Диссертация (1103373), страница 17
Текст из файла (страница 17)
7.4. Рисунок показывает объем занятых квантовых состояний в безразмерном импульсном пространстве, соответствующем поверхности Ферми, представленной на Рис. 7.3.при относительно низкой концентрации электронов.Можно показать, что для достаточно узкой трубки все частицы будутв состояниях с l = 0; этот случай рассматривается далее. Теперь следуетполучить выражения для импульса и давления Ферми. Число частиц N всистеме равно объему системы в импульсном пространстве V = 2p↑↑h̄/R,деленному на объем одного электронного состояния в нанотрубке Vs =(2πh̄)22πLR ,где объем квантового состояния относительно движения по оси ϕVϕ = 2πh̄/(2πR) = h̄/R.
В пределе полной поляризации спинов, когдакаждое состояние занято одним электроном, получаемN=2p↑↑ Rh̄2πh̄2LR,(7.12)Множитель h̄/R в числителе происходит от того факта, что импульс вдолькоординаты ϕ равен pϕ = lh̄/R, откуда видно, что ширина одного состояния равна h̄/R, как изображено на Рис.
7.4. Так получаем, что максимальный импульс занятых состояний p↑↑ полностью поляризованных электронов на цилиндрической поверхности равенp↑↑ = 2π 2h̄Rn,где n = N/V2D , V2D = 2πLR.(7.13)111Рис. 7.5.Рисунок показывает одновременное изменение поверхности Ферми и положенияквантовых состояний с ненулевым квантовым числом l с увеличением радиуса нанотрубки.112Импульс Ферми соответствует двойному занятию низколежащихквантовых состояний с pF e = π 2h̄Rn, который в два раза меньше, чемp↑↑ . Соответствующая энергия Ферми имеет традиционное определениеEF e = p2F e /(2m).Рис.
7.5 иллюстрирует изменение относительных положений поверхности Ферми и квантовых состояний при увеличении радиуса нанотрубкиR при фиксированной концентрации электронов n0 или при увеличенииконцентрации n0 при фиксированном радиусе R.Средняя энергия полностью поляризованных электронов E получается с помощью формулыE↑↑ =R p↑↑ 1 2R h̄/2R−p↑↑ 2m pz dpz −h̄/2R dpϕR p↑↑R h̄/2R−p↑↑ dpz −h̄/2R dpϕ2π 4 2 2 2 4=h̄ R n = EF e .3m3(7.14)Кривизна цилиндрической поверхности радиуса порядка 20 нм дает вклад в давление Ферми и обменное кулоновское взаимодействие, есликонцентрация электронов имеет порядок около 108 ÷ 1010 см−2 .
Это соответствует температуре Ферми порядка TF e =EF ekB= 1 K, в этом выражениибыла применена редуцированная постоянная Планка h̄ = 1.05 · 10−27 эрг·с,постоянная Больцмана kB = 1.38 · 10−16 эрг·K−1 и масса электрона me = 9· 10−28 г. Следовательно, наши результаты соответствуют низким температурам.Средняя энергия позволяет нам найти уравнение состояния. Давлениеидеального газа, имеющего две степени свободы, находится через уравнениеP↑↑ = E↑↑ n.(7.15)В двумерном случае в формуле (7.15) коэффициент 2/3, стоящий передE в трехмерном случае, переходит в 2/2 = 1. В результате получается113следующее выражение для давления частиц с поляризованными спинами:P↑↑ =2π 4 2 2 3h̄ R n .3m(7.16)Подобные вычисления для неполяризованного электронного газа дают давление Ферми PF e :PF eπ4 2 2 3=h̄ R n .6m(7.17)Если рассмотреть плоский 2D газ, можно получить уравнение состояния PF e,P l = πh̄2 n2 /(2m). Для численной демонстрации разницы уравненийсостояния в двух случаях (цилиндрическом (7.17) и плоском) приводитсяРис.
7.6. Показывается, что при R=20 нм давление вырожденного электронного газа на нанотрубке существенно меньше, чем давление плоскогоФерми газа при концентрациях, меньших чем 1010 см−2 (см. нижний график в Рис. 7.6). Верхний график в Рис. 7.6 дает сравнение формулы (7.17)для давления Ферми электронов на нанотрубке радиуса R = 200 нм с давлением Ферми плоского электронного газа.
В этом случае ситуация меняется. Давление Ферми газа на нанотрубке становится меньше в сравнениис плоской геометрией.Мы рассматриваем занятие одного уровня в импульсном пространстве с l = 0. Область параметров, соответствующих этом режиму, представлена на Рис. 7.7.7.3.Плотность силы обменного взаимодействияВ этом разделе представлено вычисление плотности силы обменногокулоновского взаимодействия (7.6) электронов, расположенных на цилиндрической поверхности. Вычисление представлены для полностью поляризованного газа: nf = 1.114Рис. 7.6. Рисунок демонстрирует сравнение уравнений состояния плоского электронного газас электронным газом на нанотрубке с единственным занятым уровнем l = 0, который представлен формулой (7.17). Непрерывная (красная) кривая соответствует давлению двумерногоцилиндрического электронного газа.
Пунктирная (синяя) кривая описывает давление Фермидля плоского двумерного газа. На этом рисунке применяется n0 = 1010 см−2 , P0 = πh̄2 n20 /m,Ppl = P0 (n/n0 )2 , Pcyl = (2/3)π 3 R2 P0 n3 /n20 . Верхний и нижний рисунки различаются междусобой радиусом нанотрубки.115Рис. 7.7.Рисунок показывает условия для занятия только одного уровня (l=0). Единствен-ный уровень занят, если синяя поверхность ниже плоскости, представляющей единичныйуровень.Можно переписать формулу (7.6) следующим образом:ExF×Xf,f 0=e2Zdr0 ∇G(r − r0 )×nf nf 0 ϕ∗f (r, t)ϕf (r0 , t)ϕf 0 (r, t)ϕ∗f 0 (r0 , t).(7.18)Как упомянуто выше, числа заполнения для состояний внутри сферы радиуса p↑↑ в импульсном пространстве равны единице: nf = 1. Подставимволновые функции (7.8) в формулу (7.18).
Сумма по состояниям равна1=2π Lh̄XfZ p↑↑−p↑↑dp.(7.19)Не требуется проводить суммирование по всем l, поскольку в нашем случаеl = 0 для всех частиц. В результате получается следующее выражение дляFEx :ExF×∇Z p↑↑−p↑↑dpZ p↑↑−p↑↑e2= 3 2 ×4π h̄ Rdp0 I0 ((p − p0 )R/h̄)K0 ((p − p0 )R/h̄).(7.20)116Рассматривается предел малых волновых векторов kR ¿ 1, следовательно, асимптотические выражения для модифицированных функцийБесселя могут быть использованы для вычисления обменного взаимодействия.
Используются соотношенияI0 (x) ' 1,(7.21)иK0 (x) ' − ln|x|− γ,2(7.22)где γ ≈ 0, 577215... - постоянная Эйлера-Маскерони (см. [148], стр. 92, формулы 3.102 и 3.103). В результате для плотности силы получаем следующеевыражение:ExF2·µ22¶2¸= 2πe R∇ 3 − 2γ − 2 ln[2π R n] n ,(7.23)с ln[2π 2 R2 n] < 0.Является интересным и важным сравнить результат (7.23) с двумер√23/2ным аналогом FEx/(3π π) [107], [113]. Чтобы предpl = 192 · arcsh1 · e ∇nставить это сравнение, полезно ввести потенциалы этих сил FEx = ∇UCylи FExpl = ∇Upl .
Зависимости потенциалов от концентрации UCyl (n), Upl (n)представлены на Рис. 7.8.7.3.1.Частичная спиновая поляризация электроновВыше были представлены уравнение состояния (7.16) и плотности силы обменного кулоновского взаимодействия (7.23) для электронов на нанотрубке в случае полной спиновой поляризации. Это простой случай, который позволяет провести вывод относительно легко. Далее будет рассмотренболее общий случай частичной поляризации.Рис. 7.9 демонстрирует, что рост обменного потенциала с увеличением концентрации становится медленнее, если спиновая поляризация умень-117Рис. 7.8.Рисунок демонстрирует сравнение потенциала обменных сил для плоского элек-тронного газа и электронного газа на нанотрубке с заполнением одного уровня l = 0.
Потенциал соответствует плотности силы FEx = ∇U . Верхняя (синяя, пунктирная) кривая описываетобменное взаимодействие в плоском газе, нижняя (красная) кривая описывает цилиндрический случай.Рис. 7.9.Рисунок показывает потенциал обменного взаимодействия в зависимости от кон-центрации электронов n0 и спиновой поляризации η.118Рис. 7.10.
Рисунок показывает давление Ферми P , данное формулой (7.25) (синяя пунктирная линия), и потенциал обменного кулоновского взаимодействия U , данный формулой (7.26)(непрерывная красная линия) для полностью спиново поляризованных систем.Рис. 7.11.
Рисунок демонстрирует давление Ферми P , данное формулой (7.25) (синяя пунктирная линия) и обменный кулоновский потенциал U (7.26) (непрерывная красная линия) длядвух режимов частично поляризованных электронов.119шается от η = 1 до η = 0. Более того, из Рис. 7.9 можно увидеть, чтопотенциал обменного взаимодействия равен нулю при нулевой спиновойполяризации.Обменный потенциал значительно превышает давление Ферми в широкой области поляризаций: η ∈ [10−5 , 1].
Это иллюстрируется Рис. 7.10,где сравниваются обменный потенциал и давление Ферми электронного газа в режиме полной поляризации η = 1. Видно, что обменный потенциална пять порядков больше, чем давление Ферми.Рис. 7.11, подобно Рис. 7.10, дает сравнение обменного потенциала U(7.26) и давления Ферми P (7.25) с режиме слабой спиновой поляризацииη = 10−6 и η = 10−8 . В этом режиме P и U сравнимы. Давление Ферми становится больше обменного потенциала еще при достаточно малыхкоэффициентах поляризации.При частичной поляризации вырожденных электронов существуютэлектроны со спином ”вниз” (”вверх”), которые занимают квантовые состояния, лежащие внутри круга радиуса p↓↓ (p↑↑ ) в импульсном пространстве,и при этом p↓↓ > p↑↑ , как это представлено на Рис. 7.12.
Следовательно,область при p < p↑↑ занята парой электронов с противоположными спинами, а область p↓↓ > p > p↑↑ занята только электронами со спином ”вниз”.Полное давление в системе P возникает как сумма давлений ”спин-вверх”и ”спин-вниз” электронов P = P↑↑ + P↓↓ , где частичные давления P↑↑ , P↓↓даются формулой (7.16) с концентрацией электронов со спином ”вверх” n↑и электронов со спином ”вниз” n↓ соответственно. Частичные концентрации n↑ and n↓ могут быть легко представлены через полную концентрациюэлектронов и степень их поляризацииn↑ =n2−∆n2 ,n↓ =n2+∆n2 ,(7.24)где n есть полная концентрация, а ∆n есть концентрация частиц, нахо-120Рис.
7.12.Рисунок демонстрирует заполнение квантовых состояний электронами на нано-трубке при частичной поляризации. Малый круг (большой круг) соответствует электронам соспином ”вверх” (”вниз”). Следовательно, область внутри малого круга занята двумя электронами с противоположными спинами в каждом состоянии с определенным импульсом, тогдакак область между кругами содержит по одному электрону со спином ”вниз”.дящихся в частично занятых состояниях p↓↓ > p > p↑↑ (см.
область между кругами на Рис. 7.12). Применяется обозначение степени поляризацииη =| n↑ − n↓ | /(n↑ + n↓ ). Следовательно n↑ = n(1 − η)/2, и n↓ = n(1 + η)/2.Окончательно для случая промежуточной спиновой поляризацииимеемPm = (1 + 3η 2 )π4 2 2 3h̄ R n .6m(7.25)Рис. 7.13 показывает ”ступеньку” Ферми (функцию распределения)Рис. 7.13. Рисунок показывает функции распределения для частично поляризованных электронов и неполяризованных электронов.121для частично поляризованных и неполяризованных систем электронов.Далее рассматривается плотность силы обменного взаимодействиядля частично поляризованных электронов.Вследствие частичной поляризации при температурах ниже температуры Ферми, получаем(Ex)F (Ex) = F↓↓(Ex)− F↑↑·µ22¶= 2πe R∇ 3 − 2γ − 2 ln[2π R n↓ ] n2↓µ222¶− 3 − 2γ − 2 ln[2π R n↑ ]¸µ1 21 − η¶2= 2πe R∇ (3 − 2γ)ηn + n (1 + η ) ln21+η2·n2↑22µ222¶¸−n η 2 ln[π R n] + ln(1 − η ) .(7.26)Если имеется набор квантовых состояний, занятых двумя электронами с противоположными спинами, то отдельный фермион взаимодействуетс почти равными количествами спин-вверх и спин-вниз электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
