Диссертация (1103373), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Другие члены являются слаборелятивистскими, большинство из них пропорционально v 2 /c2 ,за исключением последних четырех членов. Тепловое давление pαβ не зависит от взаимодействия, так что мы можем использовать уравнение состояние идеального газа pαβ = nkB T δ αβ , где kB - постоянная Больцмана,T - температура, δ αβ - символ Кронекера. Когда P αβ находится в слаборелятивистском слагаемом, можно пренебречь слаборелятивистской частьюи рассматривать только нерелятивистскую.Здесь мы приводим явную форму παβ (r, r0 , t), которая является частью седьмого члена в плотности силы0παβ (r, r , t) =Z YNj=1drjNXi,j=1,i6=jδ(r − ri )δ(r0 − rj )×83h̄2×a (uiα ujβ −∂iα ∂jβ ln a).2m22Чтобы замкнуть систему уравнений квантовой гидродинамики, нужно найти приближенную связь между παβ (r, r0 , t) и другими гидродинамическими величинами. Вычисляя παβ (r, r0 , t) для системы независимых частиц,получаем, что παβ (r, r0 , t) = 0.
Таким образом, в первом приближении нетнеобходимости учитывать вклад παβ (r, r0 , t) в уравнениях квантовой гидродинамики.5.4.Слаборелятивистские эффекты в дисперсии ленгмюровских волнЧтобы получить слаборелятивистские эффекты в виде простых ана-литических формул, мы исследуем квантовое движение электронов на фоненеподвижных ионов:n = n0 + δn, v = 0 + δv ,E = 0 + δE, B = 0 + δB, δp = 3mvs2 δn ,где m - масса электрона. В уравнениях (5.18), (5.19) и уравнениях Максвелла (5.12), (5.13), (5.21) и (5.22), vs2 - это средняя тепловая скорость (дляслучая вырожденных электронов vs2 - это скорость Ферми в квадрате). Подставляя эти соотношения в систему уравнений и пренебрегая нелинейными членами, получаем систему линейных однородных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами.
Используя следующеепредставление для малых возмущений δfδf = f (ω, k)exp(−ıωt + ıkr),получаем однородную систему алгебраических уравнений.84Уравнение Эйлера (5.19) имеет весьма непростой вид, и в итоге получается следующая алгебраическая форма линеаризованного уравненияЭйлера:h̄2 k 2h̄4 k 4 ¶+−ıωmn0 δv + ık−δn4m8m3 c2e3 n20 αβen0h̄2 βαα βG (k)δE β ,= en0 δE − k k (θ + ξ) 2 2 δE −24m c2mcααµ23mvse(5.27)где Gαβ (k) - фурье-образ функции Грина ток-токового взаимодействия(5.6), его явная форма8π µ αβ k α k β ¶G (k) = 2 δ − 2 .kkαβПоследний член в уравнении Эйлера (5.19) дает линейный член как следствие линейной части квантового потенциала Бома, который является частью P βγ , но он равен нулю в силу структуры Gαβ (k). Последний членв уравнении (5.27) не дает вклада в дисперсию ленгмюровских волн.Также следует отметить то, что мы не рассматриваем температурнорелятивистские эффекты: ∼ T /mc2 .Считается, что электрическое поле имеет ненулевую величину.
Выражая все величины через электрическое поле, приходим к уравнению2ω =µ+2ωLe23vseh̄2 k 2 ¶1 − (θ + ξ) 2 24m cµh̄4 k 4 ¶ 2h̄2 k 2−+k ,4m2 8m4 c2(5.28)2где ωLe - ленгмюровская частота, ωLe= 4πe2 n0 /m. Первая группа чле-нов в правой части (5.28) состоит из трех частей: ленгмюровской частоты,вклада дарвиновского члена, пропорционального θ, и, в-третьих, вклад четвертого члена (причиной которого является РПКЭ) в уравнении Эйлера.Вторая группа в уравнении (5.28) также состоит из трех частей: вклададавления (теплового движения или давления Ферми), следующая часть это хорошо известный квантовый потенциал Бома, последняя часть - это85вклад РПКЭ через слаборелятивистскую часть тензора давления. Сравнивая формулу (5.28) с результатами работы [33], нужно положить ξ = 0,θ = 1/2, и пренебречь последним членом (являющимся следствием РПКЭ),чтобы получить совпадение с формулой (31) в [33]. В [33] авторы пренебрегли вкладом квантового потенциала Бома ∼ h̄2 k 4 .
Член, пропорциональныйθ есть вклад Zitterbewegung-эффекта (см. последний член в формуле (31)в [33]). В следующем пункте будут обсуждены свойства полученного дисперсионного соотношения.5.5.Дисперсионная зависимость ленгмюровских волнВ этом разделе будет обсужден вклад члена, пропорционального θ +ξв дисперсии ленгмюровских волн. Другая группа членов имеет такую жеформу, как и представленная в предыдущем разделе.Следуя гамильтониану Брейта, положим θ = 1, и, следуя формуле(5.17), также положим ξ = 1. Следовательно, имеем θ + ξ = 2:2ω =2ωLeµh̄2 k 2 ¶ µ 2h̄2 k 2h̄4 k 4 ¶ 21−+ 3vse +−k .2m2 c24m2 8m4 c2(5.29)Однако, если выбрать θ = 1/2 как следствие слаборелятивистскогоприближения уравнения Дирака (а также имеем ξ = 1), то в результатеполучим2ω =2ωLeµh̄4 k 4 ¶ 23h̄2 k 2 ¶ µ 2h̄2 k 2+ 3vse +−k ,1−8m2 c24m2 8m4 c2Видно, что числовой коэффициент передh̄2 k 2m2 c2(5.30)в первом и во втором случаеотличается друг от друга на 1/8.
Это происходит оттого, что в случае следствия уравнения Дирака вклад дарвиновского члена в 2 раза меньше, чемв случае гамильтониана Брейта. В итоге, в первом случае имеем коэффициент, равный 1/2, во-втором - 3/8. Эта разница представляет серьезный86теоретический и практический интерес, т. к. поднимает фундаментальныйвопрос, связанный с принципом суперпозиции.Мы полагаем, что нужно выбрать следствие квантовой электродинамики в виде гамильтониана Брейта [44].
Следовательно, именно формула(5.29) должна давать правильный результат.5.6.Дисперсия собственных волн в электрон-позитронной плазмеВ качестве следующей системы частиц будет рассмотрена двухком-понентная среда - электрон-позитронная плазма [97]. Как и ранее, в равновесии потоки частиц предполагаются отсутствующими, электроны и позитроны имеют одинаковые равновесные концентрации n0e = n0p = n0 ; вневозмущенном состоянии выполняется условие ионизационного равновесия. Линеаризованные уравнения непрерывности и баланса импульса дляэлектронной компоненты имеют вид0∂t n0e + n0 ∂α veα= 0,0m∂t veα(5.31)h̄2h̄4T00−+γ∂α ∆ne −∂∆∆n∂α n0e =αe324mn08m c n0n05T ¶h̄2e2 n0 Z 0= −e 1 −dr Gαβ (r − r0 )Eβ (r0 , t)Eα +∆Eα −22222mc2m cmc¸eh̄2 Z 00 0 00000+ 2 2 dr ∂γ Gαβ (r − r )∂β ∂γ (ne (r , t) − np (r , t)) ,(5.32)8m c·µа соответствующие уравнения для позитронной компоненты выглядят следующим образом:0∂t n0p + n0 ∂α vpα= 0,0m∂t vpαh̄4Th̄200∂α ∆np −∂∆∆n∂α n0p =+γ−αp324mn08m c n0n0h̄2e2 n0 Z 05T ¶Eα +∆Eα −dr Gαβ (r − r0 )Eβ (r0 , t)=e 1−22222mc2m cmc·µ(5.33)87¸eh̄2 Z 0− 2 2 dr ∂γ Gαβ (r − r0 )∂β0 ∂γ0 (n0p (r0 , t) − n0e (r0 , t)) ,8m c(5.34)где e - заряд позитрона, m - масса электрона (позитрона), T - температурачастиц, n0e , n0p - возмущения плотности числа частиц электронов и пози00тронов, veα, vpα- возмущения поля скоростей электронов и позитроновсоответственно, Eα - электрическое поле, определяющееся через уравнениеМаксвеллаdivE = 4πe(−n0e + n0p ).(5.35)Следует отметить, что в уравнениях баланса импульса коэффициент передслагаемыми, пропорциональными Gαβ (без производных) в два раза больше, чем в рассмотренных ранее системах с неподвижным фоном ионов.Это связано с тем, что в данном случае происходит сложение концентраций двух сортов частиц, составляющих систему, что в итоге дает удвоенноезначение равновесной концентрации n0 .
В последней строке уравнения баланса импульса имеется разность концентраций электронов и позитронов,и появление этой разности связано с противоположностью знаков носителей заряда в данной системе. Упомянутые слагаемые не дают вклада вдисперсию, но некоторые тонкости, связанные с ними, следует прояснитьдля описания некоторых деталей применения метода квантовой гидродинамики к многосортным системам частиц.Проведем преобразования Фурье и, не нарушая общности, направимволновой вектор вдоль оси z: k = knz . После чего выразим концентрации электронов и позитронов через электрическое поле и подставим их вуравнение Максвелла. Концентрация электронов выражается следующимобразом:µn0e =h̄2 k 22m2 c25T2mc2−e 1−n0 k 0vez (E) = −in0 k µ2 4T 2ωm ω2 − γ mk − h̄4mk2 +¶h̄4 k 68m4 c2¶ Ez .(5.36)88В итоге, после подстановки этого выражения, а также аналогичного выражения для позитронов в уравнение Максвелла, получаем следующуюформулу для дисперсии волн в электрон-позитронной плазме с учетом рассмотренных в данной главе взаимодействий:2ω =2ωp25T ¶T 2 h̄2 k 4h̄4 k 6h̄2 k 2−+γ k +−,1−2m2 c2 2mc2m4m2 8m4 c2µ(5.37)где ωp2 = 4πe2 n0 /m.
Таким образом, данное выражение очень похоже на полученную ранее формулу для дисперсии в электронной плазме, за исключением того, что перед ωp2 имеется числовой коэффициент, равный двум.5.7.ЗаключениеМы привели вывод уравнений многочастичной квантовой гидроди-намики для слаборелятивистской системы заряженных частиц.
Были получены и сравнены вклады РПКЭ, кулоновского, дарвиновского и токтокового взаимодействий. Показано, что необходим одновременный учетРПКЭ и дарвиновского члена, поскольку РПКЭ дает несколько членовв уравнении Эйлера, один из которых имеет схожую структуру с вкладом дарвиновского. РПКЭ также приводит к сложной структуре тензорадавления.
Слаборелятивистская часть тензора давления содержит члены,пропорциональные отношению поля скоростей к скорости света. Она также включает члены, пропорциональные h̄4 /c2 и содержащие более высокиепространственные производные, чем в нерелятивистском квантовом потенциале Бома.Используя полученное приближение уравнений квантовой гидродинамики, была получена дисперсионная зависимость ω(k) слаборелятивистских ленгмюровских волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
