Диссертация (1103373), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Следовательно, его обменное взаимодействие с окружающими электронами равно нулю. Поэтому обменное взаимодействие связано с частью электронов,находящихся в состояниях, занятых одним электроном. На Рис. 7.12 этосоответствует электронам, расположенным между кругами.7.4.Дисперсионное уравнениеИспользуя полученные выше уравнения, исследуется дисперсия ли-нейных плазменных волн в электронном газе на нанотрубке. Представимконцентрацию частиц и поле скоростей как n = n0 + δn, vϕ = 0 + δvϕ иvz = 0 + δvz , где n0 - равновесное значение концентрации, δn - возмущениеконцентрации вследствие распространения волн. В равновесии отсутствуют потоки. Далее применяется преобразование Фурье к линеаризованным1223Рис.
7.14.2Рисунок показывает $2 = ωLe,Cyl/(2πe2 n02 /m) =√12π κG( n0 R· κ) крас-ной (непрерывной) кривой, представляющей электронный газ на нанотрубке, и $2 =322 2ωLe,Pl /(2πe n0 /m) = κ показано синей (пунктирной) кривой, представляющей ленгмюров-√скую частоту плоского двумерного электронного газа, κ = k/ n0 .уравнениям (7.1)-(7.3) в соответствие с формулой (7.8)и−ωδn + kδvz = 0,(7.27)ωδvϕ = 0,(7.28)2π 4 2 2 2mn0 ωδvz − (1 + 3η )h̄ R n0 kδnmh̄2 3−k δn = e2 n0 G(k)δn4mµ·11 − η¶22+4πe Rn0 k 2(1 − γ)η + (1 + η ) ln21+η2222¸−η[ln(1 − η ) + 2 ln(π n0 R )] δn.(7.29)При выводе уравнений (7.27)-(7.29) было учтено, что производные по углуϕ равны нулю, поскольку имеем l = 0.Уравнения (7.27)-(7.29) позволяют получить дисперсионную зависимость ленгмюровских волн на цилиндрической поверхности нанотрубки:4e2 n0 k2 2πG(k) + (1 + 3η ) 2 h̄2 R2 n20 k 2ω (k) =mm2123·µ4πe211 − η¶22−Rn0 k 2(1 − γ)η + (1 + η ) lnm21+η222¸−η[ln(1 − η ) + 2 ln(2π n0 R )] .(7.30)При нулевой спиновой поляризации η = 0 из формулы (7.30) находимω 2 (k) =e2 n0 k2π 4G(k) + 2 h̄2 R2 n20 k 2 .mm(7.31)В противоположном пределе, при полной поляризации η = 1 формула(7.30) даетe2 n0 k8π 4 2 2 2 2ω (k) =G(k) + 2 h̄ R n0 kmm8πe2Rn0 k 2 [1 − γ − ln(2π 2 n0 R2 )].−m2(7.32)при 1 − γ − ln(2π 2 n0 R2 ) > 0, поскольку ln(2π 2 n0 R2 ) < 0.
В формуле (7.32)использовалось соотношениеµ11 − η¶(1 + η 2 ) ln− η[ln(1 − η 2 ) − 2 ln(π 2 n0 R2 )]21+η= ln(1 − η) − ln(1 − η) − 2 ln 2 − 2 ln(π 2 n0 R2 )= −2 ln 2 − 2 ln(π 2 n0 R2 ) = −2 ln(2π 2 n0 R2 ).Первый член в дисперсионной зависимости (7.32) соответствует плаз2менной частоте ωLe,Cyl= e2 n0 kG(k)/m.
Фурье-образ функции Грина ку-лоновского взаимодействия на цилиндрической поверхности в трехмерномпространстве выглядит как G(k) = 4πI0 (kR)K0 (kR). Эта функция характеризует геометрические свойства описываемой системы. В плоском дву22мерном электронном газе она имеет вид ωLe,Pl = 2πe n0 k/m. Все эти ленг-мюровские частоты являются аналогами известного выражения для трех2мерной среды: ωLe,3D= 4πe2 n0,3D /m, где n0,3D - трехмерная концентрациячастиц, [n0,3D ] = cm−3 . Второй член происходит от давления Ферми (7.16),третий - от квантового потенциала Бома.
Последний член в дисперсионной зависимости происходит от обменного взаимодействия. Все члены, за124Рис. 7.15.Рисунок содержит спектр коллективных возбуждений, данный формулой (7.30)при всех возможных степенях поляризации η ∈ [0, 1] и относительно больших длинах волнkR < 0.2.исключением последнего, являются положительными, тогда как обменноевзаимодействие дает отрицательный вклад. Несмотря на квантовую природу, плотность силы обменного взаимодействия (7.23) и ее вклад в дисперсионную зависимость (7.32) не содержат постоянной Планка.Численное сравнение давления Ферми и обменного взаимодействия(см.
Рис. 7.10) показывает, что в нашем случае можно отбросить вкладдавления Ферми в сравнении с кулоновским обменным взаимодействием.Рис. 7.14 демонстрирует разницу ленгмюровских частот для плоскогоэлектронного газа и цилиндрического электронного газа при R = 20 нм.Спектр ленгмюровских волн на цилиндрической поверхности с учетом давления Ферми и кулоновского обменного взаимодействия изображены на Рис. 7.15 и 7.16.125Рис. 7.16.Рисунок показывает спектр коллективных возбуждений (7.30) при малых степе-нях поляризации η < 10−3 в широком диапазоне волновых векторов k.7.5.ЗаключениеВ данной главе была получена формула для дисперсии волн в цилин-дрической плазме. Эта задача представляет интерес в силу нестандартности геометрии.
Кроме того, вычисление плотности силы обменного взаимодействия в данном случае является отдельной любопытной проблемой.Нанотрубки с радиусами в интервале от 10 нм до 30 нм, содержащие свободные носители заряда при концентрациях 109 см−2 и меньше обнаруживают разницу в свойствах по сравнению с плоскими двумернымиструктурами. Чтобы получить квантовогидродинамическое описание этихобъектов, были получены соответствующие уравнения состояния для давления вырожденных электронов.
Была также включена зависимость отполяризации спинов. Нулевая спиновая поляризация дает давление Ферми электронов нанотрубки, которое является пропорциональным третьейстепени двумерной концентрации. Также был проведен явный вывод плотности обменного кулоновского обменного взаимодействия. Плотность силыявляется потенциальным полем, и его потенциал пропорционален квадратуконцентрации, умноженному на сумму константы и логарифма концентра-126ции. Получена и зависимость плотности силы обменного взаимодействияот спиновой поляризации. Показано, что плотность силы монотонно возрастает с увеличением степени поляризации. Также была представлен численный анализ разницы давления и обменного взаимодействия в плоскомгазе и газе на нанотрубке.Полученная модель была применена к изучению дисперсии коллективных взаимодействий носителей заряда в нанотрубке, полагая, что внешнее магнитное поле направлено вдоль оси трубки.
Рассмотрена дисперсияленгмюровских волн с учетом вкладов давления Ферми, обменного кулоновского взаимодействия, а также коэффициента спиновой поляризации.1278. ЗаключениеВ данной диссертационной работе представлены следующие результаты:1. Основным результатом работы является вывод уравнений слаборелятивистской квантовой гидродинамики на основе уравнения Шредингера с гамильтонианом Дарвина, учитывающем, помимо кулоновского, также ток-токовое взаимодействие и релятивистскую поправку ккинетической энергии (помимо этого, в работе далее учтено контактное взаимодействие).
Уравнения получены в пятимоментном приближении, включающем уравнения непрерывности, эволюции скоростии баланса энергии для систем с преобладанием указанных взаимодействий.2. На основе полученных уравнений исследованы дисперсионные свойства слаборелятивистского электронного газа в трехмерном, а такжев низкоразмерном (двумерном) случае. Кроме того, была рассмотрена дисперсия в потоке электронов с целью проследить вклад болееширокого набора слагаемых в уравнениях баланса.3. Исследован вклад контактного взаимодействия в уравнения квантовой гидродинамики, и на этой основе также рассмотрена дисперсияленгмюровских волн в слаборелятивистских системах.
Проведено сопоставление результатов с теорией, полученной на основе гамильтониана для одной частицы во внешнем поле, являющегося следствиемуравнения Дирака. Показано, что следствие уравнения Дирака и кон-128тактное взаимодействие в гамильтониане Брейта дают разный коэффициент в слагаемом, соответствующем квантовому сдвигу в квадрате плазменной частоты в дисперсионном соотношении. После включения контактного взаимодействия в гамильтониан Дарвина была рассмотрена двухкомпонентная система - электрон-позитронная плазма,и получен закон дисперсии для данного случая.4. Проведен анализ влияния эволюции плотности энергии на характердисперсии электронных колебаний. Это представляет большой интерес, т.
к. обычно уравнение баланса энергии при расчете дисперсионных свойств не учитывается. Показано, что если замкнуть функциютеплового потока с помощью закона Фурье, то в этом случае известные электронные колебания испытывают затухание.5. Рассмотрено обменное кулоновское взаимодействие электронов на поверхности нанотрубки и получено дисперсионное соотношения длясобственных плазменных волн в такой системе, в том числе в случаечастично поляризованных частиц. Вычисление плотности обменноговзаимодействия представляет собой отдельную интересную задачу.129Литература1.Kuz’menkov L. S., Maksimov S. G. Quantum hydrodynamics of particlesystems with coulomb interaction and quantum bohm potential // Theor.Math.
Phys. 1999. V. 118. Is. 2. P. 227-240.2.Kuz’menkov L. S., Maksimov S. G., Fedoseev V. V. Microscopic quantumhydrodynamics of systems of fermions: part I // Theor. Math. Phys. 2001.V. 126. Is. 1. P. 110.3.Andreev P. A., Kuz’menkov L. S., Trukhanova M. I. Quantumhydrodynamics approach to the formation of waves in polarized twodimensional systems of charged and neutral particles // Phys. Rev. B.2011. V. 84. P.
245401.4.Andreev P. A., Kuz’menkov L. S. Waves of magnetic moment andgeneration of waves by neutron beam in quantum magnetized plasma //Int. J. Mod. Phys. B. 2012. V. 26. N. 32. P. 1250186.5.Andreev P. A., Kuz’menkov L. S. On equations for the evolution ofcollective phenomena in fermion systems // Rus. J. Phys. 2007. V. 50.N. 12. P. 1251-1258.6.Landau L. D., Lifshitz E. M. The Classical Theory of Fields. Oxford:Butterworth-Heinemann, 1975.7.Власов А. А.
О вибрационных свойствах электронного газа // ЖЭТФ.1938. Т. 8(3). С. 291.1308.Vlasov A. A. The vibrational properties of an electron gas // Sov. Phys.Usp. 1968. V. 10. P. 721-733.9.Bohm D., Gross E. P. Theory of Plasma Oscillations. A. Origin ofMedium-Like Behavior // Phys. Rev. 1949. V. 75. P. 1851.10. Pitaevskii L. P., Lifshitz E.
M. Physical Kinetics. Oxford: PergamonPress, 1981.11. Klimontovich Yu. L. Statistical Physics. New York: Harwood, 1986.12. Заславский Г. М. О релятивистской гидродинамике плазмы в магнитном поле // Прикладная механика и техническая физика. 1962. N. 5.С. 42-47.13. Baranov A.A., Brook-Levinson E.T., Pavlotsky I.P., Shekhovtsova L.G.Relativistic BBGKY hierarchy in the c-2 approximation includingretardation // Phys. Lett. A. 1973. V. 43. N. 5. P. 417-419.14. Orlov Yu. N., Pavlotsky I. P. BBGKY-hierarchies and VlasovЎs equationsin postgalilean approximation // Physica A.
1988. V. 151. N. 2-3. P. 318340.15. Orlov Yu. N., Pavlotsky I. P. Quantum BBGKY-hierarchies andWignerЎs equation in postgalilean approximation // Physica A. 1989.V. 158. P. 607-618.16. Orlov Yu. N., Vedenyapin V. V. Special Polynomials in Problems ofQuantum Optics // Mod. Phys. Lett. B. 1995. V.
9. N. 5. P. 291-298.17. Orlov Yu. N., Pavlotsky I. P. Equilibrium correlation function in postgalilean approximation of a scalar field // Physica A. 1992. V. 184. P.558-570.13118. Mingalev O. V., Orlov Yu. N., Vedenyapin V. V. Conservation laws forPolynomial Quantum Hamiltonians // Phys. Lett. A. 1996.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
