Диссертация (1103373), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Вклад дарвиновского члена имеет разную величину в зависимости от выбранного исходного гамильтониана, что представляет особый интерес, что и было проанализировано в данной работе.89Также была получена дисперсионная зависимость для волн в электронпозитронной плазме.Представлено решение уравнений квантовой гидродинамики для слаборелятивистской заряженной бесспиновой плазмы в линейном приближении, а также был разработан метод квантовой гидродинамики для дальнейших исследований линейных и нелинейных эффектов в такой плазме.906. Влияние эволюции энергии квантовой системычастиц на электронные плазменные колебанияПятимоментное приближение в гидродинамике включает не толькоуравнения непрерывности и баланса импульса, но также и уравнение баланса энергии.
Далее система гидродинамических уравнений в этом приближении представлена для системы нерелятивистских частиц с кулоновским взаимодействием. Эта система уравнений линеаризуется, и выводитсядисперсионное уравнение для ленгмюровских волн в квазинейтральной системе электронов и неподвижных ионов. В этом случае плазменные волныиспытывают затухание, а также присутствует дополнительная затухающаяветвь.6.1.Описание задачиИсследования в области квантовой гидродинамики и квантовой плаз-мы испытывают восхождение в последние годы.
Задача состоит в выводеквантовых континуальных уравнений для систем многих частиц и исследовании известных (и, возможно, новых) явлений с использованием данногоподхода. Многие известные явления, такие как волновые моды, неустойчивости [98], нелинейные волны [99], ионно-акустические волны [100] и др.были исследованы в квантовой теории.Уравнения квантовой плазмы исследуются как с помощью кинетических, так и гидродинамических подходов. Гидродинамический подход вквантовой теории был предложен Э.
Маделунгом сразу после открытияуравнения Шредингера в 1926 [49]. Пятимоментная система гидродинами-91ческих уравнений включает уравнения эволюции для плотностей числа,импульса и энергии. Квантовое уравнение баланса импульса отличаетсяот классического уравнения наличием дополнительного квантового давления (это - главное отличие в нерелятивистском случае), которое не зависитот температуры и связывается с принципом неопределенности Гейзенберга. Эти уравнения могут быть получены разными способами, например,методом, представленным в разделе 6.2. Другим образом эти уравнениявыводятся с помощью интегрирования соответствующего кинетическогоуравнения [67], [70], [74], полученного из метода Вигнера.
Другое важноенаправление исследований - это изучение систем со спином. Спиновые эффекты и вклады в уравнения обсуждаются в [2], [39], [48].Квантовые эффекты играют существенную роль при высоких плотностях, когда длина волны де Бройля сравнима со средним расстояниеммежду частицами, а также при низких температурах. Квантовые уравнения для многочастичных систем могут быть применены в физике твердоготела [101], для компактных объектов в астрофизике [102] и в других областях. Даже малый температурный вклад может представлять интересна фоне квантовых эффектов, поэтому рассмотрение уравнения балансаэнергии представляет интерес.
Далее будет получено дисперсионное соотношение для продольных волн в плазме в присутствии уравнения энергии. Уравнение баланса энергии представляет собой, в сущности, основное уравнение неравновесной термодинамики; оно соответствует равновесной теории при отсутствии зависимости от времени и потоков в системе.Электронные колебания в плазме являются важной темой исследований сдавних пор. На самом деле, они являются колебаниями только в случаевозбуждений в классической холодной плазме, когда частота не зависит отволнового вектора, и, следовательно, групповая скорость этих возмущений92равна нулю.Система уравнений в [67] (полученная из уравнения эволюции дляфункции Вигнера) содержит уравнения для плотности числа частиц, плотности импульса, а также уравнения для тензоров Pij , Qijk .
Несмотря на то,что авторы получили более богатый набор уравнений (в смысле их количества), они достигли более стандартного дисперсионного соотношения(в сравнении с тем, что будет приведено ниже). Их процедура замыкания системы состоит в приравнивании нулю тензора ∂ l Rijkl , стоящего вправой части уравнения для тензора Qijk . В данной же работе плотностьтепловой энергии выделяется из общей плотности энергии, и, используяуравнения для нее, выводится дисперсионное соотношение с учетом коэффициента температуропроводности, а также дополнительного квантовогочлена в уравнении баланса энергии (см. раздел 6.4).6.2.Метод квантовой гидродинамикиРассмотрим квантовую систему N частиц с кулоновским взаимодей-ствием.
Вывод уравнений квантовой гидродинамики проводится в соответствии с методом, представленным впервые в [1]; детальный вывод представлен там. Микроскопическая плотность числа определяется какZn(r, t) =dRNXδ(r − ri )ψ ∗ (R, t)ψ(R, t),(6.1)i=1где ψ(R, t) - волновая функция системы, R = (r1 , ..., rN ), ri - радиус-векторчастицы,dR =NYdrj ,(6.2)j=1dR - элемент объема 3N-мерного конфигурационного пространства, drj элемент объема в трехмерном пространстве вектора rj .В квантовой механике состояние системы описывается волновойфункцией, определенной в 3N-мерном конфигурационном пространстве.93Квантово-гидродинамическое описание состоит в переходе от волновойфункции в конфигурационном пространстве к функциям в физическомтрехмерном пространстве, таким, как плотность числа n(r, t), поле скоростей vα (r, t), кинетическое давление pαβ (r, t) и т.
д. Эти функции являютсямоментами функции распределения в кинетическом подходе, поэтому приближение, включающее уравнения для плотностей числа, энергии и дляполя скоростей называется пятимоментным приближением.Дифференцируя (6.1) по t и используя уравнение Шредингера с гамильтонианом N частиц с кулоновским взаимодействиемN1 Xei ejD̂2i+,Ĥ =2 i,j=1,j6=i |ri − rj |i=1 2miNX(6.3)выводится первое уравнение в системе, и оно является уравнением непрерывности. В нем появляется новая величина, которая представляет плотность тока:Zj(r, t) =dRNXi=1δ(r − ri )1(ψ ∗ D̂i ψ + c. c.).2mi(6.4)Для плотности тока посредством дифференцирования может быть получено следующее уравнение, которое является уравнением баланса импульса.Таким методом может быть получена полная цепочка гидродинамическихуравнений, которая должна быть обрезана на определенном шаге.
Радипрактических целей она обычно обрывается на уравнении баланса импульса, но мы пойдем на один шаг дальше, к уравнению баланса тепловой энергии.6.3.Система уравненийРассмотрим систему с одним сортом частиц (т. е. mi = m, ei = e длякаждого i). Используя метод вывода уравнений, представленный в (6.2),94может быть получена система гидродинамических уравнений для квантовой системы частиц с кулоновским взаимодействием [1]. Уравнение непрерывности имеет следующую форму:∂t n + div(nv) = 0,(6.5)где nv = j есть плотность числа частиц, v - это поле скоростей.
Уравнениебаланса импульса:emn(∂t + vβ ∂β )vα + ∂β pαβ + ∂β Tαβ = enEα + εαβγ nvβ Bγext ,c(6.6)где pαβ - тензор кинетического давления, Tαβ - дополнительное квантовое давление, соответствующее квантовому потенциалу Бома. Кинетическое давление pαβ связано с плотностью тепловой энергии, так что далееследует учесть уравнение баланса энергии. Тензор pαβ имеет следующуюформу:h̄2 2Tαβ (r, t) = − dR δ(r − ri )a ∂iα ∂iβ ln a,(6.7)2mi=1где a - это амплитуда волновой функции ψ(R, t) = a exp(iS(R, t)/h̄).
В приZNXближении слабо взаимодействующих частиц (ψ(R, t) = ψ(r1 )ψ(r2 )...ψ(rN ))квантовое давление ∂β Tαβ приводит к слагаемому в виде√h̄2 µ 4 n ¶∂β Tαβ = −∂α √2mn(6.8)в уравнении баланса импульса (6.6). Это следует проделать для того, чтобы замкнуть систему уравнений. Описанная теория позволяет учитыватьмногочастичные корреляции, но мы не рассматриваем их в данной работе.Для отсутствия корреляций может быть использовано стандартное пред√положение e/r ¿ T , где r = −3 n0 - среднее расстояние между частицами.Уравнение баланса энергии имеет видn(∂t + vβ ∂β )² + (pαβ + Tαβ )∂α vβ + ∂α qα =e2 Z= − n dr0 (vα (r0 , t) − vα (r, t))∂α G(r − r0 )n(r0 , t) + α,2(6.9)95где n² - плотность тепловой энергии, qα - вектор потока тепловой энергии,α - плотность работы, G(r − r0 ) = 1/|r − r0 | - функция Грина кулоновскоговзаимодействия.
Функции n² и qα имеют следующий вид:Zn² =+Zqα =dRNX1 2h̄2 4i a ¶dR δ(r − ri )amu −2 i 2m ai=1NX2µe2 Z 0n dr G(r − r0 )n(r0 , t),22·δ(r − ri )a uiαi=1µ(6.10)h̄2 4i a ¶1 2mu −2 i 2m a¸h̄2h̄2∂iα (viβ ∂iβ ln a) −∂iα ∂iβ viβ2m4mZZNX1dr0 e2 G(r − r0 ) dRδ(r − ri )δ(r0 − rj )a2 uiα , (6.11)+2i,j=1,j6=i−где uiα - тепловая скорость частицы, uiα = viα − vα . Уравнения (6.5),(6.6) и (6.9) формируют пятимоментную систему гидродинамических уравнений.
Эта система должна быть замкнута для применения к конкретным задачам. Во-первых, должно быть использовано уравнение состоянияp = (2/3)n²kin (тензор кинетического давления диагонален: pαβ = pδαβ ;n²kin соответствует первому члену в круглых скобках в (6.10)), котороеявляется прямым следствием определений тензора давления и плотностиэнергии для изотропного случая [1]. Во-вторых, следует пренебречь тепловыми потоками энергии кулоновского взаимодействия и плотностью силы.В-третьих, следует применить закон Фурье для классической части потокатепловой энергии:ZdRNX13δ(r − ri )a2 uiα mu2i = − nκ∂α T.22i=1(6.12)Другими словами, является возможным формально перенести uiα черезпределы интегрирования и заменить его на оператор −κ∂α (κ - коэффициент, являющийся коэффициентом температуропроводности, числовой множитель 3/2 добавлен для соответствия с хорошо известным уравнением96теплопроводности; T - это локальное значение температуры).
Квантовыечлены (пропорциональные h̄) в потоке тепловой энергии (6.11) могут бытьзамкнуты таким же образом.6.4.Линеаризованная система уравнений и дисперсионное соотношение для ленгмюровских волнРассмотрим квазинейтральную систему электронов и неподвижныхионов. Линеаризованная система уравнений для этого случая принимаетследующую форму:∂t n0 + n0 divv0 = 0,h̄2−∂α 4n0 + T0 ∂α n0 + n0 ∂α T 0 =4mZ2= −e n0 ∂α dr0 G(r − r0 )n0 (r0 , t),(6.13)mn0 ∂t vα0(6.14)µ¶3 0 e2 Z 00 0 0n0 ∂t T +dr G(r − r )n (r , t) + n0 T0 divv0223h̄2e2 2 Z 000− κn0 4T +κq 44n = − n0 dr ∂α G(r − r0 )vα0 (r0 , t), (6.15)24m2где n = n0 + n0 - плотность числа электронов (n0 - равновесная плотность,n0 - возмущенная плотность; аналогичные обозначения применяются к другим величинам). Пропорциональный постоянному коэффициенту κq членпоявляется при замыкании квантового теплового потока энергии (при помощи способа, описанного в разделе 6.3).Проводя преобразование Фурье, выводится система линейных алгебраических уравнений.
Через эту систему можно получить следующее дисперсионное уравнение для волн в этой системе:2µ2(ω + ik κ) ω −ωp2h̄2 k 6h̄2 k 4 T0 k 2 ¶ 2 T0 k 2−−ω + iκq= 0,−4m2m3 m6m2(6.16)97где ωp2 = 4πe2 n0 /m есть квадрат ленгмюровской частоты. Это алгебраическое уравнение третьего порядка относительно ω(k).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
