Диссертация (1103373), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Плотность работыAr , связанная с релятивистской поправкой к импульсу, выглядит следующим образом:rA =Zei · 2 α β β ∗ αdR δ(r − ri ) 3 2 h̄ ∂i [∂i Ei (ψ Di ψ + c. c.)]8mi ci=1NX+ h̄2 ∆i Eiα (ψ ∗ Diα ψ + c. c.) + h̄2 Eiα ∂iα ∂iβ (ψ ∗ Diβ ψ + c. c.)¸h̄ α β ∗ α β− 2 ∂i Ei (ψ Di Di ψ − c.

c.) .i(2.45)Эта функция пропорциональна квадрату постоянной Планка h̄ (с учетомтого, что выражение в последней строке при раскрытии тоже даст квадрат34h̄). Слагаемые в первых двух строках пропорциональны произведению производных электрического поля и плотности тока, и с учетом этого фактаэто выражение (в случае односортной системы) можно написать в следующем виде:eh̄2 ·A =∂α (∂β Eβ j α ) + ∆Eα j α + Eα ∂α (∂β j β )324m c¸ZNXi ∗ α β+ ∂α Eβ dR δ(r − ri ) (ψ Di Di ψ − c.

c.) .h̄i=1r(2.46)Последней рассмотрим плотность работы Acur , связанную с токтоковым взаимодействием между частицами:ZNXei ejα αβ∗ β[eEG(ψDj ψ + c. c.)iiji8mi mj c2i,j=1,j6=i2 γ αβ ∗ γ α β∗ α∂ G (ψ Di Di Dj ψ + c. c.)− ej Ejβ Gαβ(ψDψ+c.c.)+ijimi i ij1 γ αβ ∗ γ α β∂i Gij (ψ Di Di Dj ψ + Di∗γ ψ ∗ Diα Djβ ψ + c. c.)−2mi1 γ αβ ∗ γ α β+∂i Gij (ψ Dj Di Dj ψ + Dj∗γ ψ ∗ Diα Djβ ψ + c. c.)2mjh̄∗ α β+∆i Gαβ(2.47)ij (ψ Di Dj ψ − c.

c.)].imiAcur =dRδ(r − ri )Полностью квантовым здесь является выражение в последней строке.Остальные слагаемые соответствуют классическим ток-токовым слагаемым в правой части уравнения баланса энергии (2.13), но, как и в случае,к примеру, с тензором плотности потока импульса (2.28), дадут квантовыйвклад.2.6.Введение поля скоростей2.6.1.Представление Маделунга для волновой функции и скорость частицыБудем исходить из того, что плотность тока массы равна jα (r, t) =mn(r, t)vα (r, t), т. е. поле скоростей vα (r, t) определяется из полученных35ранее выражений для плотности числа частиц и плотности тока.Волновая функция системы N частиц может быть представлена ввидеψ(R, t) = a(R, t) exp(iS(R, t)/h̄),(2.48)где a2 (R, t) есть плотность вероятности обнаружения системы в объеме(R,R+dR) 3N-мерного конфигурационного пространства, а фаза волновойфункции S(R, t) - это величина, градиент которой в нерелятивистском случае соответствует плотности потока вероятности.Подставим данное выражение (2.48) в формулу для плотности токамассы (2.26) и получим следующий результат:j α (r, t) =ZdRNXi=1δ(r − ri )mi a2 viα ,(2.49)гдеviαsαisαi s2ih̄2 · α −1=−+si a ∆i a + ∂iα (sβi ∂iβ ln a)3322mi 2mi c2mi c¸NX1ei ejαβ β+ ∂iα ∂iβ sβi −Gs .2 ij j2j=1,j6=i 2mi mj c(2.50)Здесь введена величина sαi = ∂iα S − eci Aαi .

Скорость i-ой частицы viα следует разбить на скорость потока частиц и тепловую скорость i-ой частицы:viα (R, t) = v α (r, t) + uαi (r, R, t). Скорость потока вводится таким образом,чтобы на тепловых скоростях ток был равен нулю:ZdRNXi=1δ(r − ri )mi a2 uαi = 0.(2.51)В результате получим привычное выражение для плотности тока массы (для удобства рассмотрим систему частиц одного сорта, т. е. mi =m, ei = e для всех i):j α (r, t) = mn(r, t)v α (r, t).(2.52)В этом случае уравнение непрерывности примет вид∂t n(r, t) + ∂α (n(r, t)v α (r, t)) = 0.(2.53)362.6.2.Уравнение эволюции поля скоростейИспользуя экспоненциальное представление волновой функции(2.48), можно выразить уравнения баланса импульса и энергии через привычные гидродинамические и термодинамические величины.Для односортной системы частиц уравнение баланса импульса принимает вид:mn(r, t)[∂t + vβ (r, t)∂β ]vα (r, t) + ∂β pαβ (r, t) + ∂β Tαβ (r, t) =e= enEα + nεαβγ vβ Bγ + Fαcl + Fαq ,(2.54)cгде pαβ (r, t) - тензор кинетического давления, Tαβ (r, t) - квантовая добавкак давлению, напряженность электрического поля является суммой напряженности внешнего поля и напряженности, связанной с взаимодействиемчастиц рассматриваемой системы: Eα (r, t) = Eαext (r, t) + Eαint (r, t) (аналогично для магнитного поля: Bα (r, t) = Bαext (r, t) + Bαint (r, t)).

Функция Fαclявляется классической слаборелятивистской частью плотности силы (см.(2.9); нужно также учесть тот факт, что функции pαβ (r, t) и ρ²(r, t) содержат квантовую часть, например, вместо pαβ следует писать pαβ + Tαβ ), аFαq - специфической квантовой частью плотности силы, появляющейся вквантовой гидродинамике:eh̄2∂β (∂α Eβ · n)=4m2 c2Ze2h̄2−∂β n(r, t) dr0 ∂α Gβγ (r − r0 )∂γ0 n(r0 , t).228m cFαq(2.55)Поля Eint и Bint , связанные с взаимодействием частиц системы, удовлетворяют следующим формулам:Eint (r, t) = −∇ϕint (r, t),(2.56)Bint (r, t) = rotAint (r, t),(2.57)и37вместе сϕint (r, t) = eZdr0 G(r − r0 )n(r0 , t),(2.58)иAintα (r, t)e Z 0=dr Gαβ (r − r0 )n(r0 , t)vβ (r0 , t).2c(2.59)Эти поля подчиняются квазистатическим уравнениям Максвелла:∇E(r, t) = 4πXaea na (r, t),(2.60)∇ × E(r, t) = 0,(2.61)∇B(r, t) = 0,(2.62)и∇ × B(r, t) =4π Xea na (r, t)va (r, t),c a(2.63)где a отвечает за сорт частиц.Тензор παβ (r, r0 , t), входящий в Fαcl (2.9), в квантовой гидродинамикевыглядит следующим образом:παβ (r, r0 , t) =Z=(2.64)¶h̄2dRδ(r − ri )δ(r − rj )a uiα ujβ −∂iα ∂jβ ln a .2m2i,j=1,i6=jNX02µТензор Tαβ (r, t), соответствующий квантовому вкладу в давление,имеет видZTαβ (r, t) =h̄2 µvi2 ¶dR δ(r − ri )a −1 − 2 ∂iα ∂iβ ln a2mci=1NX2·h̄2(∂iα viγ ∂iβ viγ + viγ ∂iα ∂iβ viγ )+2mc2h̄2+(viα ∂iβ + viβ ∂iα )(∂iγ viγ + 2viγ ∂iγ ln a)(2.65)4mc2¸h̄4 a−2−(a∂iα ∂iβ ∆i a + ∂iα ∂iβ a∆i a − ∂iα a∂iβ ∆i a − ∂iβ a∂iα ∆i a)4m3 c22 2ZNXαγ2 h̄ e+ dRδ(r − ri )a(Gβγij ∂iα ∂jγ ln a + Gij ∂iβ ∂jγ ln a).224m ci=1,j=1,i6=j38Это - общее представление слаборелятивистского квантового потенциалаБома.

Он определяется через амплитуду a = a(R, t) многочастичной волновой функции (2.48) и квантовые скорости vi , происходящие из фазы многочастичной волновой функции (2.50). Обычно, при приложениях квантовойгидродинамики, квантовый потенциал Бома используется в приближениинезависимых частиц, см., например, [3] (формулы (10)-(11)) и [54] (формула (17)).

Ниже представлена приближенная форма слаборелятивистскогоквантового потенциала Бома (2.65). Первый член в первой группе слагаемых в (2.65) является нерелятивистской частью потенциала Бома, полученного в [1] (см. формулу (35)). Его приближенная форма имеет видÃαβTnr!h̄2 α βh̄2 ∂ α n · ∂ β n=−∂ ∂ n+.4m4mnЕго также следует представить как плотность силы√2h̄4nFQα = −∂β T αβ =n∂α √ ,2mn(2.66)(2.67)чтобы он был более выделен.Полный слаборелятивистский квантовый потенциал Бома в приближении независимых частиц имеет следующий вид:Tαβ(r, t) =αβTnrv 2 αβ− 2 Tnrch̄2h̄2α γ β γγ α β γ+n(∂ v ∂ v + v ∂ ∂ v ) +n(v α ∂ β + v β ∂ α )(∇v)222mc4mc2µ¶¶h̄1 µ α γ βγγα β γβ α γβ γ αγ+(∂n)v∂v+v∂v−vvT+vvTnrnr4mc2c2√√√h̄4 µ√− 3 2 n · ∂ α∂ β 4 n + ∂ α∂ β n · 4 n4m c√√√ ¶√αββα−∂ n · ∂ 4 n − ∂ n · ∂ 4 n .(2.68)Релятивистская часть этой формулы содержит два типа структур.

Члены,содержащие поле скоростей v так, что они явно включают v 2 /c2 , показывая свое слаборелятивистское происхождение. Структуры второго типа39представлены последними двумя строками в формуле (5.26). В них стоитh̄2mc2 4вместо v 2 /c2 , так что они дают вклад в эволюцию возмущений вквантовой плазме, даже если поле скоростей v мало. Переход от формулы(2.65) к формуле (5.26) является шагом к замыканию уравнений квантовойгидродинамики.2.6.3.Уравнение баланса энергииТеперь следует представить уравнение баланса энергии с введеннымполем скоростей. После подстановки экспоненциальной формы волновойфункции (2.48) в выражение для плотности энергии системы частиц и разбиения ее на две части, получаем:ε(r, t) = εcl (r, t) + εq (r, t),(2.69)где εcl - классическая часть плотности энергии (см. (2.12)):Zεcl (r, t) =dRNXi=1+NXµj=1,j6=i2δ(r − ri )a·1 23mvi + 2 mvi428c1 2e2 αβ α β ¶¸e Gij + 2 Gij vi vj .24c(2.70)Кроме того, возникает квантовая часть плотности энергии εq , выписаннаядалее:·NX1h̄2 Z2dR δ(r − ri )a −a−1 ∆i a + 2 [(∂iβ viβ )2εq (r, t) =2m4ci=11+ 2(∂iβ viγ )2 + 2viβ ∆i viβ ] + 2 a−1 ∂iβ a(viβ ∂iα viα + viα ∂iβ viα )c1 −2 α β α βh̄2 −11 −12a ∆i ∆i a− 2 a ∆i avi + 2 a ∂i a∂i avi vi −2cc4m2 c2¸NXe2αβ −1 α β+G a ∂i ∂j a .2 ijj=1,j6=i 2mc(2.71)Первое слагаемое в этой формуле имеет нерелятивистское квантовое происхождение.

Остальные слагаемые связаны со слаборелятивистскими поправками, что видно из наличия перед ними множителя 1/c2 .40Функцию ε(r, t) можно представить в следующей форме, выделивклассическую потоковую и кулоновскую части:13e2 Z 024ε(r, t) = mnv + 2 mnv + n dr G(r − r0 )n(r0 , t)28c22Ze+ 2 nv α dr0 Gαβ (r − r0 )n(r0 , t)v β (r0 , t) + ρ²,4c(2.72)где ρ²(r, t) можно назвать плотностью тепловой энергии.

Эта функция является плотностью энергии за вычетом слагаемых, включающих в себятолько поле скоростей (т. е. слагаемых, не содержащих тепловых скоростей) в классической части плотности энергии εcl , а также слагаемого, являющегося энергией кулоновского взаимодействия.Аналогично представим плотность потока энергии:Qα = v α ε + v β (pαβ + T αβ ) + q α .(2.73)Вектор теплового потока q α , входящий в последнее выражение, представляется в виде:qαZ=dRNX·δ(r − ri )a uαi ρ²˜ i + uβi T̃iαβ2i=12h̄ −1¸h̄2−a ∂iβ a∂iα viβ −∂iα ∂iβ viβ2m4mαααα+ q0α + qIα + qII+ qIII+ qIV+ qcur.(2.74)Функции ρ²˜ i и T̃iαβ вводятся следующим образом:Zρ² =dRNXi=1TαβZ=dRNXi=1δ(r − ri )ρ²˜ i,(2.75)δ(r − ri )T̃iαβ .(2.76)αФункции q0α , qIα , ..., qIVсвязаны с порядком производной, стоящейαперед амплитудой волной функции a(R, t); функция qcurпредставляет со-бой вклад в тепловой поток от ток-токового взаимодействия.

Характеристики

Список файлов диссертации