Диссертация (1102910), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Полученное выражение не выражается в элементарных илиспециальных функциях, и как следствие может быть учтено толькопутем численного расчета. После объединения полученных выражений в подразделе 2.3 исследована фазовая структура модели с учетом эффекта Ааронова–Бома и компактификации, продемонстрирована симметрия влияния компактификации пространственного изме-67рения и конечной температуры при антипериодических граничныхусловиях (топологической фазе φ = 1/2).В подразделе 2.5 доказано, что расходимости имеющиеся в эффективном потенциале полученном в разделах 2.2–2.2.4 являютсяфиктивными и вызваны исключительно искусственным разбиениемэффективного потенциала на составные части.683Фазовая структура модели при ненулевом химическом потенциале3.1Эффективный потенциал с учетом химического потенциалаВ настоящем разделе мы рассмотрим влияние ненулевого химического потенциала µ на фазовую структуру рассматривавшейся ранеемодели при конечной температуре (влияние ненулевого химическогопотенциала на модель Гросса–Невё в плоском пространстве рассматривалось например в [82, 83, 84]).

Для учета химического потенциаланеобходимо добавить в 72 слагаемое его содержащее: 2+∞ 1 X+∞ XZ dp1 1 Xσ2 2π Veff =−2ln (m + 1/2 − iµ)2 +2G β 2π β m=−∞ L n=−∞ s=±122π sν22+   n+φ−+ p1 + σ  .L32(137)После выделения в (137) слагаемого не зависящего от σ для случаяν = 0 эффективный потенциал может быть переписан в виде:Veffσ2=−2G#∞∞ Z2XX2dp1σ−ln 1 + 2π.12 + ( 2π )2 (n + φ)2 + p2βL2π((l+)−iµ)1β2Ll=−∞ n=−∞(138)"Далее требуется использовать формулу приведенную в [77] и поз-69воляющую преобразовать подлогарифменное выражение:∞Xln(1 +l=−∞=∞Xb2)=(l + α)2 + a2(ln((l + α)2 + a2 + b2 ) − ln((l + α)2 + a2 )) =n=−∞√∞22√22b21 − 2 cos(2πα)e−2π a +b + e−4π a +b√√=dτ ln(1 + 2) + ln,τ + a21 − 2 cos(2πα)e−2π a2 + e−4π a2−∞(139)Zпосле ряда упрощений эффективный потенциал переписывается как:Veff = V(0) + V(L) + V(µT ) ,(140)где V(0) и V(L) совпадают с приведенными в частях 2.2.1 и 2.2.3Z32321σ1 σσdp22 −  , (141)V(0) =−2lnp+σ=+2G(2π)33π2 G GcV(µT )∞∞2 X e−Lσn2σ X e−LσnV(L) =+=πL3 n=1 n3πL2 n=1 n2(142)1σ−Lσ=2Lie+Li2 e−Lσ ,332πLπLZ∞dp12 X=−ln (1 + 2 ch (βµ) exp (−βEn,p1 ) exp (−2βEn,p1 )) =βL n=−∞2π∞ Zi+−2 Xdp1 h −β (En,p−β (En,p))11−ln 1 + e+ ln 1 + e,βL n=−∞2π(143)где Li — как и прежде, специальны функции — полилогарифмы, иq±22введено обозначение En,p1 = p21 + ( 2πnL ) + σ и En,p1 = En,p1 ± µ.Удобно ввести величинуσ0 = π/ |g| , где g = 1/G − 2π/Λ < 0(144)70являющуюся равновесным значением конденсата σ при отсутствиитемпературы, компактификации и внешних полей (такая модель описывается эффективным потенциалом вычисленным в части 2.2.1,подробнее вопрос рассмотрен в частности в [85]).

При построенииграфиков будет использоваться характерный масштаб температур,βc = 1/Tc = 2|g| ln 2/ соответствующей температуре при которойвосстанавливается симметрия в плоской модели без внешних полейвведенный в разделе 2.1, а также совпадающий с ним в системе единиц ~ = c = 1 масштаб длин окружности компактифицированногоизмерения Lc = βc .3.2Фазовые диаграммы моделиДальнейшие расчеты и построение графиков производились численно [89]. Верхний график на рис. 9 демонстрирует фазовую структурумодели в плоскости (T, µ) для L = 1.2Lc . Фазовая структура схожасо структурой полученной в [86] для двумерной модели Гросса–Невё,что может быть интерпретировано как проявление размерной редукции из ассимметричной фазы трехмерной модели Гросса–Невё, существующей при достаточно низкой температуре и φ = 0 (см.

[85]). Области I и III на рисунке соответствуют фазе нарушенной симметрии,для которой σ 6= 0, различие этих областей заключается в том, чтов области I существует только один минимум эффективного потенциала Veff , являющийся нетривиальным σ 6= 0, в области III, однако,существует два минимума — глобальный минимум σ 6= 0 и локальный минимум при σ = 0. Области II и IV являются областями с71ненарушенной симметрией, при этом в области II существует толькотривиальный минимум σ = 0, в то время как в области IV присутствует также второй, нетривиальный, минимум σ 6= 0, являющийся,однако, только локальным.

Как следствие линия BC является кривой фазового перехода первого рода, а линия AB — кривой фазовогоперехода второго рода (это различие будет наглядно продемонстрировано в разделе 5). Линии BD и BE не являются кривыми фазовыхпереходов, а соответствуют линиям при пересечении которых появляется либо исчезает локальный минимум.В противоположность этому, с учетом эффекта Ааронова–Бомасоздаваемого магнитным потоком соответствующим φ = 0.5 графикдемонстрирует отсутствие фаз III и IV в которых присутствуют локальные минимумы (метастабильные состояния). Это также соответствует утверждению об отсутствии размерной редукции при наличии антипериодических граничных условий, что указывалось ранее в [85].

Стоит отметить, что размерная редукция под влияниеммагнитного поля не является уникальным свойством рассматриваемой системы, подобное явление рассматривалось например в [87] вмоделе Намбу–Йона-Лозинио и КХД.3.3Итоги и выводыВ настоящем разделе исследовано влияние химического потенциалана фазовую структуру исследуемой модели. Для этого в подразделе 3.1 аналитически вычислен эффективный потенциал трехмерноймодели Гросса–Невё на цилиндре с учетом химического потенциала,72Рис. 9: Фазовая диаграмма модели с учетом температуры и химического потенциала в отсутствие эффекта Ааронова–Бома (верхний график) и при наличии магнитного потока соответствующегоφ = 0.5 (нижний график).конечной температуры и эффекта Ааронова–Бома. Поскольку исследованная модель описывает фермионы, то полученный результатсхож с термодинамическим потенциалом Ферми-газа.73На основе вычисленного эффективного потенциала в подразделе 3.2 исследована фазовая диаграмма модели при различных величинах эффекта Ааронова–Бома.

Отмечено проявление явления размерной редукции при компактификации трехмерной модели Гросса–Невё с периодическими граничными условиями, и отсутствие этогоявления при антипериодических граничных условиях, которые могут быть смоделированы при помощи эффекта Ааронова–Бома. Данный результат перекликается с результатами работ других авторов,рассматривавших влияние магнитного поля на различные можеликвантовой теории поля, в том числе с четырехфермионным взаимодействием, а также рассматривавших модель Гросса–Невё без учетамагнитного поля.744Намагниченность, индуцированная эффектом Ааронова–Бома4.1Намагниченность, индуцированная внешниммагнитным полемВ настоящем разделе восстановим вклад связанный с различием условий периодичности для точек K и K 0 в импульсном пространствеграфеноподобной решетки.

Начнем с формы эффективного потенциала заданной выражением (72) в котором учтено ν 6= 0." 2∞∞ Z2XXXσdp1112πVeff (σ, T, µ̂, φ) =`+− iµ +−ln4G βL s=±12πβ2`=−∞ n=−∞# 2 2sν2π+n+φ−+ p21 + σ 2 ,L3(145)Для расчета намагниченности требуется найти производную эффективного потенциала по величине магнитного поля. Поскольку единственная ненулевая компонента векторного потенциала в нашем построении это Aϕ ≡ A2 , то соответствующая производная равна току:jϕ =∂Veff∂Veff=∂Aϕ∂A2(146)Явным образом A2 входит в φ:φ=ΦmeA2 L=Φ0m2π(147)Отметим, что поскольку A и φ явно пропорциональны друг другу,то от результата, вычисляемого по формуле (146) можно перейти к75намагниченности вызываемой эффектом Ааронова–Бома−1∂ Veff |δµ=const∂Veff∂H=−MAB = −,∂H∂A2∂A2(148)где для однородного магнитного поля, рассматриваемого в дальнейших разделах работы,∂H∂A2= 4π/L. В этом разделе будет, в основномвычисляться ток jϕ , однако, с учетом сказанного выше, он преобразуется к намагниченности путем простого домножения на постояннуювеличину.

Таким образом ток записывается какjϕ =∂Veff∂Veff ∂φeL ∂Veff==∂A2∂φ ∂A22π ∂φ(149)Величина φ не содержится в V(0) , а содержится только во вкладахв эффективный потенциал учитывающих компактификацию и температуру, в дальнейших подразделах будут поочередно вычисленыпроизводные этих вкладов.4.2Вклад компактификации в индуцированныйтокСлагаемое в эффективном потенциале отвечающее за компактификацию без учета температуры выглядит как модифицированный сучетом ν 6= 0 вклад VL :√ −L√p2 +p2 +σ2Zν−2L p20 +p21 +σ 22101 − 2 cos 2π φ + 3 e+e2dp√√V(L) = −ln=ν−L p20 +p21−2L p20 +p21L(2π)21 − 2 cos 2π φ + 3 e+e∞∞2 X cos(2π φ + ν3 n) −Lσn 2σ X cos(2π φ + ν3 n) −Lσnee=+ 2=πL3 n=1n3πL n=1n2ννσ1Li3 (e−Lσ+2πi(φ+ 3 ) ) +Li2 (e−Lσ+2πi(φ+ 3 ) ) ,= 2< e32πLπL(150)76В результате дифференцирования первого слагаемого, содержащего Li2 , по φ можно получить"#∞∂2 X cos(2π φ + ν3 n) −Lσne=∂φ πL3 n=1n3 2 2− 3 iπ(ν+3φ)−Lσiπ(ν+3φ)−Lσ2ivF Li2 e− Li2 e 3=−3 L ν 2ivF 2iIm Li2 e2i( 3 +φ)−Lσ4vF2iπ ( ν3 +φ)−Lσ,== − 3 Im Li2 eL3L(151)Производная же слагаемого, содержащего Li3 , равна"#∞∂2σ X cos(2π φ + ν3 n) −Lσne=∂φ πL2 n=1n2 − vLσ − 23 iπ(ν+3φ)− vLσ + 32 iπ(ν+3φ)2iσ log 1 − e F− log 1 − e F==2Lh ih Lσ 2i4σ4σ− vLσ − 23 iπ(ν+3φ)− v + 3 iπ(ν+3φ)= − 2 Im log 1 − e F= − 2 Im Li1 e F,LL(152)где в формулах символом Im обозначено взятие мнимой части комплексного числа, и, кроме того, в последней формуле для единообразия записи использовано свойство Li1 (z) = − ln(1 − z).

Такимобразом производная V(L) по φ оказывается равнаhvi∂V(L)σF2iπ ( ν3 +φ)−Lσ2iπ ( ν3 +φ)−Lσ= −4Im 3 Li2 e+ 2 Li1 e(153)∂φLLСкладывая также слагаемые слагаемые, соответствующие разнымдираковским точкам, а значит включающих разные знаки перед ν,получимhvi∂V(L)σF2iπ ( ν3 +φ)−Lσ2iπ ( ν3 +φ)−Lσ+ 2 Li1 e+(ν → −ν)= −4Im 3 Li2 e∂φLL(154)77Для построения графиков оказывается удобно рассмотреть случай σ = 0, т.е. временно не рассматривать четырёхфермионное взаимодействие, можно построить характерный вид зависимости∂V(L)∂φ (φ)∼jϕ (φ).Рис.

10: Характерный вид зависимости намагниченности системы, обусловленной эффектом Ааронова–Бома,∂V(L)∂φ (φ)∼ M (φ), принулевой температуре и ν = 0 (левый график) и ν = ±1 (правыйграфик)Из графиков на рис. 10 хорошо видно: периодичность по φ с периодом 1 которой можно было ожидать из общей формулы эффективного потенциала (72), нули в точках φ = m/2, m ∈ Z и нечетностьфункции jϕ (Aφ ) (т.е.

изменение направления поля приводит к изменению направления тока)4.3Вклад слагаемого, содержащего температуру,в индуцированный токСлагаемое в эффективном потенциале отвечающее за учет температуры выглядит как модифицированный с учетом ν 6= 0 вклад V(µT ) :78V(µT )∞ Z2 X=−βL n=−∞∞ Z2 X=−βL n=−∞где En,p1dp1ln (1 + 2 cosh (βµ) exp (−βEn,p1 ) exp (−2βEn,p1 ))2πi−+dp1 h −βE−β (En,p())n,p11,ln 1 + e+ ln 1 + e2π(155)q2±= En,p1 ± µ.= p21 + 2π(n + φ + ν3 )2 + σ 2 и En,pL1ZЛибо с учетом эффекта Зеемана, модифицированный вклад V(µT)ZV(µT) ∞ Z−+1 Xdp1−β (En,p1 )−β (En,p1 )↑↑++ ln 1 + e=−ln 1 + eβL n=−∞2π+−−β (En,p1 )−β (En,p1 )↓↓+ ln 1 + e+ ln 1 + e,(156)где (En,p1 )±↓↑ = En,p1 ±µ↓↑ , эффективный химический потенциал равенµ↓↑ = µ − g2 sµB Bk , где приняты обозначения s = 1 в µ↑ и s = +1 вµ↓ .Рассмотрим в качестве примера производную (En,p1 )+↑ по φ. Cучетом введенных ранее определений эта производная равна:2π 2∂ (En,p1 )+(n + φ + ν3 )↑L=(157)∂φEn,p1+−β (En,p1 )+−β (En,p1 )+↑ ) ∂ (En,p )∂ ln(1 + e1 ↑==∂φ∂ (En,p1 )+↑2π 2(n + φ + ν3 )βL=−+En,p1β (En,p1 )↑ + 1e∂ ln(1 + e∂φ↑)(158)79Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации