Диссертация (1103362)
Текст из файла
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА»Физический факультетКафедра теоретической физикиНа правах рукописиАлешин Сергей СергеевичКвантовые поправки в суперсимметричныхтеориях при использовании различныхрегуляризацийСпециальность01.04.02 – теоретическая физикаДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико–математических наукНаучный руководительдоктор физ.-мат. наукв.н.с. Лобанов А.Е.Москва2017СодержаниеВведение51 N = 1 суперсимметричная теория Янга–Миллса, регуляризованная высшими ковариантными производными с сохранением БРСТ-инвариантности241.1 Действие для N = 1 суперсимметричнойкалибровочной теории Янга–Миллса .
. . . . . . . . . . . . .241.2 Формализм фонового поля в N = 1 суперпространстве . . .261.3 N = 1 суперсимметричная теория Янга-Миллсаи ее регуляризация высшими ковариантными производными291.4 Перенормировка N = 1 суперсимметричнойтеории Янга–Миллса . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .351.5 Ренормгрупповые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382 Вклад духов Нильсена–Каллош в β-функцию N = 1 суперсимметричной теории Янга–Миллса, регуляризованнойвысшими ковариантными производными с сохранениемБРСТ инвариантности412.1 Духи Нильсена–Каллош . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .4122.2 Регуляризация однопетлевых расходимостей для духовНильсена–Каллош . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432.3 Cвободные двухточечные связные функции Грина для духовНильсена–Каллош . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .442.4 Фейнмановские правила для духовых вершин Нильсена–Каллош, дающих вклад в β-функцию . . . . . . . . .
. . . .462.5 Диаграммы с петлями духов Нильсена–Каллош . . . . . . .542.6 Вклад полей Паули–Вилларса духов Нильсена–Каллош вβ-функцию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.7 Вклад в β-функцию от духов Нильсена–Каллош. . . . . .64713 Структура трехпетлевых вкладов в β-функцию N = 1СКЭД с Nf ароматами, регуляризованной с помощью размерной редукции733.1 N = 1 СКЭД c Nf ароматами и ее регуляризацияс помощью размерной редукции . . .
. . . . . . . . . . . . .733.2 Структура трехпетлевых вкладов в β-функцию, пропорциональных (Nf )2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .753.3 Аналог факторизации в двойные полныепроизводные для теории, регуляризованной спомощью размерной редукции . .
. . . . . . . . . . . . . . .3833.4 Проверка аналога факторизации в двойныеполные производные для теории,регуляризованной размерной редукцией, втрехпетлевом приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . .844 NSVZ-схема для N = 1 СКЭД c Nf ароматами, регуляризованной с помощью размерной редукции, в трехпетлевомприближении864.1 Ренормгрупповые функции, определенныев терминах голой константы связи . . . .
. . . . . . . . . . .864.2 DR-схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .934.3 NSVZ-схема в трехпетлевом приближении . . . . . . . . . . .97Заключение100Литература1034ВведениеАктуальность темы исследованияМатематические аспекты глобальной суперсимметрии впервые были исследованы Гольфандом и Лихтманом [1].
В их работе было построено обобщение группы Ли, содержащее в себе группу Пуанкаре и группу внутреннейсимметрии, допускающее нетривиальную S-матрицу. Выяснилось, что такая группа может быть связана с группой суперсимметрии с помощью теоремы Коулмена–Мандулы [2]. Дальнейшее развитие суперсимметричныхтеорий связанно с построением лагранжианов, инвариантных относительноглобальной суперсимметрии [3, 4] и локальной фермионной калибровочнойсимметрии — супергравитация [5, 6].Одним из следствий введения группы суперсимметрии, действующейна элементы S-матрицы, является улучшение квантовых свойств теорийв ультрафиолетовой области, а именно: подавление расходимостей в суперсимметричных теориях приводит к отсутствию некоторых контрчленов, необходимых в несуперсимметричных теориях.
Такие свойства суперсимметричных теорий известны не только для теорий, обладающих гло-5бальной суперсимметрией, речь о которых пойдет ниже, но и для теорийс локальной суперсимметрией [7, 8, 9]. Утверждения такого рода известны как теоремы о неперенормировке, позволяющие, в частности, обнаружить взаимозависимость квантовых поправок к массе и взаимодействиюN = 1 суперсимметричных теорий, возникающую из-за неперенормировкисуперпотенциала [4, 10, 11]. Отметим, при этом, что ввиду перенормировкиволновых функций суперполей материи, перенормируются массы и взаимодействия ϕ3 .
Кроме того, теоремы о неперенормировке позволяют установить интересные ренормализационные свойства теорий, регуляризованныхразмерной редукцией и обладающих расширенной глобальной суперсимметрией. В частности, было показано, что N = 2 теория Янга–Миллса сглобальной суперсимметрией конечна во всех порядках выше однопетлевого [12, 13, 14, 15]. А в четырехмерии, на основе трехпетлевого вычисления[16] было установлено, что теория Янга–Миллса с N = 4 суперсимметриейявляется конечной и, следовательно, конформно–инвариантной на квантовом уровне [12, 13, 17, 18].Ещё один, не менее эффективный подход к изучению ультрафиолетовыхрасходимостей суперсимметричных теорий связан с изучением супермультиплета аномалий.
Известно, что киральная аномалия и аномалия следатензора энергии-импульса должны принадлежать одному супермультиплету [19, 20, 21, 22]. Так как в N = 4 теории Янга–Миллса киральная аномалия отсутствует, то оказывается, что и весь супермультиплет долженбыть равен нулю ввиду его неприводимости. Таким образом, из-за пропорциональности следа тензора энергии-импульса бета-функции [23] его6тривиальность обеспечивает конечность теории Янга–Миллса с N = 4 суперсимметрией [24]. Аналогичные рассуждения можно применить к N = 2теории Янга–Миллса, а именно, из-за тривиальности вкладов высших петель в киральную аномалию [25, 26] удается установить, что β-функциявышеуказанной теории полностью определяется однопетлевым приближением [14].Ряд интересных результатов был получен в области динамики N = 1суперсимметричных теорий.
Одним из таких результатов является обнаружение точной β-функции для N = 1 суперсимметричных теорий безполей материи . Если же в N = 1 суперсимметричной теории присутствуют киральные суперполя материи, то точная β-функция такой теорииможет быть выражена через аномальную размерность суперполей материи[27, 28, 29, 30, 31, 32]:β(α, λ) = −(α 3C2 − T (R) + C(R)i γj (α, λ)/r2j2π(1 − C2 α/2π)i),(1)где γj i – аномальная размерность киральных суперполей материи, при этомиспользуются следующие обозначения:tr (T A T B ) ≡ T (R) δ AB ;(T A )i k (T A )k j ≡ C(R)i j ;f ACD f BCD ≡ C2 δ AB ;r ≡ δAA ,(2)генераторы фундаментального представления tA нормированы следующим7образом:tr(tA tB ) = δ AB /2;гдеC2 и C(R)i j2T (R)r— операторы Казимира;— индекс Дынкина представления R;— размерность калибровочной группы.β-функция (1) получила название точной β-функции Новикова,Шифмана, Вайнштейна и Захарова (NSVZ).
Изначально точная NSVZβ-функция была получена для ренормгрупповых функций, определенныхчерез голую константу связи [27, 29, 31, 32].Точная NSVZ β-функция может быть получена различными способами: исследованием инстантонного вклада в эффективное действие [27, 33],аномалий [28, 30, 34] или неперенормировки топологического члена [35].Кроме того, были проведены проверки с помощью теории возмущений, основанные на вычислениях β-функций N = 1 суперсимметричной теорииЯнга–Миллса, регуляризованной с помощью размерной редукции в DRсхеме, в однопетлевом [36], двухпетлевом [37]1 , трехпетлевом [38, 39, 40, 41]и четырехпетлевом [41, 42, 43] приближениях.
Выяснилось, что вычисленные β-функции в однопетлевом и двухпетлевом приближении совпадаютс точной NSVZ β-функцией, так как 2-х петлевая β-функция и однопет1В этих работах однопетлевое и двухпетлевое вычисление были выполнены с использованием раз-мерной регуляризации.8левая аномальная размерность схемно независимы в теориях с одной константой связи, но, начиная уже с трехпетлевого приближения, равенствонарушается. Однако, рассогласованность результатов может быть устранена с помощью конечной перенормировки [40], существование которой самопо себе является весьма нетривиальным фактом [43].
Построение конечнойперенормировки, связывающей DR и NSVZ схемы вплоть до четвёртогопорядка теории возмущений было осуществлено в работах [41, 44].Выяснилось, что вопрос о пертурбативной природе точной NSVZβ-функции существенным образом может быть прояснен с помощью регуляризации высшими ковариантными производными [45, 46] см. также [26].Регуляризация высшими ковариантными производными может быть обобщена на суперсимметричный случай и сформулирована в терминах N = 1суперполей [47, 48], а для N = 2 суперсимметричных калибровочных теорий соответствующая регуляризация может быть построена в N = 2 гармоническом суперпространстве [49].
Такое обобщение регуляризации высшими ковариантными производными, в отличии от размерной редукции,позволяет явно сохранять N = 1 или N = 2 суперсимметрии на всех этапахквантовых вычислений. Вычисление трехпетлевой β-функции N = 1 суперсимметричной квантовой электродинамики (СКЭД) с использованиемсуперсимметричной версии регуляризации высшими ковариантными производными выявило интересную особенность квантовых поправок, а именно, оказалось, что петлевые интегралы, определяющие β-функцию могутбыть представлены в виде интегралов от полных производных [50] в импульсном пространстве.
Дальнейшее исследование структуры интегралов с9использованием ковариантных правил Фейнмана в формализме фоновогополя [51, 52] обнаружило факторизацию в двойные полные производные[53] (в пределе нулевого внешнего импульса).Благодаря такой характерной структуре, один из петлевых интегралов может быть вычислен явно, что позволяет получить NSVZ соотношение. Так, в случае N = 1 СКЭД с Nf ароматами, регуляризованнойс помощью высших производных, интегралы, определяющие β-функциюв k-петлях, преобразуются в интегралы, образующие аномальную размерность в (k-1)-ой петле [31, 32].
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
