Диссертация (1103373), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Общее решениеэтого уравнение дается формулами Кардано. Эти формулы дают решениев довольно неудобной форме, так что далее это уравнение решается дляпрактического случая, когда ωp2 больше всех остальных коэффициентов в(6.16).При обычном рассмотрении, когда уравнение энергии не представлено, дисперсионное уравнение является алгебраическим уравнением второгопорядка. Оно имеет очень простую форму:2ω −ωp2T0 k 2 h̄2 k 4−−= 0.m4m2(6.17)Здесь имеется два решения, отличающихся только знаком. Ситуацияменяется в случае, описанном выше. Решения ω1,2 (k), соответствующиеобычным решениям, имеют мнимую часть, и, следовательно, различаются не только знаком. Также здесь имеется новая ветвь ω3 (k), являющаясячисто мнимой.
Эта ветвь соответствует затуханию волн.Найдем приближенное решение вблизи классического результата ω =±ωp :ω = ±ωp + δ,(6.18)где δ - малое отклонение от ±ωp . Отбрасывая члены выше первого порядкапо δ в (6.16), находим чтоµ1 ·2 T0 4h̄2 k 6 ¸5 T0 2 h̄2 k 4 ¶δ = 2 ±ωpk +−iκk − iκq,2ωp3m4m23m6m2i µ 2 T0 4h̄2 k 6 ¶1 µ 5 T0 2 h̄2 k 4 ¶¸k +− 2κk + κq.= ±ωp 1 + 22ωp 3 m4m22ωp 3 m6m2(6.19)·ω1,2(6.20)Подобным образом может быть найдено решение вблизи затухающей ветвиω = −iκk 2 :i µ 2 T0 4h̄2 k 6 ¶ω3 = −iκk + 2κk + κq.ωp 3 m6m22(6.21)98Таким образом, глядя на эти выражения, легко прийти к выводу, чторешения ω1,2 действительно соответствуют хорошо известной плазменнойветви, а ω3 есть ветвь, описывающая затухание тепловой энергии.
Еслипродолжить итерационный процесс, будет найдено, что реальная часть ωтакже зависит от коэффициента температуропроводности κ нетривиальным образом. При конечных темпертурах плазменные волны испытываютзатухание (это - новый интересный результат), и это затухание более медленное в сравнении с ветвью ω3 , поскольку1 T0 k 2ωp2 m¿ 1. Заметим, что чис-ловой коэффициент перед температурным членом в (6.20) равен 5/3, чтоотличается от 1 в изотермическом случае и 3 в одномерном адиабатическом случае [83].
Дополнительный (в сравнении с изотермическим случаем)числовой коэффициент 2/3 возникает от члена p∂α vα в уравнении балансаэнергии (6.9). Действительно, 5/3 - это показатель адиабаты одноатомногогаза.Полагая h̄ = 0 в (6.20)-(6.21), получается решение такой задачи вклассической гидродинамике, что представляет отдельный интерес:6.5.ВыводВ начале данной работы дано краткое описание метода квантовойгидродинамики.
Уравнения квантовой гидродинамики могут быть получены для гамильтоновых систем; в данной работе пятимоментная системагидродинамических уравнений представлена для квантовой системы частиц с кулоновским взаимодействием. Внешнее электромагнитное поле также может быть учтено. Эта система уравнений линеаризуется и выводитсядисперсионное уравнение для ленгмюровских волн. Учитывается толькоприближение самосогласованного поля. Уравнение энергии, в отличие отуравнения баланса импульса, не содержит квантовых нетепловых членов99в линейном случае. Квантовый тепловой член в уравнении энергии замыкается используя аналогию с законом Фурье для классического тепловогопотока энергии.
В отличие от обычного случая, имеется три дисперсионныхрешения, одно из которых новое (и эта ветвь полностью мнимая). Имеетсязатухание энергии в связи с диссипацией тепловой энергии и стремлениемк равновесному состоянию.1007. Обменное кулоновское взаимодействие нананотрубке: дисперсия ленгмюровских волн7.1.ВведениеИзучение обменного кулоновского взаимодействия в электронном газеимеет долгую историю [103]-[106] (эти фундаментальные работы посвящены трехмерному газу). В 1983 кулоновское обменное взаимодействие былорассмотрено для случая двумерного электронного газа [107]; это исследование было выполнено на фоне исследований двумерного газа в приближениисамосогласованного поля [87], [108]-[112].Обобщение поля силы кулоновского обменного взаимодействия втрехмерном электронном газе (квантовой плазме) включает зависимостьот спиновой поляризации [52], [56], [113].
Такая же задача для двумернойквантовой плазмы была решена в [113]. Обзор этой темы был сделан в [114]как часть детального описания метода многочастичной квантовой гидродинамики. Приложения обобщенной плотности силы кулоновского взаимодействия были применены к трехмерной намагниченной квантовой плазме в [115]. Кинетическая модель низкочастотных плазменных колебанийс обменным взаимодействием в трехмерной среде может быть найдена в[116]. Краткий обзор развития и приложений обменного взаимодействияв трехмерном кулоновском газе дан в [113]. Обзоры некоторых недавнихрезультатов в квантовой плазме, включая релятивистские эффекты, представлены в [40], [54] и во введении в работе [117].Квантовая плазма частиц со спином 1/2 впервые была рассмотрена101Кузьменковым и др. в 2001 в [2], где соответствующие уравнения квантовой гидродинамики были выведены при явном рассмотрении эволюциимногих частиц. Спин-спиновое взаимодействие между электронами былоявно включено в рассмотрение; рассматривалось приближение самосогласованного поля.
В следующей статье [52] было представлено обобщениеквантовой гидродинамики спиновых частиц, включающее как обменное кулоновское взаимодействие, так и обменное спин-спиновое. Эта модель былаобобщением многочастичной квантовой гидродинамики без явного наличия эволюции спина [1], где общая форма обменного взаимодействия былаполучена как для систем бозонов, так и систем фермионов. Эти общиеметоды были применены к квантово-гидродинамическому выводу уравнений Гросса-Питаевского, его обобщения и подобных уравнений для ультрахолодных фермионов нейтральных частиц с короткодействующим потенциалом взаимодействия [45]. Следуя [52], вклад кулоновского и спинспинового обменных взаимодействий в спектры намагниченной квантовойплазмы был изучен в [56].
В [76] методы многочастичной квантовой гидродинамики [2], [52] были применены к выводу квантовых кинетическихуравнений для спиновых частиц в трехмерных и низкоразмерных системах. Также были разработаны модели с раздельным описанием электроновсо спином ”вверх” и спином ”вниз” [118]-[121].Ввиду имеющегося интереса к волнам на нанотрубках, мы получаем плотность силы обменного кулоновского взаимодействия между электронами на цилиндрах малого радиуса, нанотрубках, в которых кривизнаповерхности имеет значение. Будет рассмотрен электронный газ при концентрациях 108 ÷109 см−2 на цилиндрических поверхностях радиуса 10÷30нм.Рассматривались сферические и цилиндрические волны в трехмерной102классической [122] или квантовой [123]-[129] плазме.
Однако, существуетнемало работ, посвященных плазме, расположенной на двумерных сферических или цилиндрических поверхностях. Эти поверхности находятся втрехмерном физическом пространстве, и они также могут быть окруженыразличными средами. Как модельную задачу можно рассматривать сферическую или цилиндрическую поверхность, окруженную средой с единичнойдиэлектрической проницаемостью. Тогда окружающая среда не будет влиять на свойства плазмы на этих поверхностях. Также исследуются различные свойства плазмы на этих поверхностях [130]-[137].
Говоря о квантовыхэффектах имеется в виду вклад квантового потенциала Бома. Несмотряна квантовую природу давления Ферми, существующего в силу принципаисключения Паули, оно может быть включено в классическую модель соответствующим выбором уравнения состояния. Данная работа посвященадругому эффекту в плазме. Это - обменный вклад кулоновского взаимодействия. Для двумерного электронного газа он был выведен в [107] и обобщенв [113]. Здесь мы рассматриваем свойства давления Ферми и кулоновскогообменного взаимодействия для нанотрубки.
Влияние кулоновского обменного взаимодействия на свойства волн в нанотрубках рассматривалось в[138], [139] для высокоплотного газа, когда кривизна цилиндрической поверхности несущественна. Однако, в работе [139] при изучении двумернойсистемы авторы использовали обменный потенциал, полученный для трехмерных систем. Отметим, что давление Ферми для электронного газа насфере было недавно получено в [114] (см.
формулу (256)). Также отметим,что применение трехмерных уравнений состояния или обменных потенциалов, как это было сделано в [134]-[137], [139], является неподходящим. Модели двумерных объектов имеют дело с двумерными концентрациями, счислом частиц на единицу площади [n2D ] = cm−2 , тогда как трехмерные103уравнения состояния или обменные потенциалы содержат трехмерные концентрации [n3D ] = cm−3 . К сожалению, имеются и другие ошибки, когдаприменяются подходящие для низкоразмерного случая уравнения состояния, но рассматриваются при этом трехмерная дифференциальная формауравнений Максвелла, которые не отражают геометрию рассматриваемыхсистем [63], [140].Модели квантовой плазмы, рассматривающие вклад квантового потенциала Бома обычно не включают конечный размер ионов или пылинок.Гидродинамическая модель, явно учитывающая эффекты наличия у частиц размеров, была разработана в [141].Один из наиболее важных примеров нанотрубок - это углеродная нанотрубка, которая несколько отличается от рассматриваемых далее объектов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
