Исследование некоторых физических свойств магнитных и металлических фрактальных структур (1103186), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В импульсном представлении7µp =1µx=lεe Ceε.(4)С помощью уравнения (2) и с учетом (3) проводимость и теплопроводностьметаллическойфрактальной проволокиможновычислить, используявыраженияσ≈κ =τ=TВтораяe 2 µ x2 a 2ε τ (ε )n,m(5)4(1 + ε ) G (ε )µ p4 ∫ (ε ( p ) − µ ) p 4(1+ε ) ε ( p )δ (ε ( p ) − ε F )dp =3 3+ 4ε23m (2π ) ℏ T0∞2τ (1 + ε )2 G (ε )µ p4 p F4 (1+ε )глава108πm 2 ℏ 3+ 4ε u Fτ ⋅ u F k F2 (1 + ε )2 G (ε ) (lk F ) ε=TCeε108πℏ eдиссертациирадиочастотного поляпосвящена(сокращенно РЧ)4(6).исследованиюпоглощенияфрактальным ферромагнитнымдиэлектриком.
В первом и втором параграфах этой главы излагаются общиепринципы теории неравновесных явлений, и с помощью метода матрицыплотности дается последовательный вывод общего выражения для тензорамагнитной восприимчивости.В настоящем исследовании нас будет интересовать только продольнаякомпонентатензорамагнитнойвосприимчивостиχ zz ,какфункциятемпературы, магнитного поля и параметра фрактальности ε .В случае, если речь идет об«обычном» ферромагнетике, мнимая идействительная части χ zz могут быть вычислены по формуламχ zz′ =µe211+ ω τ22∂f kωτ µe2′′χ,=∑zzV k ∂T1 + ω 2τ 2 V8∂f k∑ ∂T .k(7)Для вычисления же χ ′zz и χ ′zz′ фрактального ферродиэлектрика согласно общемуопределениюχ = χ zz = limhz → 0кинетическим∂M z,∂h zуравнениемследуетв(2),воспользоватьсякоторомобобщеннымоперацииобычногодифференцирования по координатам и импульсам заменены на дробныепроизводные.В результате несложных математических выкладок получены следующиезависимостиχ ′zz = χ 0 − (χ 0 − χ ∞ )где χ 0 =ωτ[ωτ g 1 (ε ) + g 2 (ε )], χ ′zz′ = (χ 0 − χ ∞ ) ωτ2 2 [g1 (ε ) − ωτ g 2 (ε )] (8)2 21+ ω τ1+ ω τµe M 0 T 4π T (1 + ε ) J ex 3232(1+ ε )J1 - статическая восприимчивость при ω = 0 , а χ ∞ −∞восприимчивость при ω → ∞ .
J 1 = ∫γg1 ( ε )J2 =14πиg2 (ε )2π πsin θdθdϕ∫∫0 0[u (θ ,ϕ )]µ (H + H a )x β dx1 − 2ε, β=, γ= e. Функцииx2(1 + ε )Te −1определяются как32 (1+ ε )g1 (ε ) = Re ( J 2 ( ε ) ) ,g 2 (ε ) = Im ( J 2 ( ε ) ) ,где, а фигурирующая здесь функция угловых переменныхопределяется анизотропностью спектра магнонов и дается выражениемu (θ , ϕ ) = sin 2+ 2ε θ cos 2+ 2ε ϕ + sin 2+ 2ε θ sin 2+ 2ε ϕ + cos 2+ 2ε θ .В этой главе показано, что дисперсия магнонов фрактального ферромагнетикаоказывается сильно анизотропной функцией угловых переменных и имеет видEk (ε ) = α ε M 02 (k x 2+ 2ε + k y2+ 2ε + k z2+ 2ε ) + µe ( H 0 + β M 0 ) ,(9)где обменная константа α ε обеспечивает правильную размерность первогослагаемого, а ее связь с обменным интегралом есть α ε = µ x2J ex 2a ,M 02где J ex −обменный интеграл.
В заключение третьего параграфа второй главы приводятся9результатычисленногомоделированиямагнитнойвосприимчивостиферромагнитного фрактала (рис. 1, 2): χ1( x) = χ 0 − χ zz′6 × 104 × 10− 3− 3χ 1 ( x)2 × 10− 3000.511.52xРис. 1. Зависимость действительной части магнитной восприимчивостиχ zz от параметра фрактальности ε0.018 × 10χ2 ( x )6 × 10−3−34 × 10−32 × 10−3000.511.52xРис.2.Зависимость мнимой части магнитной восприимчивостиχ zz от параметра фрактальности εПри численном моделировании действительной и мнимой частей продольноймагнитной восприимчивости были выбраны следующие значения входящих вобщую формулу параметров. T = 100 K , J ex = 1000 K , a = 10−8 см , k B = 1, 4 ⋅10−16 эрг ⋅ К −1 ,µе = 10−20 эрг ⋅ Гс −1 ,ωτ = 0,1 .Как видно из приведенных выше рисунков,поглощение в целом усиливается с ростом показателя фрактальности ε .Качественно это вполне понятно, поскольку с ростом10ε увеличивается истепень заполнения пространства кривой.
В самом деле, у кривой Коха (длякоторой ε = 0.26 ) степень заполнения меньше, чем у кривой Пеано, и,следовательно, проволока построенная по ее типу, будет поглощать слабее, чемта же, но для кривой Пеано, степень заполнения пространства которой выше,чем у кривой Коха. Однако, для проволоки в форме кривой Пеано поглощениебудет ниже, чем для нее же, но в случае, если она будет представлять собойкривую Менгера. И т.д.В третьей заключительной главе диссертации изучается процесс теплопереносапо топологически одномерной металлической проволоке.Для обычного (не фрактального) тела в одномерном случае уравнениетеплопроводности с учетом теплообмена с окружающей средой имеет∂T∂ 2T= χ 2 + α (T0 − T ) , где T0 – температура окружающей среды,∂t∂x~а α – коэффициент теплообмена и с помощью подстановки T ( x, t ) = T ( x, t )e −αt оностандартный видпреобразуется в∂Tɶ∂ 2Tɶ=χ 2 .∂t∂xВ случае фрактала (второй параграф третьей главы) операторуравнениязаменяетсянаоператорµk2преобразуется к виду A T = −2π2µk =lεeCeε∫k2+ 2εдифференцированияиTk (t )eikx dk , где мера в k − пространстве−∞обеспечивает правильную размерность.
Для решения «фрактального»уравнения теплопроводностиметодT ( x, t ) =+∞дробного∂2этого∂x 2разложения+∞+∞−∞−∞∫ T ( x′, 0)dx′ ∫ eв∂T= χ A2T∂tинтеграл− χ k 2+ 2 ε µ 2 t + ik ( x − x′ )dk,2πгдево втором параграфе используетсяФурьеиполучаетсяT ( x′, 0) –начальное,чтораспределениетемпературы. В результате вычисления внутреннего интеграла, благодаря11использованию метода седловой точки, получается следующее решение,описывающее распределение температуры по фрактальному топологическиодномерному образцу+∞1T ( x, t ) =2 π∫ T ( x′, 0 )Y (ε )e−∞cos Z ( ε )dx′X (ε )(10),где2 + 2εεX ( ε ) = χ t (1 + ε )(1 + 2ε ) µk λ 1+ 2ε2 + 2εZ ( ε ) = (1 + 2ε ) χ t µ k2 λ 1+ 2ε sinY ( ε ) = (1 + 2ε ) χ t µk2λ 1+2ε cos,π (1 + ε ),1 + 2ε(11)π (1 + ε )x − x′πε,λ =.−2(1 + ε ) χ t µ k21 + 2ε2 (1 + 2ε )Формулы (10) в случае ε = 0 переходят в классическое выражение длятеплопроводности T ( x, t ) =+∞12 πχ t∫ T ( x′, 0 ) ⋅ eобеспечиваетlεeCeгельдеровскимправильную( x − x′ )24χtdx′ .−∞Для численной оценки меры µk =воспользоваться−был использован следующий прием.
Еслиεвыражениемразмерность∆y = µ (∆x ) ,αкоординат∆y, ∆x ,гдето,мераµвыбрав,показатель степени α в виде α = 1 + ε , находим простую связь с нашей меройµ = µx =1µk. Отсюда можно легко вычислить C . Результат этих вычисленийотражает Таблица 1:КриваяКохСерпинскийПеаноМенгерDF1,261,8922,73ε0,260,8911,73µ , см ε1,332,6636,70.794,364.676,8C12Для различных начальных условий ( T ( x,0) = T * , T (x,0) = T * e −αx , T ( x, 0 ) = T *sin(α x) )2, рисунки 4 – 6 иллюстрируют поведение температуры в зависимости откоординат при каждом фиксированном ε .Рис. 4 Поведение температуры при начальном условииРис. 5 Поведение температуры при начальном значении13T ( x′, 0 ) = 1 .T ( x,0) = T * e −αx в момент времени t = 1c .2Рис.6. Поведение температуры при начальном значенииT ( x, 0 ) = T *sin(α x) в момент времени t = 1c(обозначения линий те же):ВЫВОДЫ1.Впервые с помощью феноменологически введенной операции дробногодифференцированияданообобщениеквазиклассическогокинетическогоуравнения на топологически одномерное фрактальное множество размерности1+ ε .2.Впервые с помощью обобщенного квазиклассического кинетическогоуравнения вычислены зависимости коэффициентов проводимости σ ( ε ) итеплопроводностиκ (ε )фрактальныхметаллическихтопологическиодномерных структур.3.Применение обобщенного квазиклассического кинетического уравненияк ферромагнитному образцу позволило впервые вычислить продольную14составляющую тензора магнитной восприимчивости фрактальной проволоки инайти ее зависимость от параметра фрактальности ε , а также от температуры Tи частоты внешнего магнитного поля ω (формула (8)).
Для изучаемых намичетырех типов кривых (Коха, Серпинского, Пеано и Менгера) численнымиметодами показано, что они по-разному поглощают энергию внешнегопеременного поля.4.Показано, что спектр магнонов в ферромагнитной фрактальной проволокеявляется не квадратичным и зависит от параметра фрактальности ε .5.Найденорешениеуравнениятеплопроводностивтопологическиодномерном фрактале в виде функции времени, координат и параметрафрактальности.
Установлено, что выравнивание температуры по фрактальномуобразцу происходит дольше, чем по гладкому.6.Впервые дано обоснование введения меры µ ( ε )на фрактале, ивычислены ее значения для исследуемых нами четырех типов фрактальныхкривых: кривой Коха, Серпинского, Пеано и Менгера.ЛИТЕРАТУРА1. Федер, Е. Фракталы / Е.
Федер. М.: Мир. 1991. 254с.2. Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные законы / М. Шредер. Ижевск:РХД. 2001. 528с.3. Мандельброт, Б. Фракталы и хаос / Б. Мандельброт. Ижевск. РХД. 2009.391 с.4. де Жен, П. Идеи скейлинга в физике полимеров / П. де Жен.
М. : Мир.1982г. 368 c.5. Фракталы в физике // Труды 6 межд.симпозиума по фракталам в физике.МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июля 1985г. Под ред. Л.Пьетронезе иЭ.Тозатти. Пер. с англ. под ред. Я.Г. Синая и И.М. Халатникова. М.:Мир. 1988. 672 с.6. Гладков,С.О.Ктеорииодномернойиквазиодномернойтеплопроводности / С.О. Гладков // Журнал технической физики 1997. Т.67. В. 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
