Диссертация (1103331), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Такжеупругие свойства представляют интерес в контексте исследования фазовыхпереходов материала при высоком давлении или температуре, посколькуизменение акустических характеристик является одним из характерных признаковтрансформации элементарной ячейки кристаллического материала [9].-- 13 --1.2 Теоретические основы экспериментальногоисследования упругихсвойств моноклинных кристалловПри упругой деформации Skl в кристаллической среде возникаютнапряжения Tij, описываемые при малых значениях законом Гука: Tij = Cijkl Skl , гдеi,j,k,l = 1, 2, 3.
Коэффициенты Cijkl носят название коэффициентов упругости(констант жесткости) и составляют тензор четвертого ранга, имеющий 81элемент. Благодаря свойству симметрии тензора упругости по первой и второйпарам индексов (Cijkl = Cjikl, Cijkl = Cijlk) можно использовать сокращенную(редуцированную)записьCαβ,гдеα, β = 1,…,6индексыполучаютсясворачиванием индексов i,j,k,l 4-х-рангового тензора по следующему правилу: 11→ 1; 22 → 2; 33 → 3; 12,21 → 6; 13,31 → 5; 23,32 → 4. В самом общем случае (втриклинных кристаллах) редуцированная матрица коэффициентов упругости сαβимеет 21 независимый элемент [10].Матрица коэффициентов упругости записывается в кристаллофизическойсистеме координат X, Y и Z (рис.1). Ее коэффициенты сαβ определяют скорости иполяризации собственных акустических мод в кристалле.
Для моноклинныхкристаллов, к которым относятся многие лазерные кристаллы, например,щелочно-редкоземельные вольфраматы, матрица сαβ содержит 13 различныхконстант жесткости [10, 11].Скорости собственных мод V акустических волн и их поляризациинаходятся из условия обращения в ноль детерминанта уравнения ГринаКристоффеля,2 11, 12]).= которое2 2можнополучитьизволновогоуравненияпри поиске решения в виде гармонической волны (см. [10,11 − 2det � 21311222 − 232где тензор Грина-Кристоффеля имеет вид: = ∑3,=1 ,3321 � = 0,33 − 2(1.1)(1.2)-- 14 --которыйнепосредственносвязанскоэффициентамиупругостиCijklинаправлением распространения волны n.Уравнение (1.1) – кубическое относительно квадрата скорости V2, и,следовательно, в каждом направлении в среде могут распространяться триразличныеобъемныеволнысвзаимноортогональнымиполяризациями(направлениями колебаний): продольная и две поперечных, а в общем случаеквазипродольная и две квазипоперечные.Зная скорости распространения упругих волн в разных направлениях,можно из равенств (1.1) и (1.2) найти советующие компоненты тензораКристоффеля Γij и константы жесткости Cijkl.
Простой анализ для кристалловмоноклинной системы дает следующую связь компонент тензора Кристоффеля Γijс компонентами редуцированной матрицы сαβ [10]:11 = c11 n12+ c66 n22+ c55 n32+2 c15 n1 n3;12 = (c12 + c66) n1 n2 + (c46 + c25) n2 n3;13 = c15 n12 + c46 n22 + c35 n32 + (c13 + c55) n1 n3;22 =c66 n12+ c22 n22+ c44 n32+2 c46 n1 n3;(1.3)23 = (c46 + c25) n1n2+(c23+c44) n2n3;33 = c55 n12+ c44 n22+ c33 n32+2 c35 n1 n3;21 = 12 ;31 = 13 ;32 = 23 .где n1, n2 и n3 – проекции единичного вектора n, определяющего направлениераспространения акустической волны, на оси X, Y и Z соответственно.Решая обратную задачу, по известным скоростям распространения упругихволн в разных направлениях, теоретически возможно найти константы жесткостиCijkl .
Для определения всех констант кристалла моноклинной сингониинеобходимо измерить не менее 13 скоростей распространения упругих волн в 6кристаллографических направлениях. Для определения скоростей широкоприменяется метод эхо-импульсов, основанный на обратном пьезоэффекте. Такойподход не является единственно возможным, также применяют различныеметоды, основанные на эффектах оптического рассеяния, в том числеакустооптические [13].-- 15 --1.2.1 Направления ориентации кристаллических образцовНаправления измерения скорости звука можно выбрать множеством разныхспособов, но удобнее всего связать их с осями кристаллофизической системыкоординат. При выборе кристаллофизических осей кристаллов симметрии 2/mследует руководствоваться общепринятыми рекомендациями (см. например [12]):1) ось Z направляется вдоль минимального вектора трансляции c элементарнойячейки кристалла, несовпадающей с осью симметрии второго порядка;2) ось Y ориентирована вдоль оси симметрии второго порядка таким образом,чтобы система координат XYZ была правой;3) ось X лежит внутри тупого угла элементарной ячейки и перпендикулярна осямY и Z.ZcNg (Z′)aXabYNpNm (X′)βРис.
1.1. Используемые системы координат. Вектора a, b, с составляют базисэлементарной ячейки, оси X, Y, Z относятся к кристаллофизическойсистеме координат, Nm, Np, Ng – оси оптической индикатрисы. Вектор b иоси Y, Np направлены перпендикулярно плоскости рисунка и совпадаютмежду собой. Угол между кристаллографическими осями β ≈ 94°.Параллелограммкристалла.отображаеториентациюгранеймоноклинного-- 16 --Другаянеобходимаявработесистемакоординат,называемаядиэлектрической, связана с осями оптической индикатрисы: Nm, Np, Ng. При этомось Np совпадает с осью симметрии второго порядка кристалла и соответственноосью Y, а оси Nm и Np лежат в плоскости XZ и образуют с осями X и Y угол α (смРис. 1.1), причем вследствие дисперсии значение угла зависит от длины волнысвета λ и может изменяться в видимом диапазоне почти на 2°.Рис.
1.2. Направленияраспространения,вкоторыхизмеряютсяскоростизвуковых волн, (в кристаллофизической системе координат X, Y и Z).Иллюстрация из [14].Описываемыйметодопределенияупругихконстантпредполагаетизмерение скоростей распространения упругих волн вдоль 7 различныхнаправлений (см. Рис. 1.4). При этом из 21 значения скоростей, измеряемых для-- 17 --3-х разных мод, для однозначного определения констант достаточно 16.Нумерация скоростей в каждом направлении проводится следующим образом:первая – продольная волна, вторая – поперечная с поляризацией по Y (или сбольшей скоростью), третья – другая поперечная волна (подробнее см.
табл. 2.1ниже). Измерения скоростей V8, V9, V19, V20 и V21 не обязательны, но их значениямогут быть использованы для дополнительной проверки результатов измерений[15, 16].Ориентирование кристаллических образцов может быть осуществленоклассическими рентгеновскими методами. Точность ориентирования должна бытьне хуже 3′. Длина образцов по разным кристаллографическим направлениямможет быть примерно от 5 мм до 50 мм и должна измеряться с точностью не хуже0.01 мм, плоскопаралельность должна быть не хуже ±0.003 мм.Определение констант жесткости может быть выполнено в три этапа.1.ИзмерениескоростейввышеуказанныхнаправленияхVp,p = 1, 2, … , 7, 10, … , 18.2.Расчет по этим значениям некоторых упругих характеристик Sαβ ≡ Сαβ /ρ,которые имеют размерность квадрата скорости и могли бы быть названы«эффективными скоростями» (в квадрате).
Для этих величин составляютсясистемы уравнений, из которых возможно определить значения константжесткости Caβ.3.Вычислениеупругихкоэффициентов(константжесткости)путемумножения полученных величин на плотность вещества ρ.Разделение последних двух этапов оправдано тем, что для расчета«эффективных скоростей» нет необходимости знать плотность материала, котораятребует отдельного измерения. Более того, для расчета скоростей звуковой волныв произвольном направлении достаточно значений «эффективных скоростей».Однако традиционно в справочниках указывают константы жесткости сαβ иплотность вещества ρ.
Для простоты далее все расчеты приведены сразу дляконстант жесткости.-- 18 --1.2.2 Схема установки для исследования скоростей распространенияупругих волн в кристаллических материалахОсновным элементом установки [17] является буфер – кристалл сприкрепленным к нему излучателем ультразвука (Рис. 1.3). Исследуемый образецприводят в контакт с буфером, изготовленным из достаточно твердого материалас малым затуханием ультразвука и известными свойствами (например, плавленогокварца), что позволяет ввести в образец ультразвуковой сигнал через жидкую илитвердуюсклейку.Фазовуюскоростьраспространенияопределяютинтерференционным способом, который основан на том, что набег фазыультразвуковой волны прошедшей в прямом и обратном направлении поисследуемому образцу относительно импульса, отраженного от границы разделабуфер-образец, зависит от частоты ультразвука f∆φ = 2πf∙(2l /V),(1.4)где l – длина образца.
Изменяя частоту и измеряя набег фаз (и зная длину образцаl) можно определить скорость распространения упругой волны V .ОсциллографГенератор- УЗПЧастотомерСумматоримпульсовГенераторпрямоугольныхимпульсов- Буфер- ОбразецГенераторпрямоугольныхимпульсовРис. 1.3. Схема разработанной установки для измерения скорости звука втвердых телах. УЗП – ультразвуковой преобразователь.-- 19 --Широко используемый метод эхо-импульсов, основанный на обратномпьезоэффекте, был дополнен фазо-импульсной модуляцией исходного сигнала.Временные задержки при прохождении акустической волны через буфер,изготовленный из известного материала (например, из плавленого кварца), ичерезкристаллическийобразецизисследуемогоматериала,позволяютопределять скорость распространения ультразвука.
В двухимпульсном методе[18] излучают достаточно короткие импульсы длительностью много меньшевремени пробега через буфер Tбуф и образец Tобр , причем второй импульспосылают с такой задержкой Tзад , чтобы после отражения от границы разделабуфер-образец он перекрывался с первым импульсом, вернувшимся в буфер последвойного прохождения через образец (Рис. 1.4): Tзад ≈ 2Tобр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
