Диссертация (1103143), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Дисперсионная кривая основной моды пустого волновода.Сплошная кривая соответствует точному решению, рассчитанные значенияотмечены ромбиков.Здесь    точ для сплошной кривой и    выч дляромбиков.79Таблица 13.23.54.04.24.55.05.56.00.1880.4410.6190.6640.7160.7780.8210.8520.1530.4290.6130.6580.7120.7760.8190.849k точн.k выч.kНа рисунках 3.6 (а) и (б) показаныцентральнымибоковымтипы заполнений волновода срасположениемпродольнойвставки,диэлектрическая проницаемость которой равна 1 .aaа)1б)dРис.

3.6.1dЗаполнение волновода с центральным (а) и боковым (б)расположением продольной вставки.В таблице 2 приведены данные длядисперсионной характеристикиосновной моды волновода с центральным расположением вставки, а нарисунке 3.7 приведена дисперсионная кривая основной моды такоговолновода при следующих значениях геометрическихи материальныхпараметров:d 0.5; 1  2;  =1a80Таблица 2k / 20,400,450,500,550,600,650,700,75 точ / k0,5140,7710,9121,0021,0691,1171,1541,183 выч / k0,4850,7450,8630,9701,0381,1011,1481,179Рисунок 3.7. Дисперсионная кривая основной модыцентральнымрасположениемвставкипригеометрических и материальных параметров:следующихволновода сзначенияхd 0.5;  1  2;  =1 .aСплошная кривая соответствует точному решению, рассчитанные значенияотмечены квадратиками.

Здесь    точ для сплошной кривой и    вычдля квадратиков.В таблице 3 приведены данные длядисперсионной характеристикиосновной моды волновода с боковым расположением вставки, а на рисунке3.8 приведена дисперсионная кривая основной моды такого волновода приследующих значениях геометрических и материальных параметров:81d 0.25; 1  2;  =1 .aТаблица 3k / 20,450,500,550,600,650,700,750,800,850,900,95 точ / k0,875 1,001,081,141,191,221,251,271,291,301,31 выч / k0,866 0,991,071,171,181,211,241,261,281,291,31Рисунок 3.8. Дисперсионная кривая основной моды волновода с боковымрасположением вставки при следующих значениях геометрическихматериальных параметров:Сплошнаякриваяd 0.25;  1  2; . =1aсоответствуетзначения отмечены кружками.Здесьточномурешению,ирассчитанные   точ для сплошной кривой и   выч для кружков.Отметим, что во всех рассмотренных случаях точность возрастает с ростомчастоты.82Выводы к главе IIIРазработанныйчисленныйалгоритмрешениязадачинахожденияпостоянных распространения электромагнитных волн в волноводе сиспользованием метода конечных элементов и процедуры Банча – Кауфмандля факторизации матрицы жесткости позволяет рассматривать задачи вполной векторной постановке изаполнения, в частностидопускает применение более сложногозаполнения волновода с использованиемметаматериалов.83Глава IV.

Расчет спектральных характеристик волновода с кусочнопостоянным би-изотропным заполнением методом конечных элементовВ данной главе построен и реализован численный алгоритм вычисленияпостоянныхраспространениядлявекторнойспектральнойзадачи,описывающей распространение электромагнитных волн в прямоугольномволноводе с идеально проводящими стенками и кусочно-постоянным биизотропным заполнением. Алгоритм основан на предложенном в главе IIспециальномзадачи,варианте постановки обобщенной векторной спектральнойв рамках которойэлементов возникаетпри применении лагранжевых конечныхсущественно меньшенефизических решений(«духов»), чем при использовании стандартной постановки.Результаты данной главы приведены в статье:Ю.В.Мухартова,Н.А.Боголюбов.

Расчет спектральных характеристикволновода с однородным би-изотропным заполнением методом конечныхэлементов // Математическое моделирование.- 2014. - Т. 26. - № 12.- С. 97106.Yu. V. Mukhartova, N.A.Bogolyubov. Calculating the Spectral Characteristics of aWaveguide with Homogeneous Bi-Isotropic Filling by the Finite Element Method// Mathematical Models and Computer Simulations. -2015.- Vol.

7. - No 4. - P.323-330.4.1Решение задачи методом лагранжевых конечных элементов сиспользованием второй обобщенной постановкиВ качестве практического применения изложенной в главе II методикирассмотрим прямоугольный волновод с идеально проводящей боковойповерхностьюикусочно-постояннымби-изотропнымзаполнением,характеризующимся материальными уравнениями (2.1)-(2.2). Предположим,как это было сделано в главе II, что константы удовлетворяют условию(невырожденный случай): a11a22  a12a21  0 . Введем прямоугольную систему84координат, ось Оz которой направим вдоль оси волновода, и обозначимсечение волновода через S   x, y  : x  0, lx  , y  0, l y  .Будем рассматривать спектральную задачу с временной зависимостьювида e itКраевая задача длясистемы уравнений Максвелла с учетомматериальных уравнений принимает вид:rot H  ik  a11E  a12 H  ,(4.1)rot E  ik  a21E  a22 H  ,(4.2)div  a11E  a12 H   0,(4.3)div  a21E  a22 H   0,(4.4)x   0, lx  , y   0, l y  , z  R1,n, E S  0,(4.5)Рассмотрим решение задачи (4.1)-(4.5) в виде бегущей волны:E  x, y, z   E  x, y  ei z ,H  x, y, z   H  x, y  ei z ,(4.6)где E  x, y   E1  x, y  , E2  x, y  , E3  x, y  , H  x, y   H1  x, y  , H 2  x, y  , H 3  x, y  , - постоянная распространения.Обычно в качестве обобщенной постановки спектральной задачи вволноводе с однородным би-изотропным заполнением рассматриваютуравнение (4.7): S  ˆ ds E1 ,  Eˆ1   E2 ,  Eˆ 2    E3 ,   Eˆ3 ds   2  E, ES85 EEEEik  a21  a12    3 Eˆ1  1 Eˆ3  3 Eˆ 2  2 Eˆ3 ds yyxxS ˆ ds  0. k  a21  a12   E2 Eˆ1  E1Eˆ 2 ds  k 2  a11a22  a12 a21   E, ES(4.7)SОднако если искать собственные значения задачи (4.7) численно спомощью метода конечных элементов, то при использовании лагранжевыхконечных элементов возникает большое число нефизических фиктивныхрешений.

В главе II предложена втораяобобщенная постановкаспектральной задачи в волноводе с кусочно-постоянным би-изотропнымзаполнением, которая в данном случае имеет вид:E2 Eˆ 2 E3 Eˆ3 E3 Eˆ3  E1 Eˆ1 E1 Eˆ1 E2 Eˆ 2S 2 x x  y y  x x  2 y y  x x  y y  ds  E Eˆ  E Eˆ   EEEˆ Eˆ     1 2  2 1  ds i   1 Eˆ3  2 Eˆ3  E3 1  E3 2 ds y x yxy  x y xS S  EEEEik  a21  a12    3 Eˆ1  3 Eˆ 2  2 Eˆ3  1 Eˆ3  ds   k  a21  a12   E2 Eˆ1  E1Eˆ 2 ds yxxyS Sˆ ds  0 2  E1Eˆ1  E2 Eˆ 2  2E3 Eˆ3 ds  k 2  a11a22  a12 a21   E, ES(4.8)SОтличие новой постановки (4.8) от стандартной постановки (4.7)заключается в том, что в постановке (4.8) дважды учитывается уравнение длядивергенции E .Численное решение задачи будем искать с помощью метода конечныхэлементов.

Проведем триангуляцию области S, для чего введем равномернуюсетку:86xi  i  1  hx ,i  1, I ;y j   j  1  hy ,j  1, J ,(4.9)а затем каждую прямоугольную ячейку сетки диагональю поделим на дватреугольника (см. главу III). Пусть N ij x, y  –лагранжевые базисныефункции. Приближенные решения задачи (4.8) будем искать в видеразложений по функциям N ij x, y  :IJE k x, y    E kij N ij x, y ,k  1,2,3.i 1 j 1(4.1)С учетом граничных условий будем иметь:E1i 1  E1i J  0, i  1, I ; E21 j  E2I j  0, j  1, J ; E3i 1  E3i J  E31 j  E3I j  0, i  1, I , j  1, J .(4.11)Следовательно:IJ 1E1 x, y    E1ij N ij x, y (4.12)i 1 j  2I 1 JE 2 x, y    E 2ij N ij x, y (4.13)i  2 j 1I 1 J 1E3 x, y    E3ij N ij x, y (4.14)i 2 j 2Изформул(4.8),(4.12)-(4.14),выбираявкачествевектораÊпоследовательно векторыˆ   N  x, y  , 0, 0 ,Eiji  1, I , j  2,  J 1;(4.15)ˆ  0, N  x, y  , 0 ,Eiji  2,  I 1, j  1, J ;(4.16)ˆ  0, 0, N  x, y  ,Eiji  2,  I 1, j  2,  J 1,(4.17)87получим уравнения для определения коэффициентов разложения в формулах(4.12)-(4.14).В первом случае, когда в качестве пробного вектора используетсявектор (4.15), для коэффициентов E kij получаем систему уравнений:а) если i  1 , j  2, 3, ..., J  1, то2hyhxE1, j1 E12, j  h1 hx12 E11, j  E11, j 1  E11, j 1    E22, j  E22, j 1   ik  a21  a12  x  E32, j  E32, j 1  2 hy26k 2  a11a22  a12 a21  2E6ihy 2hx hy2, j324hx hy24 6E1, j1 E11, j 1  2E12, j  2E12, j 1  E11, j 1   E32, j 1    k  a21  a12  6E1, j1hx hy12E2, j2 E22, j 1   E11, j 1  2 E12, j  2 E12, j 1  E11, j 1   0;(4.18)б) если i  2, 3, ..., I  1 , j  2, 3, ..., J  1, то2hyhx 2Ei, j1 E1i 1, j  E1i 1, j  hx12 E1i , j  E1i , j 1  E1i , j 1    2 E2i , j  E2i 1, j  E2i 1, j  E2i 1, j 1 hy2 E2i , j 1  E2i 1, j 1  E2i , j 1   ik  a21  a12 k 2  a11a22  a12 a21 i 2E6hyi 1, j3hx hy12 6Ei, j1hx2E3i , j 1  E3i 1, j 1  E3i 1, j  2E3i , j 1  E3i 1, j  E3i 1, j 1  6 E1i 1, j  E1i 1, j 1  E1i , j 1  E1i 1, j  E1i , j 1  E1i 1, j 1   2 E3i 1, j  E3i , j 1  E3i 1, j 1  E3i , j 1  E3i 1, j 1  88hx hy k  a21  a12  2hx hy1212 6E 6Ei, j2 E2i 1, j  E2i 1, j 1  E2i , j 1  E2i 1, j  E2i , j 1  E2i 1, j 1   E1i 1, j  E1i 1, j 1  E1i , j 1  E1i 1, j  E1i , j 1  E1i 1, j 1   0;i, j1(4.19)в) если i  I , j  2, 3, ..., J  1, то2hyhxEI, j1 E1I 1, j  hx hyhx I 1, j 1E3 E3I 1, j   k 2  a11a22  a12 a21  6E1I , j  E1I , j 1  2E1I 1, j 1  2E1I 1, j  E1I , j 1  624ik  a21  a12  2E6ihy 2hx hy241 hx12 E1I , j  E1I , j 1  E1I , j 1    E2I 1, j 1  E2I 1, j  2 hy2I 1, j3 6E E3I 1, j 1    k  a21  a12 I, j1hx hy12EI 1, j2 E2I 1, j 1   E1I , j 1  2 E1I 1, j  2 E1I 1, j 1  E1I , j 1   0.(4.20)Во втором случае, когда в качестве пробного вектора используется вектор(4.16), для коэффициентов E kij получаем систему уравнений:а) если j  1, i  2, 3, ..., I  1 , тоhyh1 hy12 E2i ,1  E2i 1,1  E2i 1,1   2 x  E2i ,1  E2i ,2    E1i ,2  E1i 1,2   ik  a21  a12   E3i ,2  E3i 1,2  2 hxhy26k 2  a11a22  a12 a21 ihx hy24 6Ei ,12 E2i 1,1  2E2i ,2  2E2i 1,2  E2i 1,1  hx hy i ,2hx2 E3i ,2  E3i 1,2    k  a21  a12 E1  E1i 1,2  61289 2hx hy24 6Ei ,12 E2i 1,1  2 E2i ,2  2 E2i 1,2  E2i 1,1   0;(4.21)б) если j  2, 3, ..., J  1, i  2, 3, ..., I  1 , тоhyhx 2Ei, j2 E2i 1, j  E2i 1, j   2hx12 E2i , j  E2i , j 1  E2i , j 1    2 E1i , j  E1i 1, j  E1i 1, j  E1i 1, j 1 hy2 E1i , j 1  E1i 1, j 1  E1i , j 1   ik  a21  a12 k 2  a11a22  a12 a21 i12 6Ei, j26 2Ei 1, j3 E3i 1, j 1  E3i , j 1  2E3i 1, j  E3i , j 1  E3i 1, j 1   E2i 1, j  E2i 1, j 1  E2i , j 1  E2i 1, j  E2i , j 1  E2i 1, j 1  hx 2E3i, j 1  2E3i, j 1  E3i1, j  E3i1, j 1  E3i1, j  E3i1, j 1  6 k  a21  a12  2hx hyhyhx hy12 6Ei, j2hx hy12 6Ei, j1 E1i 1, j  E1i 1, j 1  E1i , j 1  E1i 1, j  E1i , j 1  E1i 1, j 1   E2i 1, j  E2i 1, j 1  E2i , j 1  E2i 1, j  E2i , j 1  E2i 1, j 1   0;(4.22)в) если j  J , i  2, 3, ..., I  1 , тоhyh1 hy12 E2i , J  E2i 1, J  E2i 1, J   2 x  E2i , J  E2i , J 1    E1i 1, J 1  E1i , J 1   ik  a21  a12   E3i 1, J 1  E3i , J 1  2 hxhy26k 2  a11a22  a12 a21 ihx hy24 6Ei,J2 E2i 1, J  2E2i , J 1  2E2i 1, J 1  E2i 1, J  hx hy i , J 1hx2 E3i , J 1  E3i 1, J 1    k  a21  a12 E1  E1i 1, J 1  61290 2hx hy24 6Ei, J2 E2i 1, J  2 E2i , J 1  2 E2i 1, J 1  E2i 1, J   0;(4.23)В третьем случае, когда в качестве пробного вектора используется вектор(4.17), для коэффициентов E kij получаем систему уравнений:hyhx 2Ei, j3 E3i 1, j  E3i 1, j  hx 2E3i, j  E3i, j 1  E3i, j 1  hyhik  a21  a12   y  2 E2i 1, j  E2i 1, j 1  E2i , j 1  2E2i 1, j  E2i , j 1  E2i 1, j 1  6hx2 E1i , j 1  E1i 1, j 1  E1i 1, j  2E1i , j 1  E1i 1, j 1  E1i 1, j  6k 2  a11a22  a12 a21 12 6Ei, j3 E3i 1, j  E3i 1, j 1  E3i , j 1  E3i 1, j  E3i , j 1  E3i 1, j 1  hx 2E2i, j 1  2E2i, j 1  E2i1, j  E2i1, j 1  E2i1, j  E2i1, j 1  6 iihx hy 2E6hy2 2i 1, j1hx hy12 6E 2 E1i 1, j  E1i , j 1  E1i 1, j 1  E1i , j 1  E1i 1, j 1  i, j3 E3i 1, j  E3i 1, j 1  E3i , j 1  E3i 1, j  E3i , j 1  E3i 1, j 1   0,(4.24)где j  2, 3, ..., J  1, i  2, 3, ..., I  1 .Полученные системы уравнений (4.18)-(4.24) для коэффициентовразложения можно компактно записать в матричном виде: 2 AX   BX  CX  0,(4.25)где вектор X имеет следующий вид:T i ,2i ,3i , J 1i ,1i ,2i, Ji ,2i ,3i , J 1 X  E1 E1  ...E1 E2 E2  ...E2 E3 E3  ...E3  ,i 1, Ii  2,  I 1i  2,  I  2 (4.26)91а матрицы А, В и С являются квадратными блочными матрицами.Отметим, что, если ввести дополнительный неизвестный вектор Y   X ,нелинейная задача на собственные значения (4.25) может быть сведена клинейной задаче:1  X  01      C  B  Y 00  X   .A  Y (4.27)4.2 Тестирование алгоритмаДля проверки правильности работы алгоритма численного нахожденияпостоянных распространения он был применен для случая пустоговолновода.

Характеристики

Список файлов диссертации