Диссертация (1102910), страница 8
Текст из файла (страница 8)
11: Характерный вид зависимости∂V(µT )∂φ (φ)∼ jϕ (φ) при ν = 0(левые графики) и ν = ±1/3 (правые графики) и различных температурах (сверху вниз) T = 21 L−1 , T = L−1 , T = 2L−1Аналогичным образом можно вычислить, что−−β (En,p1 )2π 2↑ )(n + φ + ν3 )β∂ ln(1 + eL=−−∂φEn,p1β (En,p1 )↑ + 1e+−β (En,p1 )2π 2↑ )(n + φ + ν3 )∂ ln(1 + eβL=−+∂φEn,p1β (En,p1 )↓ + 1e−−β (En,p1 )2π 2↓ )(n + φ + ν3 )∂ ln(1 + eβL=−−∂φEn,p1β (En,p1 )↓ + 1e(159)80ZТаким образом производная V(µT) равна:Z∂V(µT)∂φ"×(∞ ZX1dp1=−L n=−∞2π2π 2(nL+ φ + ν3 )En,p1×1111+ +− ++ +−β (En,p1 )β (En,p1 )β (En,p1 )β (En,p1 )↑↑↓↓1+e1+e1+e1+e#)++(ν → −ν),(160)Видно, что при β → ∞ эта величина убывает как a−β , а значит принулевой температуре данное слагаемое не вносит вклада.На рис.11 представлены графики при σ = 0.4.4Полный ток индуцированный эффектом Ааронова–БомаВычислив сумму∂V(L)∂φ (φ)+∂V(µT )∂φ (φ)можно построить графики пол-ной намагниченности (полного тока), представленные на рис.
12. Каквидно на рис. 11, с повышением температуры, вклад слагаемого, учитывающего температуру увеличивается по абсолютной величине, аего характерный вид приближается к бестемпературному вкладу,представленному на рис. 10. На графиках отчетливо наблюдаетсяуменьшение намагниченности и магнитной восприимчивости, с ростом температуры.81M8642T0.51.01.52.02.53.00.51.01.52.02.53.0M54321TРис. 12: Характерный вид зависимости полной намагниченности,обусловленной эффектом Ааронова–Бома, при ν = 0, φ = 0.2 (верхний график) и ν = 0, φ = 0.35 (нижний график) от температуры (температура T отложена в единицах L−1 в системе единиц~ = c = kB = 1)4.5Итоги и выводыВ настоящем разделе, на основе полученного ранее эффективногопотенциала было проведено исследование намагниченности и электрического тока, вызванных эффектом Ааронова–Бома.
В подразделах 4.1–4.2 проведено аналитическое исследование индуцированного82тока, и получены формулы, позволяющие рассчитать ток и намагниченность при произвольных значениях параметров. Кроме того, построены графики индуцированного тока в упрощенном случае σ = 0,т.е. в случае отсутствия четырехфермионного взаимодействия.В подразделе4.2 исследован вклад в намагниченность, связанныйс конечной температурой системы, а в 4.4 вычислена полная намагниченность с учетом всех вкладов и показано, что при увеличениитемпературы значение намагниченности падает, что означает снижение магнитной восприимчивости.835Эффект Зеемана5.1Вклад эффекта Зеемана в эффективный потенциалКак указывалось выше, при рассмотрении эффектов взаимодействияописываемой системы с магнитным полем, мы введем дополнительное квантовое число, соответствующее проекции спина фермионовна направление магнитного поля.
Причиной такого подхода является связь модели с теориями, описывающими явления в графене,где четыре компоненты спинора ψ не описывают реального спиначастиц, а конденсат σ является следствием нарушения кристаллической решетки и не связан с четырехфермионным взаимодействием.При этом, однако, эффективный потенциал таких теорий совпадает,или частично совпадает (при добавлении дополнительных конденсатов), с (140–143) (см., например [40, 90]).В настоящем разделе мы ограничимся рассмотрением только эффекта Зеемана и не станем учитывать эффект Ааронова–Бома рассмотренный в разделе 2, а в конце раздела учтем эффект Ааронова–Бома, воспользовавшись результатами раздела 4.Таким образом, для рассмотрения эффекта Зеемана в эффективный потенциал следует добавить стандартный член по форме совпадающий с химическим потенциалом, но зависящий от направленияреального спина частиц на направление магнитного поля:84Veff" 2∞ Z∞dp1σ21 X X X2π1=−lnl+− iµs +2G βL2πβ2s=↑,↓ l=−∞ n=−∞#22πn+ p21 + σ 2 ,+L(161)где введены обозначения µ↑ = µ+δµ = µ+ g2L µB H, µ↓ = µ−δµ = µ−gL2 µB H,в которых µB = e/2m — магнетон Бора и gL — эффективныймножитель Ланде.Вычисления, аналогичные проведенным в части 1, показывают,что для учета эффекта Зеемана требуется заменить V(µT ) на∞ Z1 X Xdp1=−ln 1 + 2 ch(βµs ) exp(−βEn,p1 )+βL2πs=↑,↓ n=−∞+ exp(−2βEn,p1 ) = ∞ Z+−1 Xdp1−β (En,p1 )−β (En,p1 )↑↑=−ln 1 + e+ ln 1 + e+βL n=−∞2π+−−β (En,p1 )−β (En,p1 )↓↓+ ln 1 + e+ ln 1 + e,ZV(µT)(162)где (En,p1 )±↓↑ = En,p1 ± µ↓↑ .
Из этой формулы можно сделать вывод,что значение эффективного потенциала остается неизменным призамене µ ↔ δµ, а следовательно фазовая структура, полученная вразделе 3 на плоскости (T, µ), совпадает с фазовой структурой вплоскости (T, δµ) при µ = 0.855.2Намагниченность обусловленная эффектом ЗееманаРассмотрим намагниченность, обусловленную взаимодействием фермионов с внешним магнитным полем за счет эффект Зеемана. В общем случае намагниченность определяется как частная производнаяэффективного потенциала:M =−∂Veff.∂HДля рассматриваемой модели это означает:M =−∂Veff (σ, β, L, µ, δµ)∂Veff ∂δµ∂Veff=−=−∂H∂H∂δµ ∂H(163)Согласно данному выше определению:∂δµ gL µB=.∂H2(164)Можно ожидать, что эффект Зеемана должен повлиять на восстановление киральной симметрии модели при характерном значении δµ ∼ σ0 , где σ0 — опреденный выше конденсат в плоской моделибез внешних полей. Магнитное поле Hµ , создающее соответствующеезначение δµ, может быть оценено какδµ ∼ σ0 ∼ π/g,Hµ ∼2σ0.gL µB(165)(166)Формулы (141),(150),(162) позволяют рассчитать намагниченность,вызываемую эффектом Зеемана.
Легко видеть что из всех слагаеZмых входящих в Veff только V(µT) содержит зависимость от δµ. Для86ещё большего упрощения, возможно отдельно провести вычисленияZдля слагаемых V(µT) , соответствующих s =↑ и s =↓, таким обра-зом предварительно вычислив концентрацию частиц с различныминаправлениями спина:∂V(µT ) ns =∂µs =σ=σeq∞X1L n=−∞sh(βµs )dp1 2π ch(βµs ) + ch(βEn,p1 ) Z,σ=σeq(167)где производные берутся в точке стабильного минимума σeq для которой ∂Veff /∂σ|σ=σeq = 0 и ∂ 2 Veff /∂σ 2 σ=σeq > 0.Намагниченность и магнитная восприимчивость могут быть определены как:M = µB (n↑ − n↓ ),(168)∂Mχ=,∂H(где формула для намагниченности фактически совпадает с (163),но использует промежуточный результат (167)).График на рис.
13 демонстрирует зависимость намагниченности,вызванной эффектом Зеемана, от величины магнитного поля приL = 0.7Lc < Lc , µ = 0. На данном графике хорошо видно, чтофазовый переход между кирально симметричной и несимметричнойфазами является переходом первого рода, если в симметричной фазесохраняется локальный нетривиальный минимум (переход из области III в область IV и обратно на рис. 1) и напротив, переходомвторого рода, если нетривиальный минимум исчезает при фазовомпереходе (переход из области I в область II и обратно на рис. 1).При T = 13 Tc с ростом магнитного поля график пересекает кривую87Рис. 13: Намагниченность системы M как функция магнитногополя H при различных температурах: T = 31 Tc (штрихованная линия), T = 54 Tc (сплошная линия), T = 32 Tc (точечная линия).
Hдано в единицах Hµ .фазового перехода первого рода (BE на рис. 1), а при T = 54 Tc — кривую фазового перехода второго рода (AB на рис. 1), а при T = 23 Tcкривые фазовых переходов не пересекаются, поскольку симметрияоказывается восстановлена даже при H = 0.Наконец рис. 14 демонстрирует суммарную намагниченность возникающую в модели при учете эффектов Зеемана и Ааронова–Бома.Здесь следует отметить, что изменение топологической фазы влечетза собой изменение магнитных свойств по влиянием эффекта Зеемана, хотя основные особенности кривой намагничивания при этомсохраняются. И наоборот, эффект Зеемана несколько изменяет на-88M2.01.51.00.5H0.51.01.52.02.53.03.5Рис.
14: Суммарная намагниченность (сплошная линия) с учетом эффектов Зеемана (верхняя, часто-пунктирная, линия) иАаронова–Бома (нижняя, редко-пунктирная, линия) как функциямагнитного поля H при L = 0.6Lc , β = 0.6βc и соотношении маe H дано втериальных констант, ведущем к H|µ = H|δϕ=2 = H. e M дано в единицах M 2He .единицах H,магниченность вызываемую эффектом Ааронова–Бома, т.е. эффекты влияют друг на друга, чего и следовало ожидать, поскольку вZслагаемое V(µT) входят одновременно зеемановский «химический по-тенциал» δµ и «топологическая фаза» Ааронова–Бома φ.5.3Итоги и выводыВ настоящем разделе было исследовано влияние эффекта Зееманаобусловленного внешним магнитным полем на свойства модели.В подразделе 5.1 вычислен вклад эффекта Зеемана в эффективный потенциал и отмечена симметрия вкладов эффекта Зеемана ихимического потенциала, позволяющая обобщить результаты разде-89ла 3 на исследование эффекта Зеемана.В подразделе 5.2 исследован вклад эффекта Зеемана в намагниченность системы, построены графики намагниченности, демонстрирующие фазовые переходы отмеченные в разделе 3 и суммарной намагниченности вызванной эффектом Зеемана и эффектом Ааронова–Бома, исследованным ранее, в разделе 4.906ЗаключениеВ настоящей работе была исследована (2+1)-мерная модель Гросса–Невё на цилиндре под влиянием различных параметров, таких какненулевая температура, химический потенциал (конченая плотностьчастиц) и внешнее магнитное поле.Во введении (раздел 1) были введены основные понятия касающиеся исследуемой модели и кратко изложены основные известныерезультаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
