξ, x∗ ) =12∂ ũ,∂ξξ 6 0,(11)ξ > 0,(12)Ã(ξ) = A (ũ0 (ξ, x∗ ), x∗ ) ,(13)B̃(ξ) = B (ũ0 (ξ, x∗ ), x∗ ) .defÂâåäåì ôóíêöèþ H(x∗ ) = H (−) (x∗ ) − H (+) (x∗ ), ãäådϕ(±)(x∗ )+dxZ0Φ(ξ, x∗ )+H (±) (x∗ ) =∂ à dϕ(±)∂ Ã(ξ)(x∗ ) · ξ +(ξ) · ξ∂udx∂x!dϕ(±)+ Ã(ξ)(x∗ ) + B̃(ξ) dξ−dx±∞(±)!+(±)− U 1 (x∗ )A(x∗ ) .

(14) ãëàâå 2 ïîêàçàíî, ÷òî óñëîâèå ãëàäêîãî ñøèâàíèÿ â íóëåâîì ïîðÿäêå îêàçûâàåòñÿ âûïîëíåííûì, åñëè âûïîëíåíî ñëåäóþùåå òðåáîâàíèå:Óñëîâèå A4.Ïóñòü ñóùåñòâóåò òî÷êà x0 ∈ (0, 1) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ H(x0 ) = 0.Ïðè óñëîâèÿõ (À1)(À4) ïîñòðîåíî ôîðìàëüíîå àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà ïî ε ðåøåíèÿ u(x, ε) çàäà÷è (2) â âèäåÊÑÒÑ ñ âíóòðåííèì ïåðåõîäíûì ñëîåì â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 è áëèçêîå ê ôóíêöèè ϕ(−) (x) ñëåâà îò ýòîé îêðåñòíîñòè è ê ôóíêöèè ϕ(+) (x)Px − Xn+1iñïðàâà îò íåå. Ïîëîæèì Xn+1 = n+1.

Çàïèøåìi=0 ε xi è ξn+1 =εðàçëîæåíèå ðåøåíèÿ â âèäå ñóììUn(−) (x, ε)=Un(+) (x, ε) =nXi=0nXεi(−)U i (x)+(−)Qi (ξn+1 ),0 6 x 6 Xn+1 , (+)(+)εi U i (x) + Qi (ξn+1 ) ,Xn+1 6 x 6 1,i=013Un(−) (x, ε),Un (x, ε) =U (+) (x, ε),n0 6 x 6 Xn+1 ,Xn+1 6 x 6 1.Äëÿ îáîñíîâàíèÿ àñèìïòîòèêè ñ ïîìîùüþ àñèìïòîòè÷åñêîãî ìåòîäàäèôôåðåíöèàëüíûõ íåðàâåíñòâ ïîòðåáóåì òàêæå âûïîëíåíèÿ åù¼îäíîãî óñëîâèÿ.Óñëîâèå A5.Ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîdH(x0 ) < 0.dxÎñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ãëàâû 2 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (A1)(A5) ïðè äîñòàòî÷íîìàëîì ε > 0 ñóùåñòâóåò ðåøåíèå u(x, ε) çàäà÷è, äëÿ êîòîðîãî ôóíêöèÿUn (x, ε) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì íà îòðåçêå [0, 1] àñèìïòîòè÷åñêèìïðèáëèæåíèåì ñ òî÷íîñòüþ ïîðÿäêà O (εn+1 ).

Характеристики

Список файлов диссертации