Диссертация (1103373), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Отметим, чтооператор p̂αi наличествует в токе j из-за наличия оператора кинетическойэнергии в гамильтониане (5.2). В приближении самосогласованного поляэтот член имеет следующий вид:Z2FC = −e n∇¸1πh̄20dr− 2 2 δ(r − r ) n(r0 , t).0|r−r | m c0·(5.10)Приближение самосогласованного поля позволяет ввести электрическое поле E, создаваемое зарядами. Оно имеет следующую явную форму:ZE = −e∇dr01n(r0 , t),0|r−r |(5.11)где n - концентрации частиц, а поле E удовлетворяет квазистатическимуравнениям Максвелла:∇ × E(r, t) = 0,(5.12)и∇E(r, t) = 4πXaea na (r, t),(5.13)где индекс ”a” описывает сорт частиц. Мы интересуемся дисперсией ленгмюровских волн, которые являются высокочастотными колебаниями.
Следовательно, основной вклад дают электроны. Таким образом, движениемионов идет пренебрежение, они рассматриваются как неподвижные. Смесь76электронов и ионов является устойчивой системой. Наличие неподвижныхионов отражается в уравнении Пуассона (5.13), в котором ионы убирают вклад равновесной плотности электронов.
Таким образом, возмущенияэлектрического поля, вызванные возмущением электронной плотности имеют вид∇E(r, t) = 4πeδn(r, t),(5.14)где δn есть возмущение концентрации электронов.Теперь поле силы FC (5.10) принимает видπe2h̄2FC = enE − 2 2 n∇n,mc(5.15)где концентрация под пространственной производной представляет собойисточник поля. Итак, используя уравнение (5.14) для упомянутой концентрации, мы приходим кeh̄2FC = enE −n∇(∇E).4m2 c2(5.16)Представленная здесь форма второго члена соответствует слаборелятивистскому вкладу в силу, действующую на заряженные частицы со сторонывнешнего электрического поля, полученного из уравнения Дирака [44].Второй член, связанный с Gij , появляется вследствие РПКЭ.
В приближении самосогласованного поля он выглядит какαFsreh̄2∂β (∂α Eβ · n).=4m2 c2(5.17)Поскольку РПКЭ имеет слаборелятивистское происхождение, можно написать Gij вместо G̃ij в этом члене. РПКЭ дает также другие члены вплотность силы, все из них представлены ниже в уравнении Эйлера.Силовое поле, создаваемое дарвиновским членом и соответствующимвзаимодействием, представленными формулой (5.16), было учтено в [33]77при том, что силовое поле, представленное формулой (5.17) тогда не было рассмотрено при выводе кинетического уравнения и вычислении дисперсии ленгмюровских волн. Таким образом, мы собираемся обобщить результат работы [33], вычисляя вклад плотности силы (5.17) в дисперсиюсобственных волн.
Мы также приводим уравнения слаборелятивистскогоколлективного движения в плазме. Но рассматриваются гидродинамические уравнения, тогда как в работе [33] были рассмотрены кинетическиеуравнения.Уравнения (5.16) и (5.17) очень похожи, но имеют два различия. Первое различие состоит в разнице в тензорной структуре, и второе состоитв том факте, что уравнение (5.17) содержит концентрацию под пространственной производной, тогда как в формуле (5.16) концентрация содержится как внешний множитель.5.3.Уравнения квантовой гидродинамики с учетом дарвиновского членаВ предыдущем разделе была показана схожесть РПКЭ и дарвинов-ского члена.
Одна из целей данной работы - сравнить вклад этих членовв уравнения квантовой гидродинамики и дисперсию ленгмюровских волн.Имеется желание проследить отдельный вклад каждого слагаемого. Дляэтого вводятся два безразмерных коэффициента θ и ξ, равные 1. Эти коэффициенты помечают два разных слагаемых. Мы вставляем θ во второйчлен в формуле (5.16) и ξ в формуле (5.17).Первое уравнение квантовой гидродинамики - это уравнение непрерывности:∂t n + ∇j = 0.(5.18)В этом уравнении появляется функция тока j(r, t) = n(r, t)v(r, t), где v(r, t)78- это поле скоростей.Второе уравнение в системе квантовой гидродинамики - это уравнение Эйлера, но в слаборелятивистском приближении функция j(r, t) не является плотностью импульса, поэтому уравнение для нее также называетсяуравнением эволюции тока частиц [31]. Это уравнение имеет видemn(∂t + v β ∇β )v α + ∂β Pαβ = enE α + εαβγ nv β B γceh̄2eh̄2α β β+θ 2 2 n∂ (∂ E ) + ξ 2 2 ∂β (∂α Eβ · n)4m c4m c·µ¶¸e1− 2 Eβ (mnvα vβ + Pαβ ) + Eα mnv 2 + nεmc22 2Ze h̄− 2 2 ∂β n dr0 ∂α Gβγ (r − r0 )∂γ0 n(r0 , t)8m cZe3−ndr0 Gαβ (r − r0 )Eβ (r0 , t)n(r0 , t)22mc2 Ze+ 2 dr0 [∂α Gβγ (r − r0 ) − ∂β Gαγ (r − r0 )]πβγ (r, r0 , t)2cZe2+n dr0 ∂γ Gαβ (r − r0 )×22mc×[mn(r0 , t)vβ (r0 , t)vγ (r0 , t) + Pβγ (r0 , t)],(5.19)где E и B являются электрическим и магнитным полями, nε являетсяплотностью тепловой энергии, содержащей квантовую часть (по аналогиис квантовым потенциалом Бома), εαβγ - антисимметрический символ (символ Леви-Чивиты), P αβ - тензор давления, который является слаборелятивистским обобщением суммы нерелятивистского теплового давления pαβ иквантового потенциала Бома T αβ .
В правой части уравнения (5.19) находится плотность силы. Плотность силы состоит из силы Лоренца и из определенных квантово-слаборелятивистских членов, которые будут обсуждены ниже. παβ (r, r0 , t) представлено явно и рассмотрено ниже после анализаструктуры P αβ . Векторный потенциал появляется в видеAintα (r, t) =e Z 0dr Gαβ (r − r0 )n(r0 , t)vβ (r0 , t),2c(5.20)79который дает вклад в силу Лоренца, второй член в правой части уравнения(5.19) вместе с внешним магнитным полем. Магнитное поле B = ∇ × Aintудовлетворяет квазимагнитостатическому уравнению Максвелла:∇×B=4πj,c(5.21)и∇B = 0.(5.22)Мы полагаем, что стоит отметить, что мы не пренебрегли производными по времени в уравнениях Максвелла (5.12) и (5.21), поскольку содержащие их слагаемые не появляются в слаборелятивистском приближении, т. к.
гамильтониан (5.2) содержит кулоновское взаимодействие и токтоковое взаимодействие (закон Био-Савара). Таким образом, полученныеуравнения Максвелла соответствуют гамильтониану. Мы можем вставитьэти хорошо известные производные по времени в уравнения, но этот шагсломает логику слаборелятивистского приближения. Таким образом, работа будет продолжена с электромагнитными полями в слаборелятивистскомприближении, описывающимися уравнениями (5.12), (5.14), (5.21) и (5.22).Перед обсуждением тензора давления P αβ мы обсудим физическоезначение каждого члена в плотности силы, представленной в правой части уравнения Эйлера (5.19).
Особенно важным является отметить, чтонекоторые из этих членов представлены в первый раз. Итак, первые двачлена являются плотностью силы Лоренца. Самосогласованная часть кулоновского взаимодействия дает вклад в первый член, ток-токового - вовторой. Только часть от всего вклада ток-токового взаимодействия содержится в силе Лоренца, он также приводит к нескольким другим членам.Это шестой-девятый члены в уравнении Эйлера.
На самом деле, седьмойдевятый члены имеются уже в классической слаборелятивистской гидродинамике, но в квантовой теории они имеют более богатую структуру. В80первую очередь, они содержат вклад обменного взаимодействия посредством квантовых корреляций, которые не рассматриваются в данной работе, но которые естественным образом возникают в многочастичной квантовой гидродинамике.
Мы ими пренебрегаем, рассматривая только приближение самосогласованного поля. Третий член соответствует только дарвиновскому члену. Члены четвертый и пятый представляют вклад РПКЭ.Четвертый член имеет простую структуру, он содержит производную ∇βтензора, являющегося произведением концентрации частиц на ∇α E β . Пятый член, который содержит несколько членов в квадратных скобках, ипервый набор из них есть свертка E β с потоком тока частиц j, и, как частьэтого потока, здесь имеется тензор давления P αβ . Поскольку пятый член вуравнении Эйлера имеет слаборелятивистское происхождение, можно рассматривать только нерелятивистскую часть P αβ .
Второй набор являетсяпроизведением электрического поля E α на плотность энергии. Плотностьэнергии распадается на две части. Первая из них есть плотность энергиилокального упорядоченного движения. Нужно отметить, что nε - это плотность энергии, состоящая из двух частей: тепловой энергии и квантовоговклада - аналога квантового потенциала Бома. В одночастичном случае мытеряем вклад теплового движения и квантово-тепловых членов, и получаемквантовые члены, наличествующие и для невзаимодействующих частиц. εне дает вклада в рассмотренную ниже задачу, так что явная форма длянее не приводится.Седьмой член возникает при одновременном учете кулоновского иток-токового взаимодействий.
Это - аналог четвертого члена, каждый изних появляется в уравнении при коммутации членов в токе j с кулоновскойи внешней электростатической частями в гамильтониане. Случай, когдаξ = 0, θ = 1/2 и отброшены члены, происходящие от D4 и ток-токового81взаимодействия, соответствует независящим от спина результатам, полученным в [33] (работа, с которой ведется полемика).Явная форма тензора P αβ естьZPαβ (r, t) =dRNXδ(r − ri )a2 ×i=1h̄2 µvi2 ¶× muiα uiβ −1 − 2 ∂iα ∂iβ ln a2mc2h̄+(∂iα viγ ∂iβ viγ + viγ ∂iα ∂iβ viγ )2mc2h̄2+(viα ∂iβ + viβ ∂iα )(∂iγ viγ + 2viγ ∂iγ ln a)4mc2h̄4 a−2 µ− 3 2 a∂iα ∂iβ ∆i a + ∂iα ∂iβ a∆i a4m c·¶¸−∂iα a∂iβ ∆i a − ∂iβ a∂iα ∆i aZ+h̄2 e2dRδ(r − ri )a×4m2 c2i=1,j=1,i6=jNX2αγ×(Gβγij ∂iα ∂jγ ln a + Gij ∂iβ ∂jγ ln a),(5.23)где viα - это скорость i-ой частицы, и она является суммой поля скоростейv α (r, t) и тепловой скорости uαi , a - амплитуда волновой функции ψ(R, t) =a exp(iS/h̄), скорость i-ой частицы viα связана с фазой волновой функциикакviαsαisαi s2ih̄2 · α −1=−+si a ∆i a + ∂iα (sβi ∂iβ ln a)3322mi 2mi c2mi cNX1 α β β¸ei ejβ+ ∂i ∂i si −Gαβij sj ,22j=1,j6=i 2mi mj c(5.24)где sαi = ∂iα S − eci Aαi .
Первый член в формуле (5.23) - это нерелятивистскоетепловое давление, второй член в этой формуле состоит из двух частей,первая из них есть нерелятивистский квантовый потенциал Бома, другиечлены представляют слаборелятивистские эффекты. Пренебрегая тепловыми скоростями в слаборелятивистских членах в тензоре давления Pαβ ,82мы получаем чисто квантовое слаборелятивистское давление, которое является слаборелятивистским обобщением квантового потенциала Бома Tαβ ,чья явная форма для идеального газа имеет видÃTαβ!h̄2 α βh̄2 ∂ α n · ∂ β n=−∂ ∂ n+.4m4mn(5.25)Мы также отбрасываем вклад ток-токового взаимодействия. В результатеимеемv2Pαβ (r, t) = pαβ + Tαβ − 2 Tαβc2h̄+n(∂ α v γ ∂ β v γ + v γ ∂ α ∂ β v γ )22mch̄2+n(v α ∂ β + v β ∂ α )(∇v)24mc¶µh̄2γα β γβ α γ+(∂n)v∂v+v∂v4mc2¶1 µ α γ βγβ γ αγ− 2 v v T +v v Tc4 µ√√√√h̄− 3 2 n · ∂ α∂ β 4 n + ∂ α∂ β n · 4 n4m c√√√√ ¶αββα−∂ n · ∂ 4 n − ∂ n · ∂ 4 n .(5.26)Первые два члена имеют нерелятивистскую природу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
