Диссертация (1103373), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Углеродные нанотрубки имеют различные режимы проводников концентрации и проводимости. σ- и π-электроны в углеродных нанотрубкахпоказывают разное поведение, поскольку три σ-электрона каждого атомасильно связаны внутри него, тогда как один π-электрон связан довольно слабо. Эти свойства охватываются двухжидкостной гидродинамическоймоделью электронов в углеродной трубке [142], [143]. Проводимость связанных электронов включает электроны каждого атома, что дает большую концентрацию носителей n0 ≈ 1015 cm−2 . Давление Ферми σ- и πэлектронных жидкостей было представлено в [144].
Отдельная эволюцияэлектронов со спином ”вверх” и со спином ”вниз” в двумерном и трехмерномслучае разрабатывалась недавно в литературе [119]-[121].Глава организована следующим образом. В разделе 7.2 представлены гидродинамические уравнения для электронного газа на нанотрубке, атакже выведены уравнения состояния таких электронов.
В разделе 7.3 выводится явный вид плотности силы обменного взаимодействия. В разделе1047.4 представлен спектр коллективных возбуждений.7.2.Описание методаМетод вывода уравнений квантовой гидродинамики для систем мно-гих заряженных частиц был предложен Кузьменковым и Максимовым в1999 [1]. Гамильтониан системы в данном случае такой же, как и в предыдущей главе, и он описывает частицы с кулоновским взаимодействием. Кулоновское взаимодействие дает два вклада в уравнение Эйлера, управляющееколлективным движением электронов: самосогласованную часть и обменную часть. Ниже будет уточнено, что частицы связаны с цилиндрическойповерхностью нанотрубки. Главная цель состоит в том, чтобы представитьмикроскопический вывод плотности силы обменного кулоновского взаимодействия электронов на нанотрубке. Обменное взаимодействие возникаетза пределами приближения самосогласованного поля, следовательно, требуется вычислить квантовые двухчастичные корреляции, как это было проделано в [113] для трехмерного и плоского двумерного электронного газа.Явный вывод уравнений квантовой гидродинамики в цилиндрических√координатах (ρ = x2 + y 2 , ϕ = arctan(y/x), и z = z) был недавно выполнен в [114].
Тем не менее, уравнения квантовой гидродинамики в этойформе применялись и ранее [122]-[129]. Заменяя ρ на R и полагая vρ = 0,отбрасывая производные по ρ, находим уравнения для электронов на нанотрубке:1∂ϕ (nvϕ ) + ∂z (nvz ) = 0,R¶µ11mn∂t vϕ + mn vϕ ∂ϕ + vz ∂z vϕ + ∂ϕ PRR∂t n +√h̄2 1 µ 4 n ¶−n ∂ϕ √= qe nEϕ + FϕEx ,2m Rn(7.1)(7.2)105иµmn∂t vz + mn¶1vϕ ∂ϕ + vz ∂z vz + ∂z PRµ √ ¶h̄24 n−n∂z √= qe nEz + FzEx ,2mn(7.3)где FϕEx и FzEx - плотности силы, связанные с обменным кулоновским взаимодействием, P - давление, относящееся к распределению частиц по различным квантовым состояниям, qe = −e - заряд электрона.
Уравнение(7.1) является уравнением непрерывности, а уравнения (7.2), (7.3) являются уравнениями Эйлера для проекций поля скоростей vϕ и vz .Изначально плотность силы взаимодействия, представленная в уравнении Эйлера (7.2) и (7.3) как Fαint = qe nEα + FαEx , возникает в видеFint = −qeZdr0 (∇G(| r − r0 |))××[qe n2(ee) (r, r0 , t) + qi n2(ei) (r, r0 , t)],(7.4)где n2(ea) (r, r0 , t) - двухчастичная концентрация, a = e, i.
Функцияn2(ei) (r, r0 , t) не содержит обменной части (фоковской части в приближенииХартри-Фока), поскольку электроны и ионы не являются тождественными частицами. Следовательно, имеем n2(ei) (r, r0 , t) = ne (r, t)ni (r0 , t). В тоже время электронная двухчастичная концентрация содержит обменнуючасть. В пределе слабо взаимодействующих частиц можно написатьn2(ee) (r, r0 , t) = ne (r, t)ne (r0 , t) − ρ(r, r0 , t)(7.5)для системы электронов с одинаковыми спиновыми состояниями. Результат (7.5) появляется вследствие симметрии спиновой части многочастичнойволновой функции и антисимметрии координатной части волновой функции, что соответствует антисимметрии полной волновой функции относительно перестановки тождественных частиц.106Наличие спиновой поляризации воздействует на второй член в формуле (7.5).
Если имеется желание рассмотреть систему частично поляризованных фермионов, нужно включить обменную часть кулоновского взаимодействия, дающую равные сдвиги энергии, но в противоположных направлениях по отношению к относительному направлению спинов этих частиц. В качестве первого шага рассматривается система с полностью поляризованными спинами, далее делается обобщение на случай частичнополяризованных спинов.В случае фермионов FEx имеет следующую форму:FEx = e2Zdr0 ∇G(r − r0 )|ρ(r, r0 , t)|2 .(7.6)Внешнее магнитное поле направляется вдоль оси цилиндра: B =B0 ez . В этом случае сила Лоренца равна нулю. Однако, магнитное поле дает вклад через поляризацию спинов электронов, которая влияет на уравнение состояния и плотность силы кулоновского обменного взаимодействия,как будет показано ниже.Имеются некоторые замечания [145]-[147] насчет вывода гидродинамических уравнений из одночастичных моделей и пренебрежения областьюприменимости этих уравнений.
Формулы, представленные выше, показывают, что мы получили уравнения из многочастичной модели. Следовательно, появление давления Ферми и обменного кулоновского взаимодействияявляется обоснованным. Область применимости уравнений обсуждаетсяниже в ходе получения явной формы давления Ферми. Соответствующиепределы обсуждены далее.Уравнения квантовой гидродинамики в цилиндрических координатах были явно выведены в [114], где обсуждался вклад квантовой частиинерциальных сил, которые вместе с квантовой частью потока импульсаформируют известный вид квантового потенциала Бома, представленного107в уравнениях (7.2) и (7.3).Функция ρ(r, r0 , t) имеет следующее определение:ρ(r, r0 , t) =Xfnf ϕ∗f (r, t)ϕf (r0 , t),(7.7)где nf есть число частиц в квантовом состоянии, определяемом наборомчисел f , ϕf (r, t) есть волновые функции этих состояний [1], [45].
Для вычисления плотности силы обменного взаимодействия приближенно используются решения уравнения Шредингера для свободных частиц в цилиндрических координатах:µ1i ¶ϕp,l (r, t) = √exp − Et exp(ilϕ + ipz/h̄),h̄2πRL(7.8)где L и R - длина и радиус цилиндра (нанотрубки) соответственно, l квантовое число, характеризующее импульс по координате ϕ (спектр данного числа принадлежит множеству целых чисел), p - импульс, связанныйс движением вдоль оси z. Электрическое поле E в уравнениях (7.2), (7.3)появляется, в соответствии с уравнениями Максвелла, в видеZE = −qe ∇ne − n0i 0dr ,| r − r0 |(7.9)где dr0 - бесконечно малый объем двумерной поверхности: dr0 = dx0 dy 0 дляплоскостей, ∇ = {(1/R)∂ϕ , ∂z } и dr0 = Rdϕ0 dz 0 для цилиндра. Мы полагаем, что равновесные концентрации электронов и ионов равны друг другу.Следовательно, разность ne − n0i дает возмущение электронной плотностиδn.
Уравнения (7.1)-(7.3) вместе с формулой (7.9) соответствуют двумернойгидродинамике, разработанной в [109], [110].Поскольку рассматриваются электроны на цилиндрической поверхности, можно переписать общую формулу (7.9) в более явном виде, включающем симметрию задачи:E = −qe ∇+∞X Z +∞l=−∞−∞dkG(k, l)×(2π)2108Рис.
7.1. Рисунок показывает распределение квантовых состояний электронов в нанотрубкев безразмерном импульсном пространстве πϕ = pϕ R/h̄, πz = pz R/h̄. Красные точки внутрибольшого круга показывают дискретное (квази-непрерывное) распределение квантовых состояний для выбранных l при разных πz .Рис. 7.2. Рисунок показывает объем каждого квантового состояния электронов в нанотрубкев безразмерном импульсном пространстве πϕ = pϕ R/h̄, πz = pz R/h̄.109Рис.
7.3. Рисунок показывает двумерную область в безразмерном импульсном пространствес импульсами, меньшими, чем импульс p↑↑ электронов в нанотрубке относительно квантовых состояний с l = ±1. Поскольку все электроны имеют l = 0, распределение электронных состояний является квази-одномерным, несмотря на двумерность распределения частицв пространстве.Z×Rdϕ0 dz 0 [ne − n0i ] exp[ıl(ϕ − ϕ0 ) + ık(z − z 0 )],(7.10)где G(k, l) = 4πIn (kR)Kn (kR), где также было применено следующее разложение для функции Грина кулоновского взаимодействия [148] (см. стр.104, формулу 3.148):+∞X11 Z +∞0dkeil(ϕ−ϕ ) ×=0|r − r | π −∞l=−∞0×eik(z−z ) Il (kρ< )Kl (kρ> ),(7.11)где ρ< , ρ> - большая и меньшая переменные из ρ и ρ0 , Il (kρ< ) и Kl (kρ> ) модифицированные функции Бесселя первого и второго рода.
Для случаяэлектронов, расположенных на цилиндрической поверхности, используетсяρ = ρ0 = R.Рис. 7.1 показывает распределение квантовых состояний в импульсном пространстве для идеального электронного газа, расположенного нацилиндрической поверхности. Рис. 7.2 демонстрирует объем квантовых состояний в импульсном пространстве. Рис. 7.3 показывает положение поверхности Ферми | p |≤ pF e относительно квантовых состояний электронов110Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
