Диссертация (1103143), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Полученныерезультатысхорошейточностьюсогласуютсястеоретическимирезультатами. С помощью процедуры Эйткена получены апостериорныеоценки точности для волновода с однородным диэлектрическим заполнениеми для кирально-диэлектрического волновода.С помощью предложенного алгоритма рассчитан ряд дисперсионныхкривых и распределения полей мод для волноводов с различной комбинациейби-изотропных, в частности, киральных и диэлектрических кусочнопостоянных элементов. Из приведенных графиков следует, что наличиекиральностиусложняетструктурудисперсионныхкривых,снимаетвырождение и приводит к тому, что дисперсионные кривые могутпересекаться.106Глава V. Спектральная задача синтеза волноведущих систем на основеметаматериаловВ данной главе рассматривается алгоритм для решения спектральныхзадачсинтезаволноведущихсистемскирально-диэлектрическомзаполнением.
В качестве практической реализации данного алгоритмарассмотрено решение одной из весьма важных задач синтеза волноведущихсистем с заполнением на основе метаматериалов с максимальной полосойодномодового режима.Материалы настоящей главы изложены в работе:И.А.Буткарев,Ю.В.Мухартова.диэлектрического волноводаСинтезН.А.Боголюбов,слоистогокирально-// Журнал радиоэлектроники: электронныйжурнал.- 2015.- №3.-Режим доступа: http://jre.cplire.ru/jre/mar15/17/text.pdf.5.1 Спектральные задачи синтеза волноведущих системКак было отмечено в первой главе, задачи синтеза (математическогопроектирования) волноведущих систем составляют специальный классобратных задач математической физики, наиболее полный и универсальныйподход к решению которых был предложен в работах А.Г.Свешникова иА.С.Ильинского [68], [69].
В процессе решения задачи синтеза используютсявариационные постановки задач, строится оценивающий функционал иищется его экстремум [97]-[100].При этом происходит многократноерешение прямой задачи расчета волноведущей системы с направленноизменяемыми параметрами.Задачи синтеза волноведущих систем можно разделить на две большиегруппы:задачисинтезанерегулярных(неоднородныхподлине)волноведущих систем и задачи синтеза регулярных (однородных по длине)волноведущих систем, которые мы в дальнейшем будем называтьспектральными задачами синтеза.107Одной из классических задач синтеза нерегулярных волноведущихсистем является задача синтеза волноводных переходов.
Так в работах [101][106]рассмотреныирешеныполныезадачиматематическогопроектирования волноводных переходов, наилучшим образом согласующихволноводы между собой. Задача синтеза плоского волноводного переходасостоит в отыскании границы плавного волноводного перехода наилучшимобразом согласующего два плоских волновода [101] . Аналогичным образомставятся задачи в трехмерномслучае [102]-[106].
В работе [104]рассматривается синтез трехмерного волноводного перехода с согласующимребром. К аналогичным задачам синтеза можно отнести задачи синтезаволноводных антенн.Спектральные задачи синтеза волноведущих систем заключаются вопределении геометрических характеристик и характеристик материальногозаполнения, при которых регулярный волновод обладает заданнымиспектральными свойствами [107]-[109]. Ряд спектральных задачсинтезаградиентных световодов, у которых коэффициент преломления сердцевинызависит только от радиуса, был решен в работе [108].Как уже отмечалось,подход к решению задач синтеза, предложенный в работах [68], [69]предполагаетмногократноерешениепрямойзадачиснаправленноизменяемыми оптимизационными параметрами.
Такая методика определяетструктуру программы, состоящей из двух основных блоков: блока решенияпрямой задачи и блока решения задачи синтеза (оптимизации). Поэтомупереход от задачи синтеза нерегулярной волноведущей системы кспектральной задаче синтезазадачииминимизируемогосводится к замене блока решения прямойфункционала.Вэтойуниверсальностизаключается очень сильная сторона предложенной методики решения задачсинтеза.1085.2 Процедура минимизацииРассматриваемаядиэлектрическогоспектральнаяволноводанесамосопряженным оператором.класса исследованзадачаявляетсясинтезанелинейнойкиральнозадачейсДостаточно подробно для задач такогослучай квадратичной целевой функции с линейнымиограничениями [110], в связи с чем, мы не можем использоватьбольшоеколичество разработанных алгоритмов и программ [111], [112]. Посколькуалгоритм решения прямой спектральной задачи достаточно сложен, то длярешения задач минимизации нельзя применять методы высоких порядков иследует ограничиться методами нулевого порядка (прямыми методами).
Атак как вид области (в большинстве случаев являющейся невыпуклой), вкоторой ищется решение, и вид предполагаемых ограничений заранеепредсказать нельзя, то использование комплексного метода Бокса [113]также невозможно. В настоящей работе в качестве метода минимизациииспользуется метод Нелдера-Мида (метод поиска по деформируемомумногограннику) [114]. Причем, поскольку в процессе решения задачиминимизации возникаетнеобходимость минимизации функционалов вограниченных областях, в диссертации используется основанный на методеНелдера – Мида метод скользящего допуска.5.2.1 Метод Нелдера-МидаМетод Нелдера-Мида, предложенный в 1964 году [114], являетсяразвитием симплексного метода Спендли, Хекста и Химсфорта [115].Множество (n+1)-й равноудаленной точки в n – мерном пространственазывается регулярным симплексом.
В двумерном пространстве симплексомявляется равносторонний треугольник, в трехмерном – тетраэдр. Этаконфигурация используется в методе Спендли, Хекста и Химсфорта.109Основная идея метода заключается в сравнении значений функции ввершинах симплекса и перемещение симплекса в направлении оптимальнойточки с помощью итерационной процедуры. В первоначальном вариантесимплексного метода на каждом этапе используется регулярный симплекс. Впредложенных Нелдером и Мидом модификации симплексного методадопускается использование неправильных симплексов.
Таким образом, методНелдера и Мида отличается от симплекс-метода лишь тем, что в немпредусмотренавозможностьускоренияпоисказасчетдеформациимногогранника. В результате получился очень надежный метод прямогопоиска, являющийся одним из самых эффективных при относительнонебольшом числе параметров минимизации.5.2.2 Метод скользящего допускаМетод Нелдера и Мида применим для поиска минимума функционалатолько в неограниченной области, а в случае области с ограничениямиможно использовать метод скользящего допуска (МСД) [110].Алгоритм МСД позволяет улучшить значение целевой функции как засчет информации в допустимых точках пространства решений, так и за счетинформации при прохождении через некоторые точки, лежащие внедопустимой области, но которые являются близкими и допустимыми.
В ходеоптимизационного поиска интервалы, в пределах которых точки можносчитать почти достижимыми, постепенно сокращаются так, что в пределеучитываются только допустимые точки.Данный метод позволяет учитывать как ограничения в виде неравенств,так и ограничения в виде равенств.Метод скользящего допуска можноиспользовать и в том случае, когда часть ограничений жесткие, а другиедопускают существование почти допустимых векторов.110Такимобразом,методскользящегодопускаобладаетгибкимивозможностями для поиска минимума функций при наличии различныхограничений.5.3 Решение задачи синтеза прямоугольного кирально-диэлектрическоговолноводаВ данной главе решена задача синтеза прямоугольного волновода скирально-диэлектрическимзаполнением,обладающегомаксимальнойполосой одномодового режима.
В этом случае в волноводе существуеттолько одна мода в частотном диапазоне от первой (основной) моды довторой (следующей) моды. Таким образом, при таком режиме не существуетмежмодовой дисперсии, вносящей искажения в распространяемый поволноводу сигнал.Оптимизационная задача состоит в определении таких значенийоптимизационных параметров, определяющих геометрию данного волноводаи свойства применяемого в нем кирального материала, при которыхчастотный диапазон одномодового режима будет максимальным. Причемпредполагается, что оптимальный режим достигается при постоянныхзначениях параметров, определяющих физические свойства заполненияволновода.
Такая задача весьма важна, например, при проектировании линийсвязи с частотным уплотнением каналов информации.Наличиеоптимизируемыхпараметров-коэффициентовпозволяетиспользовать разработанную методику для синтеза волновода с биизотропным заполнением весьма общего вида. Задавая конкретный диапазонизменения параметров и накладывая необходимые связи между ними, можномоделировать заполнение рассматриваемого класса.Общая схема решения рассматриваемой задачи синтеза состоит изнескольких основных этапов:1111) математическая постановка прямой спектральной задачи расчетапостоянных распространения, разработка алгоритма решения поставленнойпрямой задачи, его реализация и получение численного решения;2) исследование влияния оптимизационных параметров на характеристикирассматриваемой волноведущей системы путем анализа решения прямойзадачи;3)математическаяпостановка обратнойзадачисинтеза,разработкаалгоритма решения поставленной обратной задачи, его реализация иполучение численного решения;4) анализ полученных результатов.Из всех перечисленных этапов весьма ответственным является первый,поскольку к алгоритму решения прямой задачи предъявляются весьмавысокие требования, так как в процессе реализации алгоритма синтезапроисходитмногократноеизменяемымипараметрами.решениепрямойзадачиЭтимтребованиямснаправленнополностьюотвечаютразработанные алгоритмы решения прямой задачи, изложению которыхпосвящены главы II – IV диссертационной работы.Не менее ответственным этапом является второй этап, на которомвыделяются те параметры, характеризующие данную систему, вариациякоторыхприводит к наиболее существенному изменении свойствисследуемой системы в требуемом направлении.
Эти параметры вдальнейшем рассматриваются в качестве оптимизационных параметров, покоторымпроисходитминимизациясоответствующеговарьируемогофункционала.В качестве такого функционала для решения рассматриваемой задачииспользовался функционал:F [ ] 1Vcutoff 2[ ],112где Vcutoff Vcutoff 2 Vcutoff 1, Vcutoff i (i 1,2) - i-я частота отсечки,2 - весовые множители,1и[ ] - стабилизатор.Проведенные численные эксперименты позволяют сделать следующиевыводы.1) Добиться решения рассматриваемой оптимизационной задачи получениямаксимальной полосы одномодового режима для чисто диэлектрического(без использования метаматериалов) волновода в однородной оболочке S1при постоянных значениях параметров сердцевины волновода S2 возможно втом случае, когда сердцевина исчезает и получается однородное по сечениюволокно со значением диэлектрической проницаемости, равной значениюдиэлектрической проницаемости оболочки.Значительное увеличение частотной полосы одномодового режима в случаечисто диэлектрического заполнения можно добиться, если рассматриватьволокно с переменными параметрами сердцевины, как это сделано в работе[108].2) Аналогичные выводы можно сделать относительно волновода скиральной сердцевиной S2 и оболочкой S1 из обычного диэлектрика.3)Наибольшийэффектдостигаетсядляволновода,обладающегодиэлектрической сердцевиной S2 и киральной оболочкой S1 .При решении задачи синтеза волокна с киральной оболочкой в качествеоптимизационных выбирались следующие параметры (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
